角平分線性質(zhì)在解題中的應用

1、構(gòu)造角平分線借助其性質(zhì)解題在解決三角形的問題中，如果已知條件中涉及到角的平分線，我們則可以考慮利用角的平分線的性質(zhì)解題.現(xiàn)舉例如下. 一、證明線段相等例1 如圖1，在ABC中，BAC的角平分線AD平分底邊BC.求證AB=AC.分析：根據(jù)已知可知AD是BAC的平分線，可通過點D作BAC的垂線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積進行證明.證明：過點D作DEAB，DFAC，垂足分別為E、F.因為DA為BAC的平分線，所以DE=DF.又因為AD平分BC，所以BD=CD，所以SABD=SACD，又SABD=AB·DE，SACD=AC·DF，所以AB·DE=AC·

2、DF，所以AB=AC. 圖1 圖2二、證明兩角的和等于180°.例2 已知，如圖2，AC平分BAD，CD=CB，AB>AD.求證:B+D=180°.分析:因為AC是BAD的平分線,所以可過點C作BAD的兩邊的垂線,構(gòu)造直角三角形,通過證明三角形全等解決問題. 證明:作CEAB于E,CFAD于F.因為AC平分BAD,所以CE=CF.在CBE和CDF中,因為CE=CF,CB=CD,所以RtCBERtCDF,所以B=1,因為1+ADC=180°,所以B+ADC=180°,即B+D=180°.三、證明角相等例3如圖3，在ABC中，PB、PC分別是

3、ABC的外角的平分線，求證：1=2分析：要證明AP是BAC的平分線，需要證明點P到BAC兩邊的距離相等，可作PEAB，PGAC，PHBC，易證PE=PH，PH=PG，從而PE=PG.證明；過點P作PEAB于點E，PGAC于點G，PHBC于點H.因為P在EBC的平分線上，PEAB，PHBC，所以PE=PH，同理可證PH=PG，所以PG=PE，又PEAB，PGAC，所以PA是BAC的平分線.所以1=2. 圖3 圖4四、證明角的平分線例4 如圖4，DAAB，CBAB，P是AB的中點，PD平分ADC.求證：CP平分DCB.分析：因為DAAB，PD平分ADC，所以可過點P作PEAC，利用角平分線的性質(zhì)得

4、到PE=PA，進而可得到PE=PB.證明：過點P作PEDC，垂足于E，因為PD平分ADC，PAAD，所以PA=PE，因為P為AB的中點，所以PA=PB，所以PE=PB，因為CBBP，CEPE，所以CP平分DCB五、求角的度數(shù)例5 如圖5，在ABC中，ABC=100°，ACB=20°，CE平分ACB，D是AC上一點，若CBD=20°，求ADE的度數(shù).分析：由于CE平分ACB，可過點E作ACB的兩邊的垂線，通過證明DE是ADB的平分線解決問題.解：作ENCA，EMBD，EPCB，垂足分別是N、M、P.因為ABD=ABC-CBD=100°-20°=8

5、0°，PBA=180°-100°=80°，所以PBA=ABD，因為EMBD于M，EPCB于P，所以EP=EM，又CE平分ACB，ENCA，EPCB，所以EN=EP，所以EN=EM，所以ED平分ADB，所以ADE=ADB=×40°=20°. 圖5“截長補短法”在角的平分線問題中的運用人教八年級上冊課本中，在全等三角形部分介紹了角的平分線的性質(zhì)，這一性質(zhì)在許多問題里都有著廣泛的應用.而“截長補短法”又是解決這一類問題的一種特殊方法，在無法進行直接證明的情形下，利用此種方法?？墒顾悸坊砣婚_朗.請看幾例.例1. 已知，如圖1-1，在

6、四邊形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC.求證：BAD+BCD=180°.分析：因為平角等于180°，因而應考慮把兩個不在一起的通過全等轉(zhuǎn)化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過“截長補短法”來實現(xiàn).證明：過點D作DE垂直BA的延長線于點E，作DFBC于點F，如圖1-2圖1-1BD平分ABC，DE=DF，在RtADE與RtCDF中，圖1-2RtADERtCDF(HL),DAE=DCF.又BAD+DAE=180°，BAD+DCF=180°，即BAD+BCD=180°例2. 如圖2-1，ADBC，點E

7、在線段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.求證：CD=AD+BC.分析：結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題的目的.圖2-1證明：在CD上截取CF=BC，如圖2-2在FCE與BCE中，F(xiàn)CEBCE（SAS）,2=1.圖2-2又ADBC，ADC+BCD=180°，DCE+CDE=90°，2+3=90°，1+4=90°，3=4.在FDE與ADE中，F(xiàn)DEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC.例3. 已知，如

8、圖3-1，1=2，P為BN上一點，且PDBC于點D，AB+BC=2BD.求證：BAP+BCP=180°.分析：與例1相類似，證兩個角的和是180°，可把它們移到一起，讓它們是鄰補角，即證明BCP=EAP，因而此題適用“補短”進行全等三角形的構(gòu)造.證明：過點P作PE垂直BA的延長線于點E，如圖3-2圖3-11=2，且PDBC，PE=PD，在RtBPE與RtBPD中，RtBPERtBPD(HL),圖3-2BE=BD.AB+BC=2BD，AB+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtAPE與RtCPD中,RtAPERtCPD(SAS),PAE=PC

