弦振動(dòng)的誤差分析

1、弦振動(dòng)中誤差的研究實(shí)驗(yàn)?zāi)康模海?） 研究弦振動(dòng)中砝碼的重力與繩子拉力之間的關(guān)系，測(cè)量砝碼重力在多大范圍內(nèi)是和繩子張力相等的；（2） 研究弦振動(dòng)中頻率的改變對(duì)繩子張力和密度的影響，算出它們的誤差。實(shí)驗(yàn)原理：如圖（1）實(shí)驗(yàn)時(shí)在和間接上弦線（細(xì)銅絲），使弦線繞過(guò)定滑輪結(jié)上砝碼盤(pán)并接通正弦信號(hào)源。在磁場(chǎng)中，通有電流的弦線就會(huì)受到磁場(chǎng)力（稱為安培力）的作用，若細(xì)銅絲上通有正弦交變電流時(shí)，則它在磁場(chǎng)中所受的與電流垂直的安培力，也隨著正弦變化，移動(dòng)兩劈尖（銅塊）即改變弦長(zhǎng)，當(dāng)固定弦長(zhǎng)是半波長(zhǎng)倍數(shù)時(shí)，弦線上便會(huì)形成駐波。移動(dòng)磁鋼的位置，使弦振動(dòng)調(diào)整到最佳狀態(tài)（弦振動(dòng)面與磁場(chǎng)方向完全垂直），使弦線形成明顯的駐波

2、。此時(shí)我們認(rèn)為磁鋼所在處對(duì)應(yīng)的弦“O”為振源，振動(dòng)向兩邊傳播，在銅塊A、B兩處反射后又沿各自相反的方向傳播，最終形成穩(wěn)定的駐波。為了研究問(wèn)題的方便，認(rèn)為波動(dòng)是從A點(diǎn)發(fā)出的，沿弦線朝端方向傳播，稱為入射波，再由端反射沿弦線朝端傳播，稱為反射波。入射波與反射波在同一條弦線上沿相反方向傳播時(shí)將相互干涉，移動(dòng)劈尖到適合位置弦線上的波就形成駐波。這時(shí)，弦線上的波被分成幾段形成波節(jié)和波腹。駐波形成如圖（2）所示。圖（2）設(shè)圖中的兩列波是沿X軸相向方向傳播的振幅相等、頻率相同振動(dòng)方向一致的簡(jiǎn)諧波。向右傳播的用細(xì)實(shí)線表示，向左傳播的用細(xì)虛線表示，它們的合成駐波用粗實(shí)線表示。由圖可見(jiàn)，兩個(gè)波腹間的距離都是等于半

3、個(gè)波長(zhǎng)，這可從波動(dòng)方程推導(dǎo)出來(lái)。下面用簡(jiǎn)諧波表達(dá)式對(duì)駐波進(jìn)行定量描述。設(shè)沿X軸正方向傳播的波為入射波，沿X軸負(fù)方向傳播的波為反射波，取它們振動(dòng)位相始終相同的點(diǎn)作坐標(biāo)原點(diǎn) “O”，且在X0處，振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)向上達(dá)最大位移時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，則它們的波動(dòng)方程分別為：Y1Acos2p(ftx/ l)Y2Acos2p (ftx/)+ p式中A為簡(jiǎn)諧波的振幅，f為頻率，l為波長(zhǎng)，X為弦線上質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)位置。兩波疊加后的合成波為駐波，其方程為：Y1 Y22Acos2p（x/ l）+p/2Acos2pft 由此可見(jiàn)，入射波與反射波合成后，弦上各點(diǎn)都在以同一頻率作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們的振幅為2A cos2p（x/ l）+p/2 |

4、，與時(shí)間無(wú)關(guān)t，只與質(zhì)點(diǎn)的位置x有關(guān)。由于波節(jié)處振幅為零，即：cos2p（x/ l）+p/2 |02p（x/ l）+p/2(2k+1) p / 2 ( k=0. 2. 3. ) 可得波節(jié)的位置為： xkl /2 而相鄰兩波節(jié)之間的距離為：xk1xk (k1)l/2kl / 2l / 2 又因?yàn)椴ǜ固幍馁|(zhì)點(diǎn)振幅為最大，即 cos2p（x/ l）+p/2 | =12p（x/ l）+p/2 kp ( k=0. 1. 2. 3. L L) 可得波腹的位置為： x(2k-1)l/4 這樣相鄰的波腹間的距離也是半個(gè)波長(zhǎng)。因此，在駐波實(shí)驗(yàn)中，只要測(cè)得相鄰兩波節(jié)或相鄰兩波腹間的距離，就能確定該波的波長(zhǎng)。在本實(shí)

