小波變換論文

1、圖像處理與分析結(jié)課論文小波變換及其在圖像處理與分析中的應(yīng)用 院（系）名稱：遙感信息工程學(xué)院專 業(yè) 名 稱：測繪工程學(xué) 號：學(xué) 生 姓 名： 指 導(dǎo) 老 師： 二一三年十一月摘要對小波變換的基本概念進(jìn)行了簡要介紹，分析了小波變換在圖像壓縮、圖像去噪以及圖像融合等方面的應(yīng)用，概述了相關(guān)算法原理。以Matlab為平臺(tái)，進(jìn)行了基于小波變換的圖像融合實(shí)驗(yàn)，并分析了實(shí)驗(yàn)結(jié)果。關(guān)鍵詞：小波變換圖像壓縮圖像去噪圖像融合ABSTRACTThe paper give a brief introduction of wavelet transforms basic conception and analysis t

2、he applications of wavelet transform in image compression, image denoising and image fusion. Then it introduces some algorithms about image prosessing. Finally, give a experiment of image fusion based on wavelet transform, which is programmed in Matlab platform, and analyze the experimental results.

3、Key words: Wavelet transform Image compression Image denoising Image fusion第1章引言當(dāng)從時(shí)域中觀察一個(gè)信號時(shí)，得到的信息是信號隨著時(shí)間的變化，其幅度的起起伏伏。但是，如果更進(jìn)一步想研究起伏速度較快或較慢的部分，就不太容易從時(shí)域中信號的波形直接得到所需的信息。因此，需要將時(shí)域中的信號轉(zhuǎn)換到頻域中分析。傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)換方式是利用傅立葉變換，然而，傅立葉變換潛在的假設(shè)了信號是平穩(wěn)信號。所謂的平穩(wěn)信號就是信號的規(guī)律不隨時(shí)間的變化而改變，而現(xiàn)實(shí)生活中的信號往往是非平穩(wěn)信號和平穩(wěn)信號交織在一起的。另一方面，用傅立葉變換提取信號的頻譜需要

4、利用信號全部時(shí)域的信息，也就無法通過傅立葉分析來刻畫時(shí)域信號的局部特性。為解決傅立葉變換的不足，Gabor提出在傅立葉變換中加入高斯窗函數(shù)，將窗函數(shù)沿時(shí)間軸挪移，得到一系列包含時(shí)間信息的傅立葉變換結(jié)果，從而能同時(shí)分析信號的時(shí)間信息和頻率信息。根據(jù)Heisenberg的測不準(zhǔn)原理，窗口傅立葉變換對信號的時(shí)間定位和頻率定位能力是相互矛盾的，時(shí)間分辨率和頻率分辨率不可能同時(shí)提高，而且變換窗口沒有自適應(yīng)性，只適于分析所有特征尺度大致相同的信號，不適于分析多尺度信號和突變過程。由此，引入了小波變換。顧名思義，“小波”就是小的波形。所謂“小”是指它具有衰減性，而稱之為“波”則是指它的波動(dòng)性，其振幅呈正負(fù)相

5、間的震蕩形式。傅立葉分析是將信號分解成一系列不同頻率的正弦波的疊加，同樣小波分析是將信號分解為一系列小波函數(shù)的疊加，而這些小波函數(shù)都是由一個(gè)母小波函數(shù)經(jīng)過平移和尺度伸縮得來的。小波分析優(yōu)于傅立葉分析的地方是，它在時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì)，且具有多分辨分析的特點(diǎn)。它是一種窗口大小可以改變的分析方法，可以改變其時(shí)間窗和頻率窗，根據(jù)高頻和低頻的不同，可以使時(shí)間頻率窗變窄或變寬，即：在低頻部分時(shí)具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻部分時(shí)具有較低的頻率分布率和較高的時(shí)間分辨率，非常適合于加帶、瞬態(tài)、反?，F(xiàn)象的探測正常信號中并展示其成分，所以被譽(yù)為分析信號的顯微鏡。第2章小波變換的基本

6、概念2.1連續(xù)小波變換給定基本小波函數(shù)，信號f(t)的連續(xù)小波變換定義為：Wfa,b=1aR ft(t-ba)dt=-+fta,btdt (a0,bR) (2.1)式(2.1)也可以表示為Wfa,b=f*a,bt，它可以看做是求函數(shù)f(t)在a,bt的各尺度平移信號上的投影。其給出了f(t)的一種多尺度表示，a代表尺度因子，a,bt=1a(t-ba)稱為小波。若a1，則函數(shù)(t)具有伸展作用，a1時(shí)，函數(shù)具有收縮作用。因此隨著參數(shù)a的變化，就有可能實(shí)現(xiàn)窗口大小自適應(yīng)變化，當(dāng)信號頻率增高時(shí)，時(shí)窗寬度變窄，而頻窗寬度增大，有利于提高時(shí)域分辨率，反之亦然。參數(shù)b反映(t)的位移，把基本小波(母小波)

