數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)二叉樹作業(yè)及答案匯總

1、第六章 樹及二叉樹一、下面是有關(guān)二叉樹的敘述，請判斷正誤（）1. 若二叉樹用二叉鏈表作存貯結(jié)構(gòu)，則在n個結(jié)點的二叉樹鏈表中只有n1個非空指針域。（）2.二叉樹中每個結(jié)點的兩棵子樹的高度差等于1。 （）3.二叉樹中每個結(jié)點的兩棵子樹是有序的。 （）4.二叉樹中每個結(jié)點有兩棵非空子樹或有兩棵空子樹。 （）5.二叉樹中每個結(jié)點的關(guān)鍵字值大于其左非空子樹（若存在的話）所有結(jié)點的關(guān)鍵字值，且小于其右非空子樹（若存在的話）所有結(jié)點的關(guān)鍵字值。（應(yīng)當(dāng)是二叉排序樹的特點）（）6.二叉樹中所有結(jié)點個數(shù)是2k-1-1，其中k是樹的深度。（應(yīng)2i-1） （）7.二叉樹中所有結(jié)點，如果不存在非空左子樹，則不存在非空右

2、子樹。 （）8.對于一棵非空二叉樹，它的根結(jié)點作為第一層，則它的第i層上最多能有2i1個結(jié)點。（應(yīng)2i-1）（）9.用二叉鏈表法（link-rlink）存儲包含n個結(jié)點的二叉樹，結(jié)點的2n個指針區(qū)域中有n+1個為空指針。（正確。用二叉鏈表存儲包含n個結(jié)點的二叉樹，結(jié)點共有2n個鏈域。由于二叉樹中，除根結(jié)點外，每一個結(jié)點有且僅有一個雙親，所以只有n-1個結(jié)點的鏈域存放指向非空子女結(jié)點的指針，還有n+1個空指針。）即有后繼鏈接的指針僅n-1個。（）10.具有12個結(jié)點的完全二叉樹有5個度為2的結(jié)點。最快方法：用葉子數(shù)n/26，再求n2=n0-1=5 (r ) 11、哈夫曼樹中沒有度為1的結(jié)點，所以

3、必為滿二叉樹。(r )12、在哈夫曼樹中，權(quán)值最小的結(jié)點離根結(jié)點最近。(r )13、線索二叉樹是一種邏輯結(jié)構(gòu)。（ ）14、深度為K的完全二叉樹至少有2K-1個結(jié)點。 ( )15、具有n個結(jié)點的滿二叉樹，其葉結(jié)點的個數(shù)為（n+1）/2。 ( )16、前序和中序遍歷用線索樹方式存儲的二叉樹，不必使用棧。 ( )17、哈夫曼樹是帶權(quán)路徑長度最短的樹，路徑上權(quán)值較大的點離根較遠(yuǎn)。二、填空1 由個結(jié)點所構(gòu)成的二叉樹有 5 種形態(tài)。 2. 一棵深度為6的滿二叉樹有 n1+n2=0+ n2= n0-1=31 個分支結(jié)點和 26-1 =32 個葉子。注：滿二叉樹沒有度為1的結(jié)點，所以分支結(jié)點數(shù)就是二度結(jié)點數(shù)。

4、3 一棵具有個結(jié)點的完全二叉樹，它的深度為 9 。（ 注：用 log2(n) +1= 8.xx +1=94. 設(shè)一棵完全二叉樹有700個結(jié)點，則共有 350 個葉子結(jié)點。答：最快方法：用葉子數(shù)n/2350 5. 設(shè)一棵完全二叉樹具有1000個結(jié)點，則此完全二叉樹有 500 個葉子結(jié)點，有 499 個度為2的結(jié)點，有 1 個結(jié)點只有非空左子樹，有 0 個結(jié)點只有非空右子樹。答：最快方法：用葉子數(shù)n/2500 ，n2=n0-1=499。 另外，最后一結(jié)點為2i屬于左葉子，右葉子是空的，所以有1個非空左子樹。完全二叉樹的特點決定不可能有左空右不空的情況，所以非空右子樹數(shù)0.6. 一棵含有n個結(jié)點的k

