機械優(yōu)化設計題目答案

1、1-1.簡述優(yōu)化設計問題數(shù)學模型的表達形式。答：優(yōu)化問題的數(shù)學模型是實際優(yōu)化設計問題的數(shù)學抽象。在明確設計變量、約束條件、目標函數(shù)之后，優(yōu)化設計問題就可以表示成一般數(shù)學形式。求設計變量向量使且滿足約束條件利用可行域概念，可將數(shù)學模型的表達進一步簡練。設同時滿足和的設計點集合為R，即R為優(yōu)化問題的可行域，則優(yōu)化問題的數(shù)學模型可簡練地寫成 求使 符號“”表示“從屬于”。 在實際優(yōu)化問題中，對目標函數(shù)一般有兩種要求形式：目標函數(shù)極小化或目標函數(shù)極大化。由于求的極大化與求的極小化等價，所以今后優(yōu)化問題的數(shù)學表達一律采用目標函數(shù)極小化形式。 1-2.簡述優(yōu)化設計問題的基本解法。（不要抄書，要歸納） 答：

2、求解優(yōu)化問題可以用解析解法，也可以用數(shù)值的近似解法。解析解法就是把所研究的對象用數(shù)學方程（數(shù)學模型）描述出來，然后再用數(shù)學解析方法（如微分、變分方法等）求出有化解。但是，在很多情況下，優(yōu)化設計的數(shù)學描述比較復雜，因而不便于甚至不可能用解析方法求解；另外，有時對象本身的機理無法用數(shù)學方程描述，而只能通過大量試驗數(shù)據(jù)用插值或擬合方法構造一個近似函數(shù)式，再來求其優(yōu)化解，并通過試驗來驗證；或直接以數(shù)學原理為指導，從任取一點出發(fā)通過少量試驗（探索性的計算），并根據(jù)試驗計算結果的比較，逐步改進而求得優(yōu)化解。這種方法是屬于近似的、迭代性質的數(shù)值解法。數(shù)值解法不僅可用于求復雜函數(shù)的優(yōu)化解，也可以用于處理沒有數(shù)

3、學解析表達式的優(yōu)化問題。因此，它是實際問題中常用的方法，很受重視。其中具體方法較多，并且目前還在發(fā)展。但是，應當指出，對于復雜問題，由于不能把所有參數(shù)都完全考慮并表達出來，只能是一個近似的最后的數(shù)學描述。由于它本來就是一種近似，那么，采用近似性質的數(shù)值方法對它們進行解算，也就談不到對問題的精確性有什么影響了。不管是解析解法，還是數(shù)值解法，都分別具有針對無約束條件和有約束條件的具體方法。可以按照對函數(shù)倒數(shù)計算的要求，把數(shù)值方法分為需要計算函數(shù)的二階導數(shù)、一階導數(shù)和零階導數(shù)（即只要計算函數(shù)值而不需計算其導數(shù)）的方法。2-1.何謂函數(shù)的梯度？梯度對優(yōu)化設計有何意義？答：二元函數(shù)f(x1,x2)在x0

4、點處的方向導數(shù)的表達式可以改寫成下面的形式令并稱它為函數(shù)f（x1，x2）在x0點處的梯度。假設為D方向上的單位向量，則有 即函數(shù)f（x1，x2）在x0點處沿某一方向d的方向導數(shù)等于函數(shù)在該點處的梯度與d方向單位向量的內積。 梯度方向是函數(shù)值變化最快的方向，而梯度的模就是函數(shù)變化率的最大值。梯度與切線方向d垂直，從而推得梯度方向為等值面的法線方向。梯度方向為函數(shù)變化率最大方向，也就是最速上升方向。負梯度-方向為函數(shù)變化率最小方向，即最速下降方向。2-2.求二元函數(shù)在處函數(shù)變化率最大的方向和數(shù)值。解；由于函數(shù)變化率最大的方向就是梯度的方向，這里用單位向量p表示，函數(shù)變化率最大和數(shù)值時梯度的模。求f

