所得稅交納點選址的數(shù)學(xué)模型

1、所得稅交納點選址的數(shù)學(xué)模型 試題：所得稅交納點選址所得稅管理部門計劃對某個城市的所得稅交納點網(wǎng)絡(luò)進行重新設(shè)計。下圖是該城市主要區(qū)和主要道路的示意圖。區(qū)旁邊的黑體數(shù)字表示該區(qū)居民數(shù)目，單位為千人。在連區(qū)之間的弧上標出了它們之間的距離，單位為千米（斜體字）。為覆蓋整個城市，所得稅管理部門決定在三個區(qū)設(shè)置納稅點。請建立數(shù)學(xué)模型給出三個納稅點安排的最佳方案。摘要所得稅管理部門計劃對某個城市的所得稅交納點網(wǎng)絡(luò)進行重新設(shè)計。如圖所示，區(qū)旁邊的黑體數(shù)字表示該區(qū)居民數(shù)目，單位為千人。在連區(qū)之間的弧上標出了它們之間的距離，單位為千米（斜體字）。為覆整個城市，所得稅管理部門決定在三個區(qū)設(shè)置納稅點。首先我們將問題參

2、數(shù)化，建立數(shù)學(xué)模型。然后利用窮舉法計算出每個點到所指定的三個納稅點的距離，再利用弗洛依德算法得出距離矩陣，并結(jié)合 math lab等程序（C語言、Lingo），得出其與人數(shù)加權(quán)后的距離矩陣。最后得出在1，6，和11 設(shè)置納稅點為最佳。1，2，5，7區(qū) 的居民去1區(qū) 的納稅點繳稅，3，4，6，9 區(qū)的居民去6 區(qū)的納稅點繳稅，8，10，11，12區(qū)的居民去11區(qū) 的納稅點繳稅。我們的模型雖然簡單，但合理、實用，可以被各領(lǐng)域針對自己的情況應(yīng)用到工作計劃中去，指導(dǎo)他們的實際工作。 模型的總體假設(shè)1. 假設(shè)納稅點集中在每個區(qū)的中心；2. 假設(shè)限定每個區(qū)的居民只能到一個納稅點繳稅；3. 假設(shè)三個納稅點之

3、間無特定聯(lián)系;4. 不考慮“道路難度系數(shù)”（即實際路程、地面情況及障礙物等）;5. 不考慮路程與時間的關(guān)系（即選出的是人數(shù)和距離加權(quán)后最小的納稅點，而非時間最短）；6. 不考慮居民的遷入遷出，即假定該區(qū)居民數(shù)目穩(wěn)定;7. 不考慮居民的主觀因素（如個人偏好，或者因最近納稅點人多而臨時改變納稅點等）；模型的建立與求解第一步：模型的建立根據(jù)假設(shè)一，每個納稅點集中在每個區(qū)的中心，可能的位置有12種，則三個納稅點的組合至多有=12*11*10/6=220個?？蓪栴}參數(shù)化。參數(shù)的假定： i、j、k所選納稅點的區(qū)號；（共有=220種選擇方案） m區(qū)號數(shù)；（m=1、2、312） m區(qū)的居民數(shù)，單位為千人；

4、、分別表示m區(qū)到i、j、k區(qū)（即所選納稅點）的最小距離； =Min，即m區(qū)到三個納稅點的最小距離；則問題可以表述為：求目標函數(shù)：MinZ(i，j，k)=第二步：模型的求解(考慮用窮舉法)一、距離矩陣的建立1、i=1,j=2,k=3(即所選的三個納稅點為1區(qū)，2區(qū)，3區(qū))；（1）m=1,2,3時，顯然， =0；=0；=0（即納稅點所在居民到本區(qū)納稅的距離最小，距離為0）（2）m=4時，由題圖顯然：=55（4321）；=40（432）；=18（43）；=min(，)=18;(10) m=12時，由題圖顯然： =67（12951）； =61（12932）； =39（1293）； =min(,)=39