5、叉樹，可能達(dá)到的最大深度為 n ，最小深度為 2 。答：當(dāng)k=1(單叉樹)時應(yīng)該最深，深度n（層）；當(dāng)k=n-1（n-1叉樹）時應(yīng)該最淺，深度2（層），但不包括n=0或1時的特例情況。教材答案是“完全k叉樹”，未定量。)7. 二叉樹的基本組成部分是：根（N）、左子樹（L）和右子樹（R）。因而二叉樹的遍歷次序有六種。最常用的是三種：前序法（即按N L R次序），后序法（即按 L R N 次序）和中序法（也稱對稱序法，即按L N R次序）。這三種方法相互之間有關(guān)聯(lián)。若已知一棵二叉樹的前序序列是BEFCGDH，中序序列是FEBGCHD，則它的后序序列必是 F E G H D C B 。 解：法1：先

6、由已知條件畫圖，再后序遍歷得到結(jié)果；法2：不畫圖也能快速得出后序序列，只要找到根的位置特征。由前序先確定root，由中序先確定左子樹。例如，前序遍歷BEFCGDH中，根結(jié)點在最前面，是B；則后序遍歷中B一定在最后面。法3：遞歸計算。如B在前序序列中第一，中序中在中間（可知左右子樹上有哪些元素），則在后序中必為最后。如法對B的左右子樹同樣處理，則問題得解。8.中序遍歷的遞歸算法平均空間復(fù)雜度為 O(n) 。答：即遞歸最大嵌套層數(shù)，即棧的占用單元數(shù)。精確值應(yīng)為樹的深度k+1，包括葉子的空域也遞歸了一次。9. 用5個權(quán)值3, 2, 4, 5, 1構(gòu)造的哈夫曼（Huffman）樹的帶權(quán)路徑長度是 33

7、 。解：先構(gòu)造哈夫曼樹，得到各葉子的路徑長度之后便可求出WPL（453）2（12）3=33 (15) (9) (6) 注：兩個合并值先后不同會導(dǎo)致編碼不同，即哈夫曼編碼不唯一） 4 5 3 (3) （注：合并值應(yīng)排在葉子值之后）1 2（注：原題為選擇題：32 33 34 15）10、N個結(jié)點的二叉樹采用二叉鏈表存放，共有空鏈域個數(shù)為n+111、深度為6（根層次為1）的二叉樹至多有26 1個結(jié)點。12、 已知一棵完全二叉樹的第5層有3個結(jié)點，其葉子結(jié)點數(shù)是 9 。三、單項選擇題（ C ）1 不含任何結(jié)點的空樹 。（）是一棵樹; （）是一棵二叉樹; （）是一棵樹也是一棵二叉樹; （）既不是樹也不是

8、二叉樹答：以前的標(biāo)答是B，因為那時樹的定義是n1（ C ）2二叉樹是非線性數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，所以 。、它不能用順序存儲結(jié)構(gòu)存儲; 、它不能用鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)存儲; 、順序存儲結(jié)構(gòu)和鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)都能存儲; 、順序存儲結(jié)構(gòu)和鏈?zhǔn)酱鎯Y(jié)構(gòu)都不能使用 （ C ）3.具有n(n0)個結(jié)點的完全二叉樹的深度為 。() log2(n) () log2(n) () log2(n) +1 () log2(n)+1注1：x 表示不小于x的最小整數(shù)； x表示不大于x的最大整數(shù)，它們與 含義不同！注2：選（A）是錯誤的。例如當(dāng)n為2的整數(shù)冪時就會少算一層。似乎 log2(n) +1是對的？（ A ）4把一棵樹轉(zhuǎn)換為二叉樹后，這棵

