計(jì)數(shù)原理與排列組合

1、 計(jì)數(shù)原理與排列組合計(jì)數(shù)原理一、學(xué)問導(dǎo)學(xué)1.分類計(jì)數(shù)原理：完成一件事類方法，那么完成這件事共有N種不同的方法.2. 分步計(jì)數(shù)原理：完成一件事分成個(gè)步驟，那么完成這件事共有N×××種不同的方法.二、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1體育場南側(cè)有4個(gè)大門，北側(cè)有3個(gè)大門，某同學(xué)到該體育場練跑步，則他進(jìn)出門的方案有（ ）A12 種 B7種C24種 D49種分析：同學(xué)進(jìn)門有7種選擇，同樣出門也有7種選擇，由分步計(jì)數(shù)原理，該同學(xué)的進(jìn)出門方案有7×749種. 應(yīng)選D 例3三張卡片的正反面分別寫有1和2,3和4,5和6，若將三張卡片并列，可得到幾個(gè)不同的三位數(shù)（6不能作9用）.解：解法

2、一第一步，選數(shù)字.每張卡片有兩個(gè)數(shù)字供選擇，故選出3個(gè)數(shù)字，共有8種選法.其次步，排數(shù)字.要排好一個(gè)三位數(shù)，又要分三步，首先排百位，有3種選擇，由于排出的三位數(shù)各位上的數(shù)字不行能相同，因而排十位時(shí)有2種選擇，排個(gè)位只有一種選擇.故能排出3×2×16個(gè)不同的三位數(shù). 例5 用0，1,2，3,4，5這六個(gè)數(shù)字，（1）可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？（2）可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位奇數(shù)？（3）可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的小于1000的自然數(shù)？解：（1）分三步：先選百位數(shù)字，由于0不能作為百位數(shù)，因此有5種選法；十位數(shù)字有5種選法；個(gè)位數(shù)字有4種選法.由分步計(jì)數(shù)原理知所求三位數(shù)

3、共有5×5×4100個(gè).（3）分三步：先選個(gè)位數(shù)字，由于組成的三位數(shù)是奇數(shù)，因此有3種選法；再選百位數(shù)字有4種選法；個(gè)位數(shù)字也有4種選法.由分步計(jì)數(shù)原理知所求三位數(shù)共有3×4×448個(gè).（4）分三類：一位數(shù)，共有6個(gè)；兩位數(shù)，共有5×525個(gè)；三位數(shù)，共有5×5×4100個(gè).因此，比1000小的自然數(shù)共有625100131個(gè)四、典型習(xí)題導(dǎo)練1將4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)不同的盒子中，其中每個(gè)盒子都不空的放法共有（） A種        B種

4、C18種         D36種2某藝術(shù)組有9人，每人至少會(huì)鋼琴和小號(hào)中的一種樂器，其中7人會(huì)鋼琴，3人會(huì)小號(hào)，從中選出會(huì)鋼琴與會(huì)小號(hào)的各1人，有多少種不同的選法？ 排列與組合一、學(xué)問導(dǎo)學(xué)1.排列：一般地，從個(gè)不同元素中取出（）個(gè)元素，依據(jù)肯定的挨次排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列.2.全排列：個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做個(gè)不同元素的全排列.3. 排列數(shù)：從個(gè)不同元素中取出（）個(gè)元素的全部排列的個(gè)數(shù)叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù).用符號(hào)表示.4. 階乘：正整數(shù)1到的連乘積，叫

5、做的階乘，用！表示.規(guī)定：0！15.組合：一般地，從個(gè)不同元素中取出（）個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合.6.組合數(shù)：從個(gè)不同元素中取出（）個(gè)元素的全部組合的個(gè)數(shù)叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù).用符號(hào)表示.7.本節(jié)公式（1）排列數(shù)公式（這里、，且）（2）組合數(shù)公式（這里、，且） （3）組合數(shù)的兩共性質(zhì)規(guī)定： 二、疑難學(xué)問導(dǎo)析1常見題型有：排隊(duì)問題、數(shù)字問題、與幾何有關(guān)的問題.解排列應(yīng)用題時(shí)應(yīng)留意以下幾點(diǎn)： 認(rèn)真審題，依據(jù)題意分析它屬于什么數(shù)學(xué)問題，題目中的大事是什么，有無限制條件，通過怎樣的程序完成這個(gè)大事，用什么計(jì)算方法. 弄清問題的限制條件，留意爭辯問題，確定特

6、殊元素和特殊的位置.考慮問題的原則是特殊元素、特殊位置優(yōu)先，必要時(shí)可通過試驗(yàn)、畫圖、小數(shù)字簡化等手段掛念思考.解排列應(yīng)用題的基本思路： 基本思路：直接法：即從條件動(dòng)身，直接考慮符合條件的排列數(shù)；間接法：即先不考慮限制條件，求出全部排列數(shù)，然后再從中減去不符合條件的排列數(shù). 常用方法：特殊元素、特殊位置分析法，排解法（也稱去雜法），對(duì)稱分析法，捆綁法，插空檔法，構(gòu)造法等.4對(duì)組合的理解：假如兩個(gè)組合中的元素完全相同，那么不管它們挨次如何都是相同的組合.當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí)（即使只有一個(gè)元素不同），就是不同的組合.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講元素多于位置例1 10個(gè)人走進(jìn)只有6把不同椅子的屋子，若每

