小波變換 雙尺差分方程的求解

1、小波變換實(shí)驗(yàn)三雙尺度差分方程的驗(yàn)證(1)、使用數(shù)值方法求解雙尺度差分方程1、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶τ陔p尺度差分方程：驗(yàn)證：迭代后得到的 與 的選取無關(guān),與 和迭代次數(shù)的選取有關(guān)。通過本實(shí)驗(yàn)，可以進(jìn)一步了解雙尺度差分方程來構(gòu)造一個(gè)多分辨率分析以得到相應(yīng)的正交小波基的迭代原理和實(shí)現(xiàn)；可以在驗(yàn)證的過程當(dāng)中，充分了解通過雙尺度差分方程系數(shù)來構(gòu)造尺度函數(shù)以及小波函數(shù)的原理和方法。2、 實(shí)驗(yàn)原理、實(shí)驗(yàn)編程思路1、 迭代理論推導(dǎo)。根據(jù)書本的理論知識，可以知道若事先已知 的解存在，且supp，則可通過解線性方程組，用求得的無限小離散區(qū)間上的值去逼近 。由于在區(qū)間0，N之外， 的值為0，令t=1，2，N-1，得到線性方程

2、組 （1），其中：又由于 可解得。再由雙尺度差分方程 ，求得的值。重復(fù)上述過程，可求的的值。當(dāng)時(shí)，可用離散值逼近連續(xù)的 。2、 簡化計(jì)算過程和存儲變量復(fù)雜度的編程原理和思路：同樣在1的支撐區(qū)間內(nèi)，cn僅對有限個(gè)n不為零，并設(shè)0<=n<=N時(shí)，cn!=0。滿足上述條件下，方程的解具有緊支集。由1中的方程（1）可知，在歸一化條件下，（1）式有唯一解。在編寫迭代函數(shù)iter.m的時(shí)候，應(yīng)該已知的變量有：支撐區(qū)間長度N，雙尺度差分方程系數(shù)C，迭代次數(shù)m，初始條件 ，所求尺度函數(shù)自變量t。在解得上述方程之后，為了求得雙尺度差分方程在任意點(diǎn)的值，不防定義向量 （2）顯然可以有： （3） （4）

3、 （5）定義，則有： （6）再定義NXN的矩陣T0，T1，W0，W1，W2，W3分別為： （7） （8） （9）由雙尺度差分方程，可以得到：對任意，t可有四進(jìn)制展開式： ，其中dj=0，1，2，3。定義平移算子： 。由差分方程可得到： （10）若t在四進(jìn)制下有t=0.d1 d2 d3dm，則對（10）式反復(fù)遞推可以得到： (11)根據(jù)以上推導(dǎo)過程，在求解雙尺度差分方程時(shí)，可以采用如下的快速算法：（1） 、根據(jù)（9）式構(gòu)造Wk，k=0，1，2，3；（2） 、對任意的，存在某個(gè)整數(shù)k，使；（3） 、令t=S-k，有，對于t進(jìn)行四進(jìn)制展開，并選取適當(dāng)?shù)膍(迭代次數(shù)，越大精度越高)，使得 接近t；（4

4、） 、計(jì)算（5） 、以的第k+1個(gè)分量作為的估計(jì)。上算法具有兩大優(yōu)點(diǎn)：首先可得到任意分點(diǎn)上的任意精度的的近似值；其次在編程過程中，數(shù)組大小固定在N×N 階， 避免了以前那種結(jié)點(diǎn)數(shù)目按指數(shù)型增長情形,，從而大大節(jié)省了運(yùn)算過程當(dāng)中占用的存儲空間，節(jié)省了運(yùn)算時(shí)間。3、 實(shí)驗(yàn)程序和結(jié)果程序中的iter.m就是對于尺度函數(shù)的數(shù)值解法的求解函數(shù)。試驗(yàn)中取 ，支撐長度n=4，迭代次數(shù)m=6就可以實(shí)現(xiàn)對于0，3之間的任意t值對應(yīng)的 值的求解，主測試程序如下：C=(1+sqrt(3)/4,(3+sqrt(3)/4,(3-sqrt(3)/4,(1-sqrt(3)/4;fai=iter(4,C,6,0,1

5、.23);得到的輸出結(jié)果為：fai = 0.3963。對0,3之間的所有 近似求解可以得到如下的尺度函數(shù)圖：（2）、使用時(shí)域方法求解雙尺度差分方程一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶τ陔p尺度差分方程：驗(yàn)證：迭代后得到的 與 的選取無關(guān),與 和迭代次數(shù)的選取有關(guān)。通過本實(shí)驗(yàn)，可以進(jìn)一步了解雙尺度差分方程來構(gòu)造一個(gè)多分辨率分析以得到相應(yīng)的正交小波基的迭代原理和實(shí)現(xiàn)；可以在驗(yàn)證的過程當(dāng)中，充分了解通過雙尺度差分方程系數(shù)來構(gòu)造尺度函數(shù)以及小波函數(shù)的原理和方法。二、實(shí)驗(yàn)原理、實(shí)驗(yàn)編程思路任取具有緊支集的非零函數(shù) ，定義算子T如下：則：當(dāng)m->無窮大時(shí)，若收斂到，則有：上式是以hn為系數(shù)的雙尺度差分方程，所求的即為該差分

6、方程的解。對于支撐區(qū)間，當(dāng)hn的支撐長度為N，設(shè)，則：所以可以看出雙尺度差分方程在得到尺度函數(shù)的時(shí)候，其支撐長度完全由雙尺度差分方程的系數(shù)hn決定，而和初始函數(shù) 的選取無關(guān)。編程思想：取初始值 為矩形波（對應(yīng)一個(gè)離散值），則一次迭代后 有4個(gè)離散值，構(gòu)造一個(gè)4×N的零矩陣（N為 的值的個(gè)數(shù)），其第一行行向量為 對應(yīng)的離散值乘以h（1）和零組成，第二行向量為第一行右移兩個(gè)值乘以h（2）組成，依次類推，構(gòu)成一個(gè)4×N維矩陣，將此矩陣的行向量相加即得 ，完成第一次循環(huán)；重復(fù)上述過程，此時(shí)矩陣的行向量依次右移個(gè)值，完成第二次循環(huán)；依次類推，完成i次循環(huán)，可得到 ，當(dāng)i足夠大時(shí)可得到

7、逼近的尺度函數(shù)，進(jìn)一步可得到小波母函數(shù)。三、實(shí)驗(yàn)程序和結(jié)果試驗(yàn)中選取：針對不同的雙尺度差分方程系數(shù)hn，分別選定不同的初始函數(shù)fai0、迭代次數(shù)m，分析比較最后得到的尺度函數(shù)與上述三個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系：（1） 、控制系數(shù)h1和迭代次數(shù)m1不變，分別取fai0=0,1,2,1;fai1=1,1,1,1。很明顯可以看出，得到的尺度函數(shù)完全一樣，故可以得出結(jié)論：迭代后得到的 與 的選取無關(guān)，而且可以看出得到的波形與（1）中利用數(shù)值解法得到的波形基本一致，也互相驗(yàn)證了兩種算法的正確性。（2） 、控制初始函數(shù)fai0和迭代次數(shù)m1不變，去系數(shù)h1，h2.可以看出尺度函數(shù)的形狀完全由方程系數(shù)h所決定，而且h1