弦振動的誤差分析

1、弦振動中誤差的研究實驗目的：（1） 研究弦振動中砝碼的重力與繩子拉力之間的關系，測量砝碼重力在多大范圍內是和繩子張力相等的；（2） 研究弦振動中頻率的改變對繩子張力和密度的影響，算出它們的誤差。實驗原理：如圖（1）實驗時在和間接上弦線（細銅絲），使弦線繞過定滑輪結上砝碼盤并接通正弦信號源。在磁場中，通有電流的弦線就會受到磁場力（稱為安培力）的作用，若細銅絲上通有正弦交變電流時，則它在磁場中所受的與電流垂直的安培力，也隨著正弦變化，移動兩劈尖（銅塊）即改變弦長，當固定弦長是半波長倍數(shù)時，弦線上便會形成駐波。移動磁鋼的位置，使弦振動調整到最佳狀態(tài)（弦振動面與磁場方向完全垂直），使弦線形成明顯的駐波

2、。此時我們認為磁鋼所在處對應的弦“O”為振源，振動向兩邊傳播，在銅塊A、B兩處反射后又沿各自相反的方向傳播，最終形成穩(wěn)定的駐波。為了研究問題的方便，認為波動是從A點發(fā)出的，沿弦線朝端方向傳播，稱為入射波，再由端反射沿弦線朝端傳播，稱為反射波。入射波與反射波在同一條弦線上沿相反方向傳播時將相互干涉，移動劈尖到適合位置弦線上的波就形成駐波。這時，弦線上的波被分成幾段形成波節(jié)和波腹。駐波形成如圖（2）所示。圖（2）設圖中的兩列波是沿X軸相向方向傳播的振幅相等、頻率相同振動方向一致的簡諧波。向右傳播的用細實線表示，向左傳播的用細虛線表示，它們的合成駐波用粗實線表示。由圖可見，兩個波腹間的距離都是等于半

3、個波長，這可從波動方程推導出來。下面用簡諧波表達式對駐波進行定量描述。設沿X軸正方向傳播的波為入射波，沿X軸負方向傳播的波為反射波，取它們振動位相始終相同的點作坐標原點 “O”，且在X0處，振動質點向上達最大位移時開始計時，則它們的波動方程分別為：Y1Acos2p(ftx/ l)Y2Acos2p (ftx/)+ p式中A為簡諧波的振幅，f為頻率，l為波長，X為弦線上質點的坐標位置。兩波疊加后的合成波為駐波，其方程為：Y1 Y22Acos2p（x/ l）+p/2Acos2pft 由此可見，入射波與反射波合成后，弦上各點都在以同一頻率作簡諧振動，它們的振幅為2A cos2p（x/ l）+p/2 |

4、，與時間無關t，只與質點的位置x有關。由于波節(jié)處振幅為零，即：cos2p（x/ l）+p/2 |02p（x/ l）+p/2(2k+1) p / 2 ( k=0. 2. 3. ) 可得波節(jié)的位置為： xkl /2 而相鄰兩波節(jié)之間的距離為：xk1xk (k1)l/2kl / 2l / 2 又因為波腹處的質點振幅為最大，即 cos2p（x/ l）+p/2 | =12p（x/ l）+p/2 kp ( k=0. 1. 2. 3. L L) 可得波腹的位置為： x(2k-1)l/4 這樣相鄰的波腹間的距離也是半個波長。因此，在駐波實驗中，只要測得相鄰兩波節(jié)或相鄰兩波腹間的距離，就能確定該波的波長。在本實

5、驗中，由于固定弦的兩端是由劈尖支撐的，故兩端點稱為波節(jié)，所以，只有當弦線的兩個固定端之間的距離（弦長）等于半波長的整數(shù)倍時，才能形成駐波，這就是均勻弦振動產(chǎn)生駐波的條件，其數(shù)學表達式為：Lnl / 2 ( n=1. 2. 3. )由此可得沿弦線傳播的橫波波長為： l2L / n 式中n為弦線上駐波的段數(shù)，即半波數(shù)。 根據(jù)波速、頻率及波長的普遍關系式：Vlf，將式代入可得弦線上橫波的傳播速度：V2Lf/n 另一方面，根據(jù)波動理論，弦線上橫波的傳播速度為：V(T/)1/2 式中T為弦線中的張力，為弦線單位長度的質量，即線密度。再由式可得 f =（T/）1/2（n/2L）得 由式可知，當給定T、L，

6、頻率f只有滿足以上公式關系，且積儲相應能量時才能在弦線上有駐波形成。實驗步驟1、 連接實驗裝置。2、 測量弦線線密度。測出弦線的質量及其長度。根據(jù)，計算弦線密度。3、 測圓柱半徑，用游標卡尺測量其直徑，多次測量求平均值。4、 觀測頻率和繩子張力之間的關系（1）取質量為50g的砝碼掛于弦線的另一端，然后調節(jié)頻率，調節(jié)劈尖的位置，得到穩(wěn)定的駐波。分別測量波節(jié)N=1，N=2，N=3時，劈尖與圓柱底面圓心的距離。當頻率大于130Hz時，取N=1，N=3，N=5. （2）改變頻率f從80Hz到150Hz,砝碼質量不變，重復上述步驟（1），并記錄數(shù)據(jù)。5、 觀測砝碼質量mg與張力之間的關系 調節(jié)頻率為10