5、驗(yàn)中，由于固定弦的兩端是由劈尖支撐的，故兩端點(diǎn)稱為波節(jié)，所以，只有當(dāng)弦線的兩個(gè)固定端之間的距離（弦長(zhǎng)）等于半波長(zhǎng)的整數(shù)倍時(shí)，才能形成駐波，這就是均勻弦振動(dòng)產(chǎn)生駐波的條件，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：Lnl / 2 ( n=1. 2. 3. )由此可得沿弦線傳播的橫波波長(zhǎng)為： l2L / n 式中n為弦線上駐波的段數(shù)，即半波數(shù)。 根據(jù)波速、頻率及波長(zhǎng)的普遍關(guān)系式：Vlf，將式代入可得弦線上橫波的傳播速度：V2Lf/n 另一方面，根據(jù)波動(dòng)理論，弦線上橫波的傳播速度為：V(T/)1/2 式中T為弦線中的張力，為弦線單位長(zhǎng)度的質(zhì)量，即線密度。再由式可得 f =（T/）1/2（n/2L）得 由式可知，當(dāng)給定T、L，

6、頻率f只有滿足以上公式關(guān)系，且積儲(chǔ)相應(yīng)能量時(shí)才能在弦線上有駐波形成。實(shí)驗(yàn)步驟1、 連接實(shí)驗(yàn)裝置。2、 測(cè)量弦線線密度。測(cè)出弦線的質(zhì)量及其長(zhǎng)度。根據(jù)，計(jì)算弦線密度。3、 測(cè)圓柱半徑，用游標(biāo)卡尺測(cè)量其直徑，多次測(cè)量求平均值。4、 觀測(cè)頻率和繩子張力之間的關(guān)系（1）取質(zhì)量為50g的砝碼掛于弦線的另一端，然后調(diào)節(jié)頻率，調(diào)節(jié)劈尖的位置，得到穩(wěn)定的駐波。分別測(cè)量波節(jié)N=1，N=2，N=3時(shí)，劈尖與圓柱底面圓心的距離。當(dāng)頻率大于130Hz時(shí)，取N=1，N=3，N=5. （2）改變頻率f從80Hz到150Hz,砝碼質(zhì)量不變，重復(fù)上述步驟（1），并記錄數(shù)據(jù)。5、 觀測(cè)砝碼質(zhì)量mg與張力之間的關(guān)系 調(diào)節(jié)頻率為10

7、0Hz，砝碼質(zhì)量從10g到200g時(shí)調(diào)節(jié)劈尖的位置得到穩(wěn)定的駐波，測(cè)量當(dāng)N=1，N=2，N=3時(shí)，劈尖與圓柱底面圓心的距離。注：當(dāng)砝碼質(zhì)量為15g時(shí)，取N=2，N=3，N=4.6、 整理數(shù)據(jù)并處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及處理（一） 砝碼質(zhì)量對(duì)繩子張力和密度的影響： 1、的測(cè)量 弦線 質(zhì)量=0.42、弦振動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置圓柱的半徑直徑114.54114.4114.36114.645.72如下表:表中M為砝碼的質(zhì)量，N為波節(jié)數(shù)目，為波節(jié)長(zhǎng)度，為波長(zhǎng)的平均值，為繩子的密度，為繩子拉力的平均值， 繩子密度 繩子張力N=1N=2N=3(N)/%/%1016.223.73150970.3842102.043.953.9615

8、N=2N=3N=419.270.3958148.481.050.9919.3229.0238.3225.424.7237.0724.7160.4074244.351.851.864516.6733.0249.4233.040.4039436.570.971.0155.218.4636.8255.1236.80.3994541.6960.150.1375.321.2242.4263.7342.460.4093721.032.322.3485.522.9546.1168.6245.890.3978842.480.550.54106.551.0677.0251.230.39761049.890.60

