導數的定義和幾何意義2014一

1、導數的定義和集合意義（導數輔導一）一、定義的理解1叫函數在處的導數，記作 。注：函數應在點的附近有定義，否則導數不存在。在定義導數的極限式中，趨近于0可正、可負、但不為0，而可能為0。是函數對自變量在范圍內的平均變化率，它的幾何意義是過曲線上點（，）及點（+，）的割線斜率。導數是函數在點的處瞬時變化率，它反映的函數在點處變化的快慢程度，它的幾何意義是曲線上點（，）處的切線的斜率。2. 函數在處的導數的幾何意義：曲線在其上點，處的切線的斜率。注：用導數研究切線問題，切點是關鍵（切點在切線上、切點在曲線上、切點橫坐標的導函數值為切線斜率）。注意區(qū)分“求曲線上過點M的切線”與“求曲線上在點M處的切線

2、”；前者只要求切線過M點，M點未必是切點；而后者則很明確，切點就是M點。3. （1） 幾種常見的函數導數：、 （c為常數）； 、 （）； 、= ；、 = ； 、 ； 、 ； 、 ； 、 .（2） 求導數的四則運算法則：； 4. 復合函數的求導法則： 或 二、典例選講：（1）定義的應用1、若，則等于： (A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 1/2解析：，即=2=-1。2、設函數在任何處可求導且 ( )A0BC1D 23、設C是成本，q是產量，成本與產量的函數關系式為CC（q），當產量為時，產量變化對成本的影響可用增量比刻劃.如果無限趨近于0時，無限趨近于常數A，經濟學上稱A為邊際成本.

3、它表明當產量為時，增加單位產量需付出成本A（這是實際付出成本的一個近似值）。設生產x個單位產品的總成本函數是C(x)8，則生產8個單位產品時，邊際成本是： （ ） A2B8C10D16練習：若，則= ，= ，= ， = 。（2）導數的幾何意義1）關于傾斜角1、曲線在點處切線的傾斜角為（）A1BCD2、點P是曲線上的動點，設點P處切線的傾斜角為，則的取值范圍是A、 B、 C、 D、3、設為曲線：上的點，且曲線在點處切線傾斜角的取值范圍為，則點橫坐標的取值范圍為（）ABCD練習：曲線y=-tanx在點（處的切線的傾斜角為 設函數，曲線在點處的切線方程為，則曲線在點處切線的斜率為( )ABCD已知點

4、P在曲線y=上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是 A、0,) B、 C、 D、2）關于切線（方程或方程組的思想）1、已知曲線在點處的切線與軸平行，則點的坐標是（）A BC D已知曲線的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為（ ） A2B3 C D12、曲線與直線相切，則實數_已知直線與拋物線相切，則已知直線y =x1與曲線相切，則的值為( ) A.1 B. 2 C.1 D.2若曲線存在垂直于軸的切線，則實數的取值范圍是 .已知函數，若曲線在點處的切線與直線平行，則 的值 類型一：已知切點，求曲線的切線方程此類題較為簡單，只須求出曲線的導數，并代入點斜式方程即可方法：例1曲線在點處的切線

5、方程為（） 解：由則在點處斜率，故所求的切線方程為，即，因而選類型二：已知斜率，求曲線的切線方程此類題可利用斜率求出切點，再用點斜式方程加以解決方法：例2與直線的平行的拋物線的切線方程是（） 解：設為切點，則切點的斜率為由此得到切點故切線方程為，即，故選評注：此題所給的曲線是拋物線，故也可利用法加以解決，即設切線方程為，代入，得，又因為，得，故選類型三：已知過曲線上一點，求切線方程過曲線上一點的切線，該點未必是切點，故應先設切點，再求切點，即用待定切點法例3 求過曲線上的點的切線方程解：設想為切點，則切線的斜率為切線方程為又知切線過點，把它代入上述方程，得解得，或故所求切線方程為，或，即，或評

6、注：可以發(fā)現直線并不以為切點，實際上是經過了點且以為切點的直線這說明過曲線上一點的切線，該點未必是切點，解決此類問題可用待定切點法類型四：已知過曲線外一點，求切線方程此類題可先設切點，再求切點，即用待定切點法來求解例4求過點且與曲線相切的直線方程解：設為切點，則切線的斜率為切線方程為，即又已知切線過點，把它代入上述方程，得解得，即評注：點實際上是曲線外的一點，但在解答過程中卻無需判斷它的確切位置，充分反映出待定切點法的高效性變式已知函數，過點作曲線的切線，求此切線方程解：曲線方程為，點不在曲線上設切點為，則點的坐標滿足因，故切線的方程為點在切線上，則有化簡得，解得所以，切點為，切線方程為評注：

7、此類題的解題思路是，先判斷點A是否在曲線上，若點A在曲線上，化為類型一或類型三；若點A不在曲線上，應先設出切點并求出切點2004年江蘇第二次模擬試卷（常州卷）卷11：過點P作曲線y=x3的兩條切線L1與L2,設L1，L2的夾角為，則tan= ( )解：由y=x3得y/=3x2設Q（x0,x03）為切點，則在Q點處的切線的方程為L：yx=3x02(xx)PL，1x=3x02(1x) （1x）（2x+1）=0 x=1或x= k= yx=1=3 k= y=tan=（2004年江蘇省第一次模擬試卷）第16題：若直線y=x是曲線的切線，求a的值解：設切點P（則 由得3、曲線在點處的切線方程為_已知（1）

8、求在點處的切線方程；（2）求過點的切線方程求函數y=x3-3x2+x的圖象上過原點的切線方程解析：易見O（0，0）在函數y=x3-3x2+x的圖象上，y=3x26x+1,但O點未必是切點。設切點A（x0,y0）y=3x26x+1, 切線斜率為3x026x0+1,又切線過原點，=3x026x0+1即：y0=3x036x02+x0 又切點A（x0,y0）y=x3-3x2+x的圖象上y0=x033x02+x0 由得：x0 =0或x0 =，切線方程為：y=x或5x+4y=0曲線上過點的切線方程是 已知函數在R上滿足，則曲線在處的切線方程是( )A. B. C. D. （3）面積1、曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（ ）2、曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為（ ）ABCD練習：若曲線在點處的切線與兩個坐標圍成的三角形的面積為18，則 A、64 B、32 C、16 D、8 曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（） （07高考海南理10）（4）對導數符號的理解：1、若函數滿足，則的值 2