9、二叉樹的形態(tài)是 。（）唯一的 （）有多種（）有多種，但根結(jié)點都沒有左孩子 （）有多種，但根結(jié)點都沒有右孩子5. 從供選擇的答案中，選出應(yīng)填入下面敘述 ？ 內(nèi)的最確切的解答，把相應(yīng)編號寫在答卷的對應(yīng)欄內(nèi)。樹是結(jié)點的有限集合，它A 根結(jié)點，記為T。其余的結(jié)點分成為m（m0）個 B 的集合T1，T2，Tm，每個集合又都是樹，此時結(jié)點T稱為Ti的父結(jié)點，Ti稱為T的子結(jié)點（1im）。一個結(jié)點的子結(jié)點個數(shù)為該結(jié)點的 C 。供選擇的答案A： 有0個或1個 有0個或多個 有且只有1個 有1個或1個以上 B: 互不相交 允許相交 允許葉結(jié)點相交 允許樹枝結(jié)點相交C： 權(quán) 維數(shù) 次數(shù)（或度） 序答案：ABC1，

10、1，36.從供選擇的答案中，選出應(yīng)填入下面敘述 ？ 內(nèi)的最確切的解答，把相應(yīng)編號寫在答卷的對應(yīng)欄內(nèi)。二叉樹 A 。在完全的二叉樹中，若一個結(jié)點沒有 B ，則它必定是葉結(jié)點。每棵樹都能惟一地轉(zhuǎn)換成與它對應(yīng)的二叉樹。由樹轉(zhuǎn)換成的二叉樹里，一個結(jié)點N的左子女是N在原樹里對應(yīng)結(jié)點的 C ，而N的右子女是它在原樹里對應(yīng)結(jié)點的 D 。供選擇的答案A： 是特殊的樹 不是樹的特殊形式 是兩棵樹的總稱 有是只有二個根結(jié)點的樹形結(jié)構(gòu) B: 左子結(jié)點 右子結(jié)點 左子結(jié)點或者沒有右子結(jié)點 兄弟CD： 最左子結(jié)點 最右子結(jié)點 最鄰近的右兄弟 最鄰近的左兄弟 最左的兄弟 最右的兄弟答案：A= B= C= D 7、將一棵有

11、100個結(jié)點的完全二叉樹從根這一層開始，每一層從左到右依次對結(jié)點進(jìn)行編號，根結(jié)點編號為1，則編號為49的結(jié)點的左孩子的編號為（ A） A、98 B、99 C、50 D、48答案：ABCDE2，1，1，38、設(shè)森林F中有三棵樹，第一、第二和第三棵樹的結(jié)點個數(shù)分別為M1、M2和M3。與森林F對應(yīng)的二叉樹根結(jié)點的右子樹上的結(jié)點個數(shù)是（D）A）M1 B）M1+M2 C）M3 D）M2+M39、將一棵有100個結(jié)點的完全二叉樹從根這一層開始，每一層從左到右依次對結(jié)點進(jìn)行編號，根結(jié)點編號為1，則編號最大的非葉結(jié)點的編號為（C） A、48B、49C、50D、5110、某二叉樹結(jié)點的中序序列為A、B、C、D、

12、E、F、G，后序序列為B、D、C、A、F、G、E，則其左子樹中結(jié)點數(shù)目為（C）A）3 B）2 C）4 D）5四、簡答題（每小題4分，共20分）1. 一棵度為2的樹與一棵二叉樹有何區(qū)別？答：度為2的樹從形式上看與二叉樹很相似，但它的子樹是無序的，而二叉樹是有序的。即，在一般樹中若某結(jié)點只有一個孩子，就無需區(qū)分其左右次序，而在二叉樹中即使是一個孩子也有左右之分。C的結(jié)點類型定義如下：struct nodechar data;struct node *lchild, rchild;C算法如下：void traversal(struct node *root)if (root) printf(“%c”