9、.5820135.5271.0871.070.38992020.182.522.49注：僅當(dāng)M=15g時(shí)，波節(jié)數(shù)目為特殊情況。其圖像如下所示：（見(jiàn)下頁(yè)）（二）振動(dòng)頻率對(duì)繩子密度和張力的影響：N=1N=2N=3(N)/%/%8021.5243.6366.643.920.397493.820.750.79019.2639.0258.9939.090.394495.081.51.0210017.3134.6653.1235.030.399490.840.170.1711016.0332.0247.831.950.397494.070.820.8212014.7328.8343.5329.030.40

10、37485.420.920.94N=1N=3N=5(N)/%/%13013.541.0267.5427.120.394498.271.451.3114012.6736.8761.5624.730.4087479.602.172.5215011.6022.8234.3022.910.415472.253.723.76其圖表如下圖所示：在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)，一方面，當(dāng)固定振動(dòng)的頻率，改變砝碼的質(zhì)量。若砝碼的質(zhì)量過(guò)小，幾乎是15g左右時(shí)，基本上無(wú)法研究，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象不明顯，振動(dòng)特別不穩(wěn)定。但是，一旦砝碼質(zhì)量大于20g時(shí)，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象就明顯了很多，而且繩子的張力與砝碼的質(zhì)量誤差基本保持在2.5%以下，尤其是5

11、0g到100g之間時(shí)，誤差基本保持在1%左右，可以說(shuō)是非常小的。因此，我們?cè)谝院蟮膶?shí)驗(yàn)過(guò)程中，只要砝碼的質(zhì)量大于40g往上，基本都是可取的。另一方面，當(dāng)固定砝碼質(zhì)量為50g時(shí)，我們通過(guò)改變頻率來(lái)觀測(cè)對(duì)繩子密度和拉力的影響。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，70Hz以前的頻率是基本上不能測(cè)試的，繩子的振動(dòng)非常不穩(wěn)定。因此，我們?cè)趯?shí)驗(yàn)過(guò)程中頻率選在從80Hz到150Hz,由實(shí)驗(yàn)結(jié)論和實(shí)驗(yàn)圖表可得：改變振動(dòng)頻率產(chǎn)生的實(shí)驗(yàn)誤差是先減小到100Hz后又增大，因此在以后進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)，頻率選在100Hz時(shí)，誤差最小。還有一個(gè)特殊現(xiàn)象，當(dāng)頻率過(guò)大，大于130Hz時(shí)，會(huì)出現(xiàn)一個(gè)特殊現(xiàn)象，當(dāng)波節(jié)數(shù)目為偶數(shù)時(shí)，振動(dòng)特別不穩(wěn)定，劈尖到滑輪處也

12、會(huì)出現(xiàn)微小的波節(jié)。而且，本來(lái)出現(xiàn)的兩個(gè)波節(jié)會(huì)慢慢的合成一個(gè)波節(jié)，合成后的波節(jié)長(zhǎng)度幾乎和原來(lái)兩個(gè)波節(jié)的長(zhǎng)度相等，且振動(dòng)幅度特別大，但是當(dāng)出現(xiàn)奇數(shù)波節(jié)時(shí)，則不會(huì)出現(xiàn)這種情況，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象也相對(duì)穩(wěn)定。這對(duì)實(shí)驗(yàn)帶來(lái)了難度，因此，我們?yōu)榱吮苊膺@種情況，減小實(shí)驗(yàn)誤差，測(cè)量時(shí)，我們只選取奇數(shù)波節(jié)時(shí)的波節(jié)長(zhǎng)度，這樣，得出的結(jié)論就相當(dāng)準(zhǔn)確。當(dāng)然，由于實(shí)驗(yàn)室的實(shí)驗(yàn)儀器本身用于教學(xué)，不屬于研究器材，因此，實(shí)驗(yàn)精度本身就不是很高，所以所測(cè)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)也不是非常精確，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)誤差，當(dāng)然這個(gè)誤差是無(wú)法避免的。同時(shí)，在測(cè)量波節(jié)長(zhǎng)度l時(shí)，用于人肉眼原因，測(cè)量的數(shù)據(jù)相對(duì)也會(huì)出現(xiàn)偏差。實(shí)驗(yàn)心得 這次實(shí)驗(yàn)中，我們組成員分工明確，齊力配合，取得的成績(jī)非常明顯。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，由于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的巨大性，我們走了不少?gòu)澛罚?jīng)過(guò)小組成員討論，查閱資料，然后以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度測(cè)量每一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，終于，功夫不負(fù)有心人。我們終于得出了繩子拉力和砝碼重力的關(guān)系，以及砝碼的重