7、的函數(shù)(t)作位移后，再在不同尺度下與待分析信號作內(nèi)積，就可以得到一個(gè)小波序列。然而，小波函數(shù)t的選擇既不是唯一的，也不是任意的，它應(yīng)滿足以下幾個(gè)條件：1）定義域應(yīng)是緊支撐的，即在一個(gè)很小的區(qū)間外，函數(shù)為零，也就是函數(shù)應(yīng)有速降特性。2）函數(shù)平均值為零，而函數(shù)只有在t軸上取值有正有負(fù)才能保證均值為零，所以函數(shù)應(yīng)有震蕩性。在實(shí)際應(yīng)用尤其是信號處理以及圖像處理的應(yīng)用中，變換只是一種簡化問題、處理問題的有效手段，最終目的需要回到原問題的求解，因此，還要保證連續(xù)小波變換存在逆變換。對于所有的f(t)、(t) L2(R)，連續(xù)小波逆變換由式(2.2)給出：f(t)=1C-+-+a-2Wfa,ba,btda

8、db (2.2)2.2離散小波變換連續(xù)小波變換往往用于理論分析，在實(shí)際應(yīng)用中，需要將連續(xù)小波加以離散化才能應(yīng)用于計(jì)算機(jī)中。因此，需要對尺寸參數(shù)a和平移參數(shù)b進(jìn)行離散化處理，設(shè)定 ，則： (2.3)定義相應(yīng)的離散小波變換為： (2.4)其逆變換為： (2.5)2.3二維小波變換一維小波變換是將一維原始信號分別經(jīng)過低通濾波和高通濾波以及二元下抽樣得到信號的低頻部分L和高頻部分H。根據(jù)Mallat算法，二維小波變換可以用一系列的一維小波變換得到。對一幅m行n列的圖像，二維小波變換的過程是先對圖像的每一行做一維小波變換，得到L和H兩個(gè)對半部分；然后對得到的LH圖像（仍是m行n列）的每一列做一維小波變換

9、。這樣經(jīng)過一級小波變換后的圖像就可以分為LL，HL，LH，HH四個(gè)部分。而二級、三級以至更高級的二維小波變換則是對上一級小波變換后圖像的LL部分再進(jìn)行一級二維小波變換，是一個(gè)遞歸過程，從而得到塔式結(jié)構(gòu)的圖像，如下圖所示：一個(gè)圖像經(jīng)過小波分解后，可以得到一系列不同分辨率的子圖像，不同分辨率的子圖像對應(yīng)的頻率也不同。高分辨率（即高頻）子圖像上大部分點(diǎn)的數(shù)值都接近于0，分辨率越高，這種現(xiàn)象越明顯。2.4多分辨分析多分辨分析又稱為多尺度分析，是建立在函數(shù)空間概念上的理論。其主要思想是將L ( R )分解為一串具有不同分辨率的子空間序列，該子空間序列的極限就是L ( R )，然后將L ( R )中的 f

10、 函數(shù)描述為具有一系列近似函數(shù)的逼近極限，其中每一個(gè)近似函數(shù)都是 f 函數(shù)在不同分辨率子空間上的投影。通過這些投影可以分析和研究f 函數(shù)在不同分辨率子空間上的形態(tài)和特征。類似于人的視覺系統(tǒng)，多分辨率分析在各尺度上可以由粗到精地逐級觀察目標(biāo)。利用多分辨率分析能構(gòu)造L ( R )的標(biāo)準(zhǔn)小波正交基。第3章小波變換在圖像處理中的應(yīng)用利用小波變換進(jìn)行圖像處理均需要有三個(gè)基本的步驟，先通過小波變換將圖像變換到頻域中，再對小波系數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的處理，最后對處理后的小波系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，得到處理后的圖像。針對不同的應(yīng)用，具體的小波系數(shù)處理過程會(huì)有所不同。3.1小波變換在圖像壓縮中的應(yīng)用經(jīng)過小波變換很容易得到圖像的低頻

