等差與等比數(shù)列綜合

1、1等差與等比數(shù)列綜合等差與等比數(shù)列綜合填空題1. （江蘇省揚(yáng)州市 2013 屆高三下學(xué)期 5 月考前適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)（理）試題）數(shù)列na中,12a ,1nnaacn(c是常數(shù),12 3n ，),且123aaa，成公比不為1的等比數(shù)列,則na的通項(xiàng)公式是_. 【答案】22nann2. （常州市 2013 屆高三教學(xué)期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足, na143a ,則=_. *11226nnanNa11niia【答案】 2 324nn3. （江蘇省徐州市 2013 屆高三上學(xué)期模底考試數(shù)學(xué)試題）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a3=18,S3=26,則an的公比q=_.【答案】

2、34. （揚(yáng)州、南通、泰州、宿遷四市 2013 屆高三第二次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷）設(shè)數(shù)列an滿足:,則a1的值大于 20 的概率為_.*3118220()nnnnaaaaanN，【答案】 145. （蘇北老四所縣中 2013 屆高三新學(xué)期調(diào)研考試）已知數(shù)列na滿足122nnaqaq（q為常數(shù)，| 1q ） ，若3456,a a a a 18, 6, 2,6,30，則1a 【答案】2或 1266. （鎮(zhèn)江市 2013 屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）觀察下列等式: =1-, +31 21212231 212=1-, +=1-,由以上等式推測(cè)到一個(gè)一42 312213 2231 21242 312253

3、 412314 23般的結(jié)論:對(duì)于nN*, +=_.31 21242 3122n2nn112n【答案】 nn21117. （江蘇省揚(yáng)州市 2013 屆高三上學(xué)期期中調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題）已知等比數(shù)列na的首項(xiàng)是1,公比為 2,等差數(shù)列 nb的首項(xiàng)是1,公差為1,把 nb 中的各項(xiàng)按照如下規(guī)則依次插入到na的每相鄰兩項(xiàng)之間,2構(gòu)成新數(shù)列nc:1122334,a b a b b a b 564,b b a,即在na和1na兩項(xiàng)之間依次插入 nb中n個(gè)項(xiàng),則2013c_.【答案】1951 8. （江蘇省淮安市 2013 屆高三上學(xué)期第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題）若數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù) na列,則當(dāng)時(shí),數(shù)

4、列也是等比數(shù)列;類比上述性質(zhì),若數(shù)列是等差數(shù)列,則當(dāng)12nnnba aa nb nc_時(shí),數(shù)列也是等差數(shù)列.nd nd【答案】 ncccn219. （江蘇省無(wú)錫市 2013 屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）已知等差數(shù)列滿足:,.若 na21a02a將,都加上同一個(gè)數(shù),所得的三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列,則所加的這個(gè)數(shù)為_.1a4a5a【答案】 710. （江蘇省泰州、南通、揚(yáng)州、宿遷、淮安五市 2013 屆高三第三次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷）過點(diǎn)作曲線:的切線,切點(diǎn)為,設(shè)在軸上的投影是點(diǎn),過點(diǎn)再作曲線的切線,切( 1 0)P ，Cexy 1T1Tx1H1HC點(diǎn)為,設(shè)在軸上的投影是點(diǎn),依次下去,得到第個(gè)切點(diǎn).則點(diǎn)

5、的坐標(biāo)為2T2Tx2H1n ()nN1nT1nT_.【答案】 enn，11. （江蘇省 2013 屆高三高考模擬卷（二） （數(shù)學(xué)） ）已知數(shù)列an滿足 3an+1+an=4(nN*),且a1=9,其前n項(xiàng)之和為Sn,則滿足不等式|Sn-n-6|2 的n的取值范圍.nnnab2nT nbnT(3)設(shè)為非零整數(shù),),試確定的值,使得對(duì)任意,都有(2) 1(41nannnc*nN*nN成立.nncc1【答案】解:(1)由已知,(,), 111nnnnSSSS2n*nN即(,),且. 11nnaa2n*nN211aa數(shù)列是以為首項(xiàng),公差為 1 的等差數(shù)列. na12a 1nan(2) , 1nannn