13、, root-data); traversal(root-lchild); printf(“%c”, root-data);traversal(root-rchild);2.設(shè)如下圖所示的二叉樹B的存儲結(jié)構(gòu)為二叉鏈表，root為根指針，結(jié)點結(jié)構(gòu)為：（lchild,data,rchild）。其中l(wèi)child，rchild分別為指向左右孩子的指針，data為字符型，root為根指針，試回答下列問題：1. 對下列二叉樹B，執(zhí)行下列算法traversal(root)，試指出其輸出結(jié)果；2. 假定二叉樹B共有n個結(jié)點，試分析算法traversal(root)的時間復(fù)雜度。（共8分）AB D C F G

14、E二叉樹B解：這是“先根再左再根再右”，比前序遍歷多打印各結(jié)點一次，輸出結(jié)果為：A B C C E E B A D F F D G G特點：每個結(jié)點肯定都會被打印兩次；但出現(xiàn)的順序不同，其規(guī)律是：凡是有左子樹的結(jié)點，必間隔左子樹的全部結(jié)點后再重復(fù)出現(xiàn)；如A，B，D等結(jié)點。反之馬上就會重復(fù)出現(xiàn)。如C，E，F(xiàn)，G等結(jié)點。時間復(fù)雜度以訪問結(jié)點的次數(shù)為主，精確值為2*n，時間漸近度為O(n).3.給定二叉樹的兩種遍歷序列，分別是：前序遍歷序列：D，A，C，E，B，H，F(xiàn)，G，I； 中序遍歷序列：D，C，B，E，H，A，G，I，F(xiàn)，試畫出二叉樹B，并簡述由任意二叉樹B的前序遍歷序列和中序遍歷序列求二叉樹

15、B的思想方法。解：方法是：由前序先確定root，由中序可確定root的左、右子樹。然后由其左子樹的元素集合和右子樹的集合對應(yīng)前序遍歷序列中的元素集合，可繼續(xù)確定root的左右孩子。將他們分別作為新的root，不斷遞歸，則所有元素都將被唯一確定，問題得解。 D A C FE GB H I2825 3340 60 08 54 554.給定如圖所示二叉樹T，請畫出與其對應(yīng)的中序線索二叉樹。解：要遵循中序遍歷的軌跡來畫出每個前驅(qū)和后繼。中序遍歷序列：55 40 25 60 28 08 33 54282540555560330854NILNIL 2825 33 40 60 08 54 555、已知一棵二

16、叉樹，其中序序列DBCAFGE，后序序列DCBGFEA，構(gòu)造該二叉樹。解：6、已知葉子結(jié)點值2，3，5，6，9，11，構(gòu)造哈夫曼樹，計算其帶權(quán)路徑長度。解：7、給定權(quán)值8，12，4，5，26，16，9，構(gòu)造一棵帶權(quán)路徑長度最短的二叉樹，并計算其帶權(quán)路徑長度。解：或： WPL=83+44+54+162+93+123+262 =207注：哈夫曼樹的左右子樹可以互換。8. （P60 4-26）試寫出如圖所示的二叉樹分別按先序、中序、后序遍歷時得到的結(jié)點序列。答：DLR：A B D F J G K C E H I L MLDR: B F J D G K A C H E L I MLRD：J F K G

17、 D B H L M I E C A9、 （把如圖所示的樹轉(zhuǎn)化成二叉樹。答：注意全部兄弟之間都要連線（包括度為2的兄弟）,并注意原有連線結(jié)點一律歸入左子樹，新添連線結(jié)點一律歸入右子樹。 A B E C K F H D L G I M J10畫出和下列二叉樹相應(yīng)的森林。答：注意根右邊的子樹肯定是森林，而孩子結(jié)點的右子樹均為兄弟。6. 11、假設(shè)用于通信的電文僅由8個字母組成，字母在電文中出現(xiàn)的頻率分別為0.07，0.19，0.02，0.06，0.32，0.03，0.21，0.10。試為這8個字母設(shè)計哈夫曼編碼。使用07的二進(jìn)制表示形式是另一種編碼方案。對于上述實例，比較兩種方案的優(yōu)缺點。解：方案