7、把椅子必需且只能坐一人，共有多少種不同的坐法？分析：原問題抽象為從10個(gè)元素中作取6個(gè)元素占據(jù)6個(gè)不同的位置.明顯是從10個(gè)元素中任取6個(gè)元素的排列問題.從而，共有151200種坐法.捆綁法和插入法的應(yīng)用 例4 4名男生和3名女生并坐一排，分別回答下列問題：（1）男生必需排在一起的坐法有多少種？（2）女生互不相鄰的坐法有多少種？（3）男生相鄰、女生也相鄰的坐法有多少種？（4）男女生相間的坐法有多少種？（5）女生挨次已定的坐法有多少種？解：從整體動(dòng)身，視四名男生為一整體，看成一個(gè)“大元素”，與三名女生共四個(gè)元素進(jìn)行排列，有種坐法；而大元素內(nèi)部的小元素間又有種坐法.故共有576種坐法.由于女生互不

8、相鄰，故先將4名男生排好，有種排法；然后在男生之間及其首尾的5個(gè)空檔中插入3名女生，有種排法.故共有1440種排法.類似（1）可得：288種男生排好后，要保證男生互不相鄰、女生也互不相鄰，3名女生只能排在男生之間的3個(gè)空檔中，有種排法.故共有144種排法.7個(gè)元素的全排列有種，由于女生定序，而她們的挨次不固定時(shí)有排法，可知中重復(fù)了次，故共有÷840種排法.本題還可這樣考慮：讓男生先占7個(gè)位置中的4個(gè)，共有種排法；余下的位置排女生，由于女生定序，故她們只有1排法，從而共有840種排法.解排列組合應(yīng)用題的策略1.相鄰問題捆綁法:例1.五人并排站成一排，假如必需相鄰且在的右邊，那么不同的排

9、法種數(shù)有（ ） A、60種 B、48種 C、36種 D、24種2.相離問題插空排:元素相離（即不相鄰）問題，例2.七人并排站成一行，假如甲乙兩個(gè)必需不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（ ）A、1440種 B、3600種 C、4820種 D、4800種3.定序問題縮倍法:在問題中限制某幾個(gè)元素必需保持肯定的挨次，可用縮小倍數(shù)的方法.例3.五人并排站成一排，假如必需站在的右邊（可以不相鄰）那么不同的排法種數(shù)是（ ） A、24種 B、60種 C、90種 D、120種4.標(biāo)號(hào)排位問題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，其次步再排另一個(gè)元素，如此連續(xù)下去，依次即可完成.例4.將數(shù)字1，2，

10、3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有（ ） A、6種 B、9種 C、11種 D、23種5.有序安排問題逐分法:有序安排問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法.例5.（1）有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人擔(dān)當(dāng)，乙丙各需一人擔(dān)當(dāng)，從10人中選出4人擔(dān)當(dāng)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法種數(shù)是（ ）A、1260種 B、2025種 C、2520種 D、5040種6.全員安排問題分組法:例6.（1）4名優(yōu)秀同學(xué)全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案有多少種？7.名額安排問題隔板法:例7：10個(gè)三好同學(xué)名額分到7個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少一個(gè)

11、名額，有多少種不同安排方案？8.限制條件的安排問題分類法:例8.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參與中國西部經(jīng)濟(jì)開發(fā)建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？9.多元問題分類法：元素多，取出的狀況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類狀況分別計(jì)數(shù)，最終總計(jì).例9（1）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（ ）A、210種 B、300種 C、464種 D、600種10.交叉問題集合法：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個(gè)數(shù)公式.例10.從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4人參與4×100米接力賽，假

12、如甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方案？11.定位問題優(yōu)先法：某個(gè)或幾個(gè)元素要排在指定位置，可先排這個(gè)或幾個(gè)元素；再排其它的元素。例11.1名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？12.多排問題單排法:把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。例12.（1）6個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排3個(gè)元素，那么不同的排法種數(shù)是（ ）A、36種 B、120種 C、720種 D、1440種13.“至少”“至多”問題用間接排解法或分類法:例13.從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取3臺(tái)，其中至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有 （ ） A、140種 B、80種 C、70種 D、35種14.選排問題先取后排:從幾類元素中取出符合題意的幾個(gè)元素，再支配到肯定的位置上，可用先取后排法.例14.（1）四個(gè)不同球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？15.部分合條件問題排解法:在選取的總數(shù)中，只有一部分合條件，可以從總數(shù)中減去不符合條件數(shù)，即為所求.例15.（1）以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四周體共有（ ）A、70種 B、64種 C、58