11、部分和高頻部分，圖像的大部分能量一般集中于低頻部分，而高頻部分則反應(yīng)圖像的細(xì)節(jié)。因此，最簡單的壓縮方式，就是在小波重構(gòu)時(shí)，將高頻系數(shù)置0，也可根據(jù)圖像將局部區(qū)域的高頻系數(shù)置0，或者根據(jù)閾值來決定高頻系數(shù)的取舍。這種方法圖像細(xì)節(jié)損失嚴(yán)重，壓縮后的圖像模糊，圖像信息損失嚴(yán)重。由于遙感數(shù)據(jù)的海量增加、保存的重要性及其應(yīng)用對精度保證的要求，因而遙感數(shù)據(jù)的壓縮必須滿足信息保持壓縮及能達(dá)到較高的壓縮比這兩個(gè)條件時(shí)才有意義。小波變換能提供原始圖像的多尺度分解表示，而且各分辨率層上的子圖像具有不同的頻率特征和不同的方向取向，從而可對這些信息表示進(jìn)行相應(yīng)的編碼。圖像信號的統(tǒng)計(jì)特征表明大幅值的系數(shù)往往集中于低頻區(qū)

12、內(nèi)，這樣就可以給那些小幅值系數(shù)分配很小的比特?cái)?shù)，甚至可以不傳輸或存儲(chǔ)，得到很高的壓縮比和很小的失真度。通常認(rèn)為遙感數(shù)據(jù)中存在有空間冗余和譜間冗余，前者表現(xiàn)為同一類地物相鄰像素間存在的空間相關(guān)性，后者表現(xiàn)為相鄰波段同一位置的像素之間存在相關(guān)性。因此有學(xué)者提出用遙感圖像零樹壓縮編碼算法和基于整數(shù)小波變換的壓縮等方法來去除遙感數(shù)據(jù)中的冗余，達(dá)到更高的壓縮比和更小的失真度。遙感圖像零樹壓縮編碼算法的原理是子代中某一小波系數(shù)不重要的時(shí)候,便認(rèn)為其所有后代的小波系數(shù)都是不重要的,即形成所謂的零樹。通過對零樹進(jìn)行編碼得到壓縮后的遙感影像。這種算法假設(shè)不重要的小波系數(shù)其后代也不重要，事實(shí)上，對于圖像邊緣往往不

13、滿足假設(shè)條件，因此存在壓縮影像損失邊緣信息的情況。為解決這一問題，有許多人提出了改進(jìn)算法，如Said 和Pearlman 提出的SPIHT (Set Partitio2ning In Hierarchical Trees) 算法?；谡麛?shù)小波變換的壓縮方法將小波變換壓縮技術(shù)中的零樹編碼推廣到高光譜圖像壓縮中，其基本原理是利用高光譜圖像的結(jié)構(gòu)相關(guān)性，對多幅小波系數(shù)圖像，只構(gòu)造一幅有效圖(共享有效圖) 來確定多幅小波系數(shù)圖像中非零值的位置，通過各波段零樹相“與”得到共享零樹，同時(shí)去除空間冗余和譜間冗余。還可以先進(jìn)行K- L 變換再進(jìn)行共享有效圖的小波變換編碼，進(jìn)一步去除譜間冗余,提高壓縮效率。3.

14、2小波變換在圖像去噪中的應(yīng)用在圖像中噪聲一般表現(xiàn)為高頻信息，并且與圖像中其他信息呈弱相關(guān)或者不相關(guān)。所以消噪過程一般可按以下方法進(jìn)行處理。首先對圖像進(jìn)行小波分解，選擇小波并確定分解層次為N，則噪聲部分通常包含在高頻中。然后對小波分解的高頻系數(shù)進(jìn)行門限閾值量化處理。最后根據(jù)小波分解的第N層低頻系數(shù)和經(jīng)過量化后的1N層高頻系數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)，達(dá)到消除噪聲的目的，即抑制圖像的噪聲。基于小波分析的去噪方法大體有小波萎縮法、投影方法、相關(guān)方法等幾種。小波萎縮法的出發(fā)點(diǎn)是較大的小波系數(shù)通常反映景物信號，而較小的系數(shù)通常反映噪聲。因此可以設(shè)定閾值，過濾掉噪聲。閾值函數(shù)的設(shè)定決定了降噪的效果，廣泛使用的閾值函數(shù)

15、有硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)。此外，還可以通過判斷系數(shù)被噪聲污染的程度，并為這種程度引入各種度量方法(例如概率和隸屬度等) ，進(jìn)而確定萎縮的比例，來實(shí)現(xiàn)去噪的目的。投影方法的原理是將帶噪信號以一種迭代的方式，投影到逐步縮小的空間，由于最后的空間能更好地體現(xiàn)原信號的特點(diǎn)，所以投影方法也能夠有效地區(qū)分噪聲和信號。其中典型的算法是MatchingPursuits 法，通過指定一族小波或波函數(shù)，并將帶噪聲信號向此函數(shù)進(jìn)行投影，接著又對殘差投影，并循環(huán)反復(fù)，直到殘差符合一定限值。相關(guān)方法是基于信號在各層相應(yīng)位置上的小波系數(shù)間往往相關(guān)、而噪聲的小波系數(shù)則具有弱相關(guān)或不相關(guān)的特點(diǎn)來去噪。3.3小波變換在圖像融合