6、nb21) 1( 21231111123(1).(1)22221111123(1).(2)22222nnnnnnTnnTnn L 23111111(1)(2)1(1)22222nnnTn L得： nTnn23313代入不等式 得: 01232233nnnn，即設(shè) 022)() 1(, 123)(1nnnnfnfnnf則在上單調(diào)遞減, )(nfN, 041)3(, 041)2(, 01) 1 (fff當(dāng)n=1,n=2 時(shí), ( )0,3( )0f nnf n當(dāng)時(shí)，所以n的取值范圍.為 3,nnN且(3),要使恒成立, 1,nanQ114( 1)2nnnnc 1nncc即恒成立, 1211144(

7、 1)2( 1)20nnnnnnnncc 恒成立,恒成立, 113 43( 1)20nnn 11( 1)2nn(i)當(dāng)為奇數(shù)時(shí),即恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有最小值為 ,. n12n1n 12n11(ii)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),即恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有最大值, .即n12n 2n 12n22 ,又為非零整數(shù),則 21 1 綜上所述:存在,使得對(duì)任意的,都有 1 nN1nncc22. （江蘇省 2013 屆高三高考?jí)狠S數(shù)學(xué)試題）已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1為a(,0)aR a.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn ,且對(duì)任意正整數(shù)n都有24121nnanan. (1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及Sn ;(2) 是否存在正整數(shù)n和k

8、,使得Sn , Sn+1 , Sn+k 成等比數(shù)列?若存在,求出n和k的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】14 23. （2013 江蘇高考數(shù)學(xué)）本小題滿分 16 分.設(shè)是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,是其naad)0(dnS前項(xiàng)和.記,其中為實(shí)數(shù).ncnnSbnn2*Nnc(1)若,且成等比數(shù)列,證明:();0c421bbb，knkSnS2*,Nnk(2)若是等差數(shù)列,證明:.nb0c【答案】本題主要考察等差數(shù)列等比數(shù)列的定義.通項(xiàng).求和等基礎(chǔ)知識(shí),考察分析轉(zhuǎn)化能力及推理論證能力. 證明:是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,是其前項(xiàng)和 naad)0(dnSn dnnnaSn2) 1( (1) 0cdna

9、nSbnn21成等比數(shù)列 421bbb，4122bbb)23()21(2daada 041212dad0)21(21dad0dda21ad2 anannnadnnnaSn222) 1(2) 1(左邊= 右邊= aknankSnk222)(aknSnk222左邊=右邊原式成立 (2)是等差數(shù)列設(shè)公差為,帶入得: nb1d11) 1(dnbbncnnSbnn215 對(duì)恒成11) 1(dnbcnnSn2)()21()21(11121131bdcncdndadbndd Nn立 0)(0021021111111bdccddadbdd由式得: dd2110d01d由式得: 0c法二:證:(1)若,則,.

10、0cdnaan) 1( 22) 1(adnnSn22) 1(adnbn當(dāng)成等比數(shù)列, 421bbb，4122bbb 即:,得:,又,故. 2322daadaadd220dad2由此:,. anSn2aknankSnk222)(aknSnk222故:(). knkSnS2*,Nnk(2), cnadnncnnSbnn22222) 1( cnadncadncadnn2222) 1(22) 1(22) 1(. () cnadncadn222) 1(22) 1(若是等差數(shù)列,則型. nbBnAnbn觀察()式后一項(xiàng),分子冪低于分母冪, 故有:,即,而0, 022) 1(2cnadnc022) 1(ad