18、1；哈夫曼編碼先將概率放大100倍，以方便構(gòu)造哈夫曼樹。 w=7,19,2,6,32,3,21,10，按哈夫曼規(guī)則：【（2,3），6, (7,10)】, 19, 21, 32 0 1 0 1 0 119 21 32 0 10 1 0 17 10 6 0 12 3 （100）（40） （60）19 21 32 （28）（17） （11） 7 10 6 （5） 2 3方案比較：字母編號對應(yīng)編碼出現(xiàn)頻率111000.072000.193111100.02411100.065100.326111110.037010.21811010.10字母編號對應(yīng)編碼出現(xiàn)頻率10000.0720010.193010

19、0.0240110.0651000.3261010.0371100.2181110.10方案1的WPL2(0.19+0.32+0.21)+4(0.07+0.06+0.10)+5(0.02+0.03)=1.44+0.92+0.25=2.61方案2的WPL3(0.19+0.32+0.21+0.07+0.06+0.10+0.02+0.03)=3結(jié)論：哈夫曼編碼優(yōu)于等長二進(jìn)制編碼六、算法設(shè)計題1.編寫遞歸算法，計算二叉樹中葉子結(jié)點的數(shù)目。解：思路：輸出葉子結(jié)點比較簡單，用任何一種遍歷遞歸算法，凡是左右指針均空者，則為葉子，將其打印出來。法一：核心部分為：DLR(liuyu *root) /*中序遍歷

20、遞歸函數(shù)*/if(root!=NULL) if(root-lchild=NULL)&(root-rchild=NULL)sum+; printf(%dn,root-data); DLR(root-lchild); DLR(root-rchild); return(0);法二：int LeafCount_BiTree(Bitree T)/求二叉樹中葉子結(jié)點的數(shù)目 if(!T) return 0; /空樹沒有葉子 else if(!T-lchild&!T-rchild) return 1; /葉子結(jié)點 else return Leaf_Count(T-lchild)+Leaf_Count(T-rc

21、hild);/左子樹的葉子數(shù)加 上右子樹的葉子數(shù) /LeafCount_BiTree 2.寫出求二叉樹深度的算法，先定義二叉樹的抽象數(shù)據(jù)類型。解：法一：int depth(liuyu*root) /*統(tǒng)計層數(shù)*/int d,p; /*注意每一層的局部變量d,p都是各自獨立的*/p=0;if(root=NULL)return(p); /*找到葉子之后才開始統(tǒng)計*/else d=depth(root-lchild);if(dp) p=d; /*向上回朔時，要挑出左右子樹中的相對大的那個深度值*/d=depth(root-rchild);if(dp)p=d;p=p+1;return(p);法二：in

22、t Get_Depth(Bitree T)/求子樹深度的遞歸算法 if(!T) return 0; else m=Get_Depth(T-lchild); n=Get_Depth(T-rchild); return (mn?m:n)+1; /Get_Depth 3、求二叉樹中以元素值為x的結(jié)點為根的子樹的深度。解：int Get_Sub_Depth(Bitree T,int x)/求二叉樹中以值為x的結(jié)點為根的子樹深度 if(T-data=x) printf(%dn,Get_Depth(T); /找到了值為x的結(jié)點,求其深度 exit 1; else if(T-lchild) Get_Sub_