16、中的應(yīng)用在圖像融合中，小波變換的目的是將原始圖像分別分解到一系列頻率通道中,利用分解后的金字塔或樹結(jié)構(gòu)對不同分解層、不同頻帶進(jìn)行融合處理,這種方法有助于將來自不同圖像的感興趣的細(xì)節(jié)融合在一起。針對不同類型的圖像,學(xué)者們提出了各種有效的融合規(guī)則如取系數(shù)絕對值較大法、加權(quán)平均法、消除高噪聲法、高低頻混合雙閾值法等。取系數(shù)絕對值較大法適合高頻成分較豐富，亮度、對比度較高的原圖像，否則在融合圖像中只保留一幅圖像的特征，其他的特征被覆蓋；融合圖像中基本保留原圖像的特征，圖像對比度與原圖像基本相同。小波變換的實(shí)際作用是對信號解相關(guān)，并將信號的全部信息集中到一部分具有大幅值的小波系數(shù)中。這些大的小波系數(shù)含有

17、的能量遠(yuǎn)比小系數(shù)含有的能量大，從而在信號的重構(gòu)中，大的系數(shù)比小的系數(shù)更重要。 加權(quán)平均法的權(quán)重系數(shù)可調(diào)，適用范圍廣，可消除部分噪聲，原圖像信息損失較少，但會(huì)造成圖像對比度的下降，需要進(jìn)行圖像灰度增強(qiáng)。消除高頻噪聲法的高頻噪聲可以基本消除，融合圖像對比度較高，原圖像特征可較好地保留在融合圖像中，但在消除高頻噪聲的同時(shí)，損失了部分高頻信息。雙閾值法適于原圖像中一幅圖像的灰度分布均衡，高頻成分較多。雙閾值可選，增加了算法的實(shí)用性，但選擇閾值時(shí)要考慮原圖像灰度分布的特點(diǎn)，否則有可能出現(xiàn)邊緣跳躍的現(xiàn)象。以上是基于單個(gè)像素的融合規(guī)則，其在融合處理時(shí)表現(xiàn)出對邊緣的高度敏感性，使得在預(yù)處理時(shí)要求圖像

18、是嚴(yán)格對準(zhǔn)的，否則處理結(jié)果將不盡人意，這就加大了預(yù)處理的難度。而基于區(qū)域的融合規(guī)則由于考慮了與相鄰像素間的相關(guān)性，降低了對邊緣的敏感性，所以具有更加廣泛的適用性?；趨^(qū)域特征的融合規(guī)則主要包括基于梯度的方法、基于局域方差的方法、基于局域能量的方法等。3.4其他應(yīng)用此外小波變換還能應(yīng)用于圖像拼接與鑲嵌、特征提取與分類、圖像復(fù)原、圖像插值、紋理分析和邊緣檢測等方面。第4章基于小波變換的圖像融合實(shí)驗(yàn)根據(jù)文獻(xiàn)中的各種圖像融合方法，我利用Matlab做了一個(gè)簡單的圖像融合實(shí)驗(yàn)。4.1算法原理1)將待融合的兩幅影像進(jìn)行小波變換2)對于高頻小波系數(shù)采用基于像素點(diǎn)小波系數(shù)絕對值取較大的規(guī)則進(jìn)行融合。3)進(jìn)行小波重構(gòu)，得到融合影像。4.2實(shí)驗(yàn)結(jié)果4.3實(shí)驗(yàn)分析可以看到融合后的影像基本上只保證了第二幅影像的特征，但是在亮度上比第二幅影像更亮，而趨近于第一幅影像。第一幅影像的信息只有很少一部分反映在融合圖像中，融合效果好像并不是太理想。這個(gè)可能與圖像的選擇有關(guān)，也與算法的設(shè)計(jì)有關(guān)?？傊?，通過實(shí)驗(yàn)基本了解了利用小波變換進(jìn)行圖像融合的過程，有了比較直觀的體會(huì)。便于以后進(jìn)行深入研究。參考文獻(xiàn)1 賈永紅.數(shù)字圖像處理M. 武漢大學(xué)出版社, 20042 林宏裔, 孔亮. 在 MATLAB 語言環(huán)境下基于小