11、nc22) 1(adn故. 0c經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時(shí)是等差數(shù)列. 0cnb24. （江蘇省南京市四校 2013 屆高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知等差數(shù)列 na的前n項(xiàng)和為nS,公16差,50, 053SSd且1341,aaa成等比數(shù)列.()求數(shù)列 na的通項(xiàng)公式;()設(shè)nnab是首項(xiàng)為 1,公比為 3 的等比數(shù)列,求數(shù)列 nb的前n項(xiàng)和nT.【答案】解:()依題意得 )12()3(5025452233112111daadadada 解得231da, 1212) 1(23) 1(1nanndnaann即， ()13nnnab,113) 12(3nnnnnab 123) 12(37353nnnT nnn

12、nnT3) 12(3) 12(3735333132 nnnnT3) 12(3232323212 nnnnn323) 12(31)31 (3231 nnnT3 25. （揚(yáng)州市 2012-2013 學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測(cè)高三數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列na的前n項(xiàng)和為nS.()若數(shù)列na是等比數(shù)列,滿足23132aaa, 23a是2a,4a的等差中項(xiàng),求數(shù)列 na的通項(xiàng)公式;()是否存在等差數(shù)列na,使對(duì)任意*nN都有22(1)nnaSnn?若存在,請(qǐng)求出所有滿足條件的等差數(shù)列;若不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】解:()設(shè)等比數(shù)列 na的首項(xiàng)為1a,公比為q, 17依題意,有).2(2,32342231aaa

13、aaa即)2(. 42)() 1 (,3)2(2131121qaqqaqaqa 由 ) 1 (得 0232 qq,解得1q或2q. 當(dāng)1q時(shí),不合題意舍; 當(dāng)2q時(shí),代入(2)得21a,所以,nnna2221 ()假設(shè)存在滿足條件的數(shù)列na,設(shè)此數(shù)列的公差為d,則 方法 1: 211(1)(1) 2(1)2n nand a ndnn,得 222222111331()()222222dna ddnaa ddnn對(duì)*nN恒成立, 則22122112,232,2310,22da ddaa dd 解得12,2,da或12,2.da 此時(shí)2nan,或2nan . 故存在等差數(shù)列na,使對(duì)任意*nN都有2

14、2(1)nnaSnn.其中2nan, 或2nan 方法 2:令1n ,214a ,得12a , 令2n ,得2212240aaa, 當(dāng)12a 時(shí),得24a 或26a , 若24a ,則2d ,2nan,(1)nSn n,對(duì)任意*nN都有22(1)nnaSnn; 若26a ,則8d ,314a ,318S ,不滿足23323(31)aS. 當(dāng)12a 時(shí),得24a 或26a , 若24a ,則2d ,2nan ,(1)nSn n ,對(duì)任意*nN都有22(1)nnaSnn; 若26a ,則8d ,314a ,318S ,不滿足23323(31)aS. 18綜上所述,存在等差數(shù)列na,使對(duì)任意*nN都

15、有22(1)nnaSnn.其中2nan,或2nan 26. （蘇州市 2012-2013 學(xué)年度第一學(xué)期高三期末考試數(shù)學(xué)試卷）設(shè)數(shù)列 na的前n項(xiàng)和為nS,滿足21nnaSAnBn(0A ).(1)若132a ,294a ,求證數(shù)列nan是等比數(shù)列,并求數(shù)列 na的通項(xiàng)公式;(2)已知數(shù)列 na是等差數(shù)列,求1BA的值.【答案】 27. （2012 年江蘇理）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列na和 nb滿足:221nnnnnbabaa,*Nn,19(1)設(shè)nnnabb11,*Nn,求證:數(shù)列2nnba是等差數(shù)列;(2)設(shè)nnnabb21,*Nn,且na是等比數(shù)列,求1a和1b的值.【答案】解:(1)nnnabb11,11222=1nnnnnnnnabbaabba. 2111nnnnbbaa. 222221111*nnnnnnnnbbbbnNaaaa .數(shù)列2nnba是以 1 為公差的等差數(shù)列.(2)00nna b ，,22222nnnnnnab