23、Depth(T-lchild,x); if(T-rchild) Get_Sub_Depth(T-rchild,x); /在左右子樹中繼續(xù)尋找 /Get_Sub_Depth 4.編寫按層次順序（同一層自左至右）遍歷二叉樹的算法。解：思路：既然要求從上到下，從左到右，則利用隊列存放各子樹結(jié)點的指針是個好辦法。這是一個循環(huán)算法，用while語句不斷循環(huán)，直到隊空之后自然退出該函數(shù)。技巧之處：當(dāng)根結(jié)點入隊后，會自然使得左、右孩子結(jié)點入隊，而左孩子出隊時又會立即使得它的左右孩子結(jié)點入隊，以此產(chǎn)生了按層次輸出的效果。level(liuyu*T)/* liuyu *T,*p,*q100; 假設(shè)max已知*/

24、int f,r;f=0; r=0; /*置空隊*/r=(r+1)%max;qr=T; /*根結(jié)點進(jìn)隊*/while(f!=r) /*隊列不空*/f=(f+1%max);p=qf; /*出隊*/printf(%d,p-data); /*打印根結(jié)點*/if(p-lchild)r=(r+1)%max; qr=p-lchild; /*若左子樹不空，則左子樹進(jìn)隊*/ if(p-rchild)r=(r+1)%max; qr=p-rchild; /*若右子樹不空，則右子樹進(jìn)隊*/ return(0);法二：void LayerOrder(Bitree T)/層序遍歷二叉樹 InitQueue(Q); /建立

25、工作隊列 EnQueue(Q,T); while(!QueueEmpty(Q) DeQueue(Q,p); visit(p); if(p-lchild) EnQueue(Q,p-lchild); if(p-rchild) EnQueue(Q,p-rchild); /LayerOrder 5.編寫算法判別給定二叉樹是否為完全二叉樹。答：int IsFull_Bitree(Bitree T)/判斷二叉樹是否完全二叉樹,是則返回1,否則返回0 InitQueue(Q); flag=0; EnQueue(Q,T); /建立工作隊列 while(!QueueEmpty(Q) DeQueue(Q,p);

26、if(!p) flag=1; else if(flag) return 0; else EnQueue(Q,p-lchild); EnQueue(Q,p-rchild); /不管孩子是否為空,都入隊列 /while return 1; /IsFull_Bitree 分析:該問題可以通過層序遍歷的方法來解決.與6.47相比,作了一個修改,不管當(dāng)前結(jié)點 是否有左右孩子,都入隊列.這樣當(dāng)樹為完全二叉樹時,遍歷時得到是一個連續(xù)的不包含空 指針的序列.反之,則序列中會含有空指針. 答：這是找結(jié)點后繼的程序。共有3處錯誤。注：當(dāng)rtag1時說明內(nèi)裝后繼指針，可直接返回，第一句無錯。當(dāng)rtag0時說明內(nèi)裝右

27、孩子指針，但孩子未必是后繼，需要計算。中序遍歷應(yīng)當(dāng)先左再根再右，所以應(yīng)當(dāng)找左子樹直到葉子處。r=r-lchild; 直到LTag=1； 應(yīng)改為：while(!r-Ltag)r=r-Lchild;BiTree InSucc(BiTree q)/已知q是指向中序線索二叉樹上某個結(jié)點的指針，/本函數(shù)返回指向*q的后繼的指針。r=q-rchild; /應(yīng)改為r=q；if(!r-rtag) while(!r-rtag)r=r-rchild; /應(yīng)改為 while(!r-Ltag) r=r-Lchild;return r; /應(yīng)改為return r-rchild；/ISucc6、閱讀下列算法，若有錯，改正之。7、閱讀下面程序，并回答有關(guān)問題。其中BSTree為用二叉鏈表表示的二叉排序樹類型。（1） 簡要說明程序功能。（5分）（2） n個結(jié)點的滿二叉樹的深度h是多少？（3分）（3） 假設(shè)二叉排序樹*bst是有n個結(jié)點的滿二叉樹,給出算法的時間復(fù)雜度。（2分）int Proc (BSTree *bst, KeyType K) BSTree f, q, s;s=(BSTree)malloc(sizeof(BSTNode); s- key = K; s- lchild = NULL; s- rchild = NULL; if ( *bst = NULL ) *bst = s; return 1;