應(yīng)用微分中值定理的常見證明方法修改后

1、專題研究：應(yīng)用微分中值定理的常見證明方法一 至少存在一點，使得的命題。 其思路有二：（1） 驗證在上滿足羅爾中值定理條件(Roll theory),由該定理得證。（2） 驗證為的最值點或極值點，用費馬定理（Format theory）得到命題證明。例1 設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，且有，則在內(nèi)至少存在一個，使得解：由題設(shè)，可知異號，不妨設(shè)<0, >0 ,由極限的保號性可得： ，當(dāng)時有同理：，當(dāng)時有又因為在上連續(xù)，在上必有最小值，由以上可知最小值必在內(nèi)。設(shè)，由費馬定理可知 例2 若函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，其中 ，證明：在內(nèi)至少有一點，使得：證：依題意，可對在分別應(yīng)用羅爾中值定理，故存在 ， 。

2、則在上滿足羅爾中值定理條件，所以在內(nèi)至少有一點使得：。 例3 已知函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)存在，又連結(jié)， 兩點的直線交曲線于，且，試證：在內(nèi)至少存在一個,使得： 證：依題意，可對在分別應(yīng)用拉格朗日中值定理(Lagrange theory) ，則有： 因為三點共線，所以： 故：，所以在上滿足羅爾定理 于是存在一個，使得：練習(xí): 設(shè)在內(nèi)連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo)，且，則至少存在一點，使得：分析：要證結(jié)論成立，只需證明： ，做輔助函數(shù)，利用羅爾定理。二 至少存在一點，使得的命題。 其證明思路如下： （1）做輔助函數(shù)；（2）驗證滿足羅爾定理條件；（3）由定理結(jié)論得出證明。 構(gòu)造輔助函數(shù)的常用方法：（一） 原函數(shù)法。（

3、1） 將欲證結(jié)論中的換成；（2） 通過恒等變形（一般兩邊求不定積分）將結(jié)論化為以消除導(dǎo)數(shù)符號的形式；（3） 利用觀察法或積分法求出原函數(shù)（一般取積分常數(shù)為零）；（4） 移項，使等式一邊為0，則另一邊為所求輔助函數(shù)。 下面以拉格朗日定理中的證法的輔助函數(shù)做法為例： 令（兩邊求不定積分）令 則輔助函數(shù)例1 設(shè)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，證明：至少存在一點，使得： 。分析：可作輔助函數(shù)：例2 設(shè)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，證明：至少存在一點，使得：。分析：令，則要證結(jié)論 所以： 若令 則可作輔助函數(shù)：練習(xí)：1.在上可導(dǎo)，且，證明：至少存在一點，使得：。分析：令，則要證結(jié)論 所以： 若令 則可作輔助函數(shù)： 2

4、.在上二階可導(dǎo)，且，證明：至少存在一點，使得：。 分析本題結(jié)論： 令 積分 故可做輔助函數(shù)3.（05年數(shù)學(xué)（一）考研試題18）已知函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明： （1）存在使得； （2）存在兩個不同的點使得. 證：（1）令，則在上連續(xù)，且 ，所以存在使得，即（2） 根據(jù)拉格朗日中值定理，存在，使得： 從而 4. (練習(xí)): 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明： 存在兩個不同的點使得. 證：令，則在上連續(xù)，且，所以存在使得，即根據(jù)拉格朗日中值定理，存在，使得： 從而 思考題：設(shè)在上可導(dǎo)，且。證明：對任意正數(shù)，必存在內(nèi)的兩個不同的數(shù)與，使。證 設(shè)，令，則。因且在0, 1上連續(xù)，由介值定理存在，

5、使得。現(xiàn)在在0,c上利用拉格朗日中值定理，存在，有 同理在c,1上利用拉格朗日中值定理存在，有于是 。命題得證。（二） 常數(shù)值法（此法適用于常數(shù)易分離的命題）（1） 將常數(shù)部分令作。（2） 恒等變形，使等式一端為及構(gòu)成的代數(shù)式，另一端為及構(gòu)成的代數(shù)式。（3） 分析關(guān)于端點的表達式是否為對稱式或輪換對稱式。若是，只要把任意端點或改寫為，相應(yīng)的函數(shù)值或變?yōu)?，則端點表達式即為輔助函數(shù)。 例1 設(shè)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，證明：至少存在一點，使得： 分析：令 故可作輔助函數(shù)例2設(shè)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，證明：至少存在一點，使得： 分析: 要證原結(jié)論 令故可作輔助函數(shù)例3設(shè)在上存在，試證至少存在一點，使得： 證：

6、令上式左端為，并同乘以，可得： 令也可令： 則： 顯然在上滿足羅爾定理，于是分別存在使得： 又因為： 由題設(shè)及以上證明可知：在上滿足羅爾定理，因此至少存在一點使得： 即：=0 所以命題得證。 練習(xí)：設(shè)在上可導(dǎo)，且，證明：至少存在一點，使得： （令）三 在內(nèi)至少存在，且滿足某種關(guān)系的命題。 其思路是：或是用兩次拉格朗日中值定理，或是一次拉格朗日中值定理，一次柯西中值定理，或是兩次柯西中值定理，然后再將所得結(jié)果做某種運算。 證明中的輔助函數(shù)的做法比較簡單，僅將欲證結(jié)論中的或看作變量，做某種簡單的恒等變形即可看出。 例1 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，試證：存在，使得 分析： 將看作變量，則可寫成：

7、 ，可作輔助函數(shù)為 證明：令，由題設(shè)條件可知：在上滿足拉格朗日中值定理，于是存在使得： 因為： 上式變?yōu)椋?（1） 令，則在上滿足拉格朗日中值定理，于是存在使得： （2） 由（1）（2）可知：例2 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，試證：存在，使得： 分析：， 將看作變量，則可寫成： 可作輔助函數(shù) 證明：令，則由題設(shè)可知：在滿足柯西中值定理，于是存在使得： （1）又在滿足拉格朗日中值定理，于是存在使得： （2） 由（1）（2）及題設(shè)條件，即得：四 微分中值定理的其他應(yīng)用例1 求極限： 解：對在上用拉格朗日中值定理即可得： 原式例2 積分估值：設(shè)在上連續(xù)，且 試證 解：若，不等式顯然成立。若，存在使得 在及上分別用拉格朗日定理有： 從而 再利用 即得所證。 例3 判定方程根的存在性：設(shè)在上可導(dǎo)，且，則方程在內(nèi)