5、（x1，x2）在x0點處的梯度方向和數(shù)值，計算如下： = 2-3.試求目標函數(shù)在點X0=1,0T 處的最速下降方向，并求沿著該方向移動一個單位長度后新點的目標函數(shù)值。解：求目標函數(shù)的偏導數(shù) 則函數(shù)在X0=1,0T處的最速下降方向是 這個方向上的單位向量是： 新點是 新點的目標函數(shù)值 2-4.何謂凸集、凸函數(shù)、凸規(guī)劃？（要求配圖）一個點集（或區(qū)域），如果連接其中任意兩點x1、x2的線段都全部包含在該集合內，就稱該點集為凸集，否則為非凸集。函數(shù)f(x）為凸集定義域內的函數(shù)，若對任何的及凸集域內的任意兩點x1、x2，存在如下不等式： 稱f（x）是定義在圖集上的一個凸函數(shù)。對于約束優(yōu)化問題若 都是凸函

6、數(shù)，則稱此問題為凸規(guī)劃。3-1.簡述一維搜索區(qū)間消去法原理。（要配圖）答：搜索區(qū)間（a，b）確定之后，采用區(qū)間逐步縮短搜索區(qū)間，從而找到極小點的數(shù)值近似解。假設搜索區(qū)間（a，b）內任取兩點a1，b1 ，a1b1，并計算函數(shù)值f（a1），f（b1）。將有下列三種可能情形；1）f（a1）f（b1）由于函數(shù)為單谷，所以極小點必在區(qū)間（a，b1）內2）f（a1）f（b1），同理，極小點應在區(qū)間（a1，b）內3）f（a1）=f（b1），這是極小點應在（a1，b1）內3-2.簡述黃金分割法中0.618的來由，搜索過程及程序框圖。黃金分割法適用于區(qū)間上的任何單谷函數(shù)求極小值問題。對函數(shù)除要求“單谷”外不作其

7、他要求，甚至可以不連續(xù)。因此，這種方法的適應面相當廣。黃金分割法也是建立在區(qū)間消去法原理基礎上的試探方法，即在搜索區(qū)間內適當插入兩點、，并計算其函數(shù)值。、將區(qū)間分成三段。應用函數(shù)的單谷性質，通過函數(shù)值大小的比較，刪去其中一段，使搜索區(qū)間得以縮短。然后再在保留下來的區(qū)間上作同樣的處置，如此迭代下去，使搜索區(qū)間無限縮小，從而得到極小點的數(shù)值近似解。黃金分割法要求插入點、的位置相對于區(qū)間兩端點具有對稱性，即 其中，為待定常數(shù)。圖a除對稱要求外，黃金分割法還要求在保留下來的區(qū)間內再插入一點所形成的區(qū)間新三段，與原來區(qū)間的三段具有相同的比例分布。設原區(qū)間長度為1，如圖a所示，保留下來的區(qū)間長度為，區(qū)間縮

8、短率為。為了保持相同的比例分布，新插入點應在位置上，在原區(qū)間的位置應相當于在保留區(qū)間的位置。故有取方程正數(shù)解，得若保留下來的區(qū)間為，根據(jù)插入點的對稱性，也能推得同樣的值。所謂“黃金分割”是指將一線段分成兩段的方法，使整段長與較長段的長度比值等于較長段與較短段長度的比值，即同樣算得。可見黃金分割法能使相鄰兩次搜索區(qū)間都具有相同的縮短率0.618，所以黃金分割法又被稱作0.618法。圖 b黃金分割法的搜索過程是：（1） 給出初始搜索區(qū)間及收斂精度，將賦以0.618。（2） 按坐標點計算公式、計算和，并計算其對應的函數(shù)值，。（3） 根據(jù)區(qū)間消去法原理縮短搜索區(qū)間。為了能用原來的坐標點計算公式，需進行

9、區(qū)間名稱的代換，并在保留區(qū)間中計算一個新的試驗點及其函數(shù)值。（4） 檢查區(qū)間是否縮短到足夠小和函數(shù)值收斂到足夠近，如果條件不滿足則返回到步驟（2）。（5） 如果條件滿足，則取最后兩試驗點的平均值作為極小點的數(shù)值近似解。（6）黃金分割法的程序框圖如圖b所示。3-3.對函數(shù)，當給定搜索區(qū)間時，寫出用黃金分割法求極小點的前三次搜索過程。（要列表）解；此時的a=-5，b=5。首先插入兩點a1和a2?？傻胊1=b-=-1.18 , a2=a+=1.18再計算相應插入點的函數(shù)值，得y1=f（a1）=-0.9676，y2=f（a2）=3.7524因為y2>y1，所以消去區(qū)間a2,b，則新的搜索區(qū)間a,