9、D又BAP+PAE=180°.BAP+BCP=180°例4. 已知：如圖4-1，在ABC中，C2B，12.圖4-1求證：AB=AC+CD.分析：從結(jié)論分析，“截長”或“補短”都可實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，即延長AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.證明：方法一（補短法）延長AC到E，使DC=CE，則CDECED，如圖4-2ACB2E，圖4-2ACB2B，BE，在ABD與AED中,ABDAED（AAS）,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.方法二（截長法）在AB上截取AF=AC，如圖4-3在AFD與ACD中,圖4-3AFDACD（SAS）,DF=DC

10、，AFDACD.又ACB2B，F(xiàn)DBB，F(xiàn)D=FB.AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD.由角平分線引出的線段關(guān)系一.過三角形一邊的兩個頂點分別作兩個內(nèi)角的平分線相交于一點，過這點作這邊的平行線與其他兩邊相截，則截線長等于每個截點到同一邊上每個頂點之間的線段長的和。已知：如圖1，、的平分線相交于點F，過F作DE/BC，交AB于D，交AC于E，求證：圖1證明：BF平分，BE/BC同理可證即二. 過三角形兩個外角（或一個內(nèi)角與一個外角）的平分線的交點作平行截線，三條截線段的關(guān)系又怎么樣？請看以下例證。例1. 已知：如圖2，D是的外角，的平分線AD、CD的交點，過D作EF/AC，交BA的延

11、長線于E，交BC的延長線于F。圖2試指出AE、FC、EF的關(guān)系。分析：AD平分，EF/AC同理可證。而例2. 已知，如圖3，D是的內(nèi)角與外角的平分線BD與CD的交點，過D作DE/BC，交AB于E，交AC于F。試確定EF、EB、FC的關(guān)系。圖3分析：BD平分，DE/BC易證又，CD平分而因此，這道習題的命題可推廣為：過三角形一邊的兩個頂點分別作兩個內(nèi)角或兩個外角（一個內(nèi)角與一個外角）的平分線相交于一點，過這點作這邊的平行線與其他兩邊或兩邊的延長線相截，則截線段的長等于每個截點到同一邊上每個頂點之間的線段長的和（或差）。三角形角平分線的應用例析三角形的角平分線是三角形的主要線段之一，它在幾何的計算

12、或證明中，起著“橋梁”的作用那么如何利用三角形的角平分線解題呢？下面舉例說明A一、“以角平分線為軸翻折”構(gòu)造全等三角形A此情形可構(gòu)造兩種基本圖形如圖1、2所示：CB如圖1，以AD為軸翻折，ED使點C落在AB上（即在ABEDCB上截取AE = AC），得ACD（圖2）（圖1）AED如圖2，以AD為軸翻折，使點B落在AC的延長線上（即延長AC到E，使 AE = AB），得ABDAED例 1 如圖3，在ABC中，AD平分BAC，AB + BD = AC，求B C的值（河南省中考題）解法1：在AC上截取AE = AB ，連結(jié)AEBAD = DAE，AD = AD， AABDAED， ECB = AED

13、，BD = DEB又AB + BD = AC， （圖3）DCE = BD = DE，C = EDC，B = AED = 2C，B C = 21解法2：延長AB到E，使AE = AC ，連結(jié)DE請讀者一試二、“角平分線 + 垂線”構(gòu)造全等三角形或等腰三角形1、根據(jù)角平分線的性質(zhì)作垂線：自角的平分線上任一點向兩邊作垂線，得兩個全等的直角三角形；2、根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)作垂線：自角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與另一邊相交，則截的一個等腰三角形例 2 如圖4，在四邊形ABCD中，EABC > BA，AD = DC，BD平分ABCD求證：A + C = 180°證明：

14、過點D作DEAB，交BA延FCB長線于點E，作DFBC，交BC于點F （圖4）BD平分ABC，DE = DF 又AD = DC，RtEADRtFCD，C = EADEAD + BAD = 180°，C + BAD = 180°F例 3 如圖5，已知等腰RtABC中，A = 90°，B的平分線交AC于D，過C作BD的垂線交BD的延長線于E求證：BD = 2CE .A證明：延長CE交BA的延長線于點F EBE是B的平分線，BECF，DBCF = F， CBFBC是等腰三角形（圖5）CE = FE CF = 2CE AB = AC，ABD = ACF，BAD = CAF

15、 = 90°，RtBADRtCAFBD = CF = 2CE三、“角平分線 + 平行線”構(gòu)造等腰三角形A1、自角的平分線上任一點作角的一邊的平行線交另一邊，得等腰三角形；2、自角的一邊上任一點作角平分線的平EFD行線交另一邊的反向延長線，得等腰三角形CB例 4 如圖6，在ABC中，B和（圖6）C的平分線相交于點F，過F作DEBC，交AB于D，交AC于E若BD + EC =9，則線段DE的長為（ ）A.9；B.8；C.7；D.6. （河北省中考題）解：DEBC， DFB = FBC FBC = FBD， DFB = FBD，DF = BD同理可證，F(xiàn)E = EC DF + FE = DE，BD + EC = DE，即DE = 9. 故應選A.例 5 如圖7，ABC中，AD是