7、0Hz，砝碼質量從10g到200g時調節(jié)劈尖的位置得到穩(wěn)定的駐波，測量當N=1，N=2，N=3時，劈尖與圓柱底面圓心的距離。注：當砝碼質量為15g時，取N=2，N=3，N=4.6、 整理數(shù)據(jù)并處理實驗數(shù)據(jù)及處理（一） 砝碼質量對繩子張力和密度的影響： 1、的測量 弦線 質量=0.42、弦振動實驗裝置圓柱的半徑直徑114.54114.4114.36114.645.72如下表:表中M為砝碼的質量，N為波節(jié)數(shù)目，為波節(jié)長度，為波長的平均值，為繩子的密度，為繩子拉力的平均值， 繩子密度 繩子張力N=1N=2N=3(N)/%/%1016.223.73150970.3842102.043.953.9615

8、N=2N=3N=419.270.3958148.481.050.9919.3229.0238.3225.424.7237.0724.7160.4074244.351.851.864516.6733.0249.4233.040.4039436.570.971.0155.218.4636.8255.1236.80.3994541.6960.150.1375.321.2242.4263.7342.460.4093721.032.322.3485.522.9546.1168.6245.890.3978842.480.550.54106.551.0677.0251.230.39761049.890.60

9、.5820135.5271.0871.070.38992020.182.522.49注：僅當M=15g時，波節(jié)數(shù)目為特殊情況。其圖像如下所示：（見下頁）（二）振動頻率對繩子密度和張力的影響：N=1N=2N=3(N)/%/%8021.5243.6366.643.920.397493.820.750.79019.2639.0258.9939.090.394495.081.51.0210017.3134.6653.1235.030.399490.840.170.1711016.0332.0247.831.950.397494.070.820.8212014.7328.8343.5329.030.40

10、37485.420.920.94N=1N=3N=5(N)/%/%13013.541.0267.5427.120.394498.271.451.3114012.6736.8761.5624.730.4087479.602.172.5215011.6022.8234.3022.910.415472.253.723.76其圖表如下圖所示：在實驗過程中我們發(fā)現(xiàn)，一方面，當固定振動的頻率，改變砝碼的質量。若砝碼的質量過小，幾乎是15g左右時，基本上無法研究，實驗現(xiàn)象不明顯，振動特別不穩(wěn)定。但是，一旦砝碼質量大于20g時，實驗現(xiàn)象就明顯了很多，而且繩子的張力與砝碼的質量誤差基本保持在2.5%以下，尤其是5

11、0g到100g之間時，誤差基本保持在1%左右，可以說是非常小的。因此，我們在以后的實驗過程中，只要砝碼的質量大于40g往上，基本都是可取的。另一方面，當固定砝碼質量為50g時，我們通過改變頻率來觀測對繩子密度和拉力的影響。實驗發(fā)現(xiàn)，70Hz以前的頻率是基本上不能測試的，繩子的振動非常不穩(wěn)定。因此，我們在實驗過程中頻率選在從80Hz到150Hz,由實驗結論和實驗圖表可得：改變振動頻率產(chǎn)生的實驗誤差是先減小到100Hz后又增大，因此在以后進行實驗時，頻率選在100Hz時，誤差最小。還有一個特殊現(xiàn)象，當頻率過大，大于130Hz時，會出現(xiàn)一個特殊現(xiàn)象，當波節(jié)數(shù)目為偶數(shù)時，振動特別不穩(wěn)定，劈尖到滑輪處也

12、會出現(xiàn)微小的波節(jié)。而且，本來出現(xiàn)的兩個波節(jié)會慢慢的合成一個波節(jié)，合成后的波節(jié)長度幾乎和原來兩個波節(jié)的長度相等，且振動幅度特別大，但是當出現(xiàn)奇數(shù)波節(jié)時，則不會出現(xiàn)這種情況，實驗現(xiàn)象也相對穩(wěn)定。這對實驗帶來了難度，因此，我們?yōu)榱吮苊膺@種情況，減小實驗誤差，測量時，我們只選取奇數(shù)波節(jié)時的波節(jié)長度，這樣，得出的結論就相當準確。當然，由于實驗室的實驗儀器本身用于教學，不屬于研究器材，因此，實驗精度本身就不是很高，所以所測的實驗數(shù)據(jù)也不是非常精確，導致實驗出現(xiàn)誤差，當然這個誤差是無法避免的。同時，在測量波節(jié)長度l時，用于人肉眼原因，測量的數(shù)據(jù)相對也會出現(xiàn)偏差。實驗心得 這次實驗中，我們組成員分工明確，齊力配合，取得的成績非常明顯。實驗過程中，由于實驗數(shù)據(jù)的巨大性，我們走了不少彎路，經(jīng)過小組成員討論，查閱資料，然后以嚴謹?shù)膽B(tài)度測量每一組實驗數(shù)據(jù)，終于，功夫不負有心人。我們終于得出了繩子拉力和砝碼重力的關系，以及砝碼的重