10、b的端點a=-5不變，而端點b=a2=1.18第一次迭代；此時插入點a1=b-=-2.639，a2=-1.181。相應插入點的函數(shù)值y1=f（a1）=1.686，y2=f（a2）=-0.967，由于y1>y2,故消去區(qū)間a，a1,新的搜索區(qū)間為-2.639,1.18，如此繼續(xù)迭代下去列出前三次迭代結果黃金分割法的搜索過程迭代序號aa1a2bY1比較Y20-5-1.181.185-0.9676<3.75241-5-2.639-1.1811.181.686>-0.9672-2.639-1.18-0.2791.18-0.9676<-0.483-2.639-1.737-1.18

11、1-0.279-0.457>-0.4823-4.使用二次插值法求f(x)=sin(x)在區(qū)間2,6的極小點，寫出計算步驟和迭代公式，給定初始點x1=2，x2=4，x3=6， =10-4。解： 1234x1244.554574.55457x244.554574.736564.72125x36664.73656y10.909297-0.756802-0.987572-0.987572y2-0.756802-0.987572-0.999708-0.999961y3-0.279415-0.279415-0.279415-0.999708xp4.554574.736564.721254.71236

12、yp-0.987572-0.999708-0.999961-1迭代次數(shù)K= 4 ，極小點為 4.71236 ，最小值為 -1 ，收斂的條件： 4-1.簡述無約束優(yōu)化方法中梯度法、共軛梯度法、鮑威爾法的主要區(qū)別。答：梯度法是以負梯度方向作為搜索方向，使函數(shù)值下降最快，相鄰兩個迭代點上的函數(shù)相互垂直即是相鄰兩個搜索方向相互垂直。這就是說在梯度法中，迭代點向函數(shù)極小點靠近的過程，走的是曲折的路線。這一次的搜索方向與前一次的搜索過程互相垂直，形成“之”字形的鋸齒現(xiàn)象。從直觀上可以看到，在遠離極小點的位置，每次迭代可使函數(shù)值有較多的下降。可是在接近極小點的位置，由于鋸齒現(xiàn)象使每次迭代行進的距離縮短，因而

13、收斂速度減慢。這種情況似乎與“最速下降”的名稱矛盾，其實不然，這是因為梯度是函數(shù)的局部性質。從局部上看，在一點附近函數(shù)的下降是最快的，但從整體上看則走了許多彎路，因此函數(shù)的下降并不算快。共軛梯度法是共軛方向法中的一種，因為在該方法中每一個共軛的量都是依賴于迭代點處的負梯度而構造出來的，所以稱作共軛梯度法。該方法的第一個搜索方向取作負梯度方向，這就是最速下降法。其余各步的搜索方向是將負梯度偏轉一個角度，也就是對負梯度進行修正。所以共軛梯度法實質上是對最速下降法進行的一種改進，故它又被稱作旋轉梯度法。鮑威爾法是直接利用函數(shù)值來構造共軛方向的一種共軛方向法，這種方法是在研究其有正定矩陣G的二次函數(shù)的

14、極小化問題時形成的。其基本思想是在不用導數(shù)的前提下，在迭代中逐次構造G的共軛方向。在該算法中，每一輪迭代都用連結始點和終點所產生出的搜索方向去替換原向量組中的第一個向量，而不管它的“好壞”，這是產生向量組線性相關的原因所在。因此在改進的算法中首先判斷原向量組是否需要替換。如果需要替換，還要進一步判斷原向量組中哪個向量最壞，然后再用新產生的向量替換這個最壞的向量，以保證逐次生成共軛方向。4-2.如何確定無約束優(yōu)化問題最速下降法的搜索方向？答：優(yōu)化設計是追求目標函數(shù)值最小，因此搜所方向d取該點的負梯度方向-。使函數(shù)值在該點附近的范圍下降最快。按此規(guī)律不斷走步，形成以下迭代的算法（k=0，1,2，）

15、由于最速下降法是以負梯度方向作為搜索方向，所以最速下降法有稱為梯度法 為了使目標函數(shù)值沿搜索方向-能獲得最大的下降值，其步長因子應取一維搜索的最佳步長。即有根據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件和多元復合函數(shù)求導公式得；或寫成由此可知，在最速下降法中，相鄰兩個迭代點上的函數(shù)梯度相互垂直。而搜索方向就是負梯度方向，因此相鄰的兩個搜索方向相互垂直。這就是說在最速下降法中，迭代點向函數(shù)極小點靠近的過程。4-3. 給定初始值x0=-7,11T，使用牛頓法求函數(shù)的極小值點和極小值。解： 梯度函數(shù)、海賽矩陣分別為 （2分） （4分）假設初始值x0=-7,11T則 （1分） （2分）則 （1分）x1滿足極值的必要條件，

16、海賽矩陣是正定的，所以是極小點。 （2分）4-4.以二元函數(shù)為例說明單形替換法的基本原理。答：如圖所示在平面上取不在同一直線上的三個點x1，x2，x3，以它們?yōu)轫旤c組成一單純形。計算各頂點函數(shù)值，設f（x1）>f（x2）>f（x3），這說明x3點最好，x1點最差。為了尋找極小點，一般來說。應向最差點的反對稱方向進行搜索，即通過x1并穿過x2x3的中點x4的方向上進行搜索。在此方向上取點x5使 x5=x4+（x4-x1）x5稱作x1點相對于x4點的反射點，計算反射點的函數(shù)值f（X5），可能出現(xiàn)以下幾種情形；1）f（x5）<f（x3）即反射點比最好點好要好，說明搜索方向正確，可以

17、往前邁一步，也就是擴張。2）f（x3）<f（x5）<f（x2）即反射點比最好點差，比次差點好，說明反射可行，一反射點代替最差點構成新單純形3）f（x2）<f（x5）<f(x1)，即反射點比次差點差，比最差點好，說明x5走的太遠，應縮回一些，即收縮。4) f(x5)>f(x1)，反射點比最差點還差，說明收縮應該多一些。將新點收縮在x1x4之間5) f(x)>f(x1)，說明x1x4方向上所有點都比最差點還要差，不能沿此方向進行搜索。5-1.簡述約束優(yōu)化方法的分類。（簡述約束優(yōu)化問題的直接解法、間接解法的原理、特點及主要方法。） 答: 直接解法通常適用于僅含不等

18、式約束的問題，它的基本思路是在m個不等式約束條件所確定的可行域內選擇一個初始點，然后決定可行搜索方向d，且以適當?shù)牟介L沿d方向進行搜索，得到一個使目標函數(shù)值下降的可行的新點，即完成一個迭代。再以新點為起點，重復上述搜索過程，滿足收斂條件后，迭代終止。所謂可行搜索方向是指，當設計點沿該方向作微量移動時，目標函數(shù)值將下降，且不會越出可行域。產生可行搜索方向的方法將由直接解法中的各種算法決定。直接解法的原理簡單，方法實用。其特點是：1）由于整個求解過程在可行域內進行，因此迭代計算不論何時終點，都可以獲得一個比初始點好的設計點。2）若目標函數(shù)為凸函數(shù)，可行域為凸集，則可保證獲得全域最優(yōu)解。否則，因存在多個局部最優(yōu)解，當選擇的初始點不相同時，可能搜索到不同的局部最優(yōu)解。為此，常在可行域內選擇幾個差別較大的初始點分別進行計算，以便從求得多個局部最優(yōu)解中選擇最好的最優(yōu)解。3）要求可行域為有界的非空集，即在有界可行域內存在滿足全部約束條件的點，且目標函數(shù)有定義。直接解法有：隨機方向法、復合形法、可行方向法、廣義簡約梯度法等。間接解法有不同的求解策略，其中一種解法的基本思路是將約束優(yōu)化問題中的約束函數(shù)進行特殊的加權處理后，和目標函數(shù)結合起來，構成一個新的目標函數(shù)，即將原約束優(yōu)化問題轉化成一個或一系列的無約束優(yōu)化問題。再對新的目標函數(shù)進行無約束優(yōu)化計算，從而間接地搜索到原約束問題