5、; 2、 i=1,j=2,k=4 (即所選的三個納稅點為1區(qū)，2區(qū)，4區(qū))；(1) m=1,2,4時，顯然，=0；=0；=0（即納稅點所在居民到本區(qū)納稅的距離最小，距離為0。（2）m=3時，由題圖顯然：=37（321）； =22（32）； =18（34）； =min(,)=18; (10) m=12時，由題圖顯然（以此類推）： 以此類推，可得距離矩陣如下：二、距離與人數(shù)的加權(quán)與人數(shù)加權(quán)后的距離矩陣如下：由公式MinZ(i，j，k)=結(jié)合與人數(shù)加權(quán)后的距離矩陣可得結(jié)果為：加權(quán)后的最小距離和為2438；在1，6，和11 設(shè)置納稅點為最佳。1，2，5，7區(qū) 的居民去1區(qū) 的納稅點繳稅，3，4，6，9

6、 區(qū)的居民去6 區(qū)的納稅點繳稅，8，10，11，12區(qū)的居民去11區(qū) 的納稅點繳稅。 三、 將上述求解過程程序化（以Math lab為主，C語言程序、Lingo 的程序及運行結(jié)果見附錄）Math lab思考過程及程序如下：第一步，用標號法求出每一個頂點vi至其它各個頂點vj的最短路徑長度dij（i，j 1，2，12），并將其寫成如下距離矩陣：ShortDistance= 第二步，以各頂點的載荷（人口數(shù)）加權(quán)，求每一個頂點至其它各個頂點的最短路徑長度的加權(quán)和，并將其寫成如下距離矩陣： ShortPath=第三部，用窮舉法任選三點，求其他九點中的任意一點到該三點的加權(quán)距離的最短距離的加權(quán)和，MAT

7、LAB中可用矩陣依次求出所有可能的結(jié)果，并標記最短距離SDL及最優(yōu)第三點i,j,k.第四步，輸出，shortpath,SDL及i,j,k.M=inf;A=15 10 12 18 5 24 11 16 13 22 19 20;a=0,15,M,M,24,M,18,M,M,M,M,M;0,0,22,M,M,M,M,M,M,M,M,M;zeros(1,3),18,16,M,M,M,20,M,M,M;zeros(1,4),M,12,M,M,M,M,M,M;zeros(1,5),M,M,12,24,M,M,M;zeros(1,6),M,M,12,M,M,22;zeros(1,7),15,M,22,M,M

8、;zeros(1,8),30,M,25,M;zeros(1,9),M,19,19;zeros(1,10),19,M;zeros(1,11),21;zeros(1,12);a=a+a'for i=1:length(a)pb(1:length(a)=0;pb(i)=1; d(1:length(a)=M;d(i)=0;temp=i;while sum(pb)<length(a) tb=find(pb=0); d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb); tmpb=find(d(tb)=min(d(tb); temp=tb(tmpb(1); pb(temp)=1

9、; end;Shortdistance(i,:)=d;ShortPath(i,:)=d.*A;end;%display ¼ÓȨǰShortdistance;ShortPathSD=;SDL=10000;k=1;l=1;p=1;q=1;x=0;y=0;z=0;for i=1:1:12 for j=1:1:12 for k=1:1:12 if(k=i&k=j&i=j) SD=0; for l=1:1:12 if(l=i&l=j&l=k) SD=SD min(ShortPath(i,l) ShortPat

10、h(j,l) ShortPath(k,l); end end SDL1=sum(SD); if(SDL1<SDL) SDL=SDL1; x=i;y=j;z=k; end end end endendTheShortestdistance=SDLdisplay Thepointchosed;disp(x y z)Math lab運行結(jié)果截圖如下：模型評價模型的優(yōu)點：思路比較簡單、計算比較方便，只需用計算機軟件編程輔助即可。將問題參數(shù)化、公式化，便于理解。 ( g; e! ( v$ ( 6 U8 R7 m 模型的缺點：本模型是在一系列的假設(shè)中進行的，并沒有充分考慮實際過程中出現(xiàn)的問題。比如，

11、首先圖上的任何兩點之間不可能都能以直線的路徑行走；其次，居民選擇最佳納稅點的考慮因素不僅僅是距離長短，還可能和出行是否方便有關(guān)。 模型的改進：更進一步，如果時間允許的話，我們可以到指定城市實地考察，調(diào)查該城市居民人數(shù)的穩(wěn)定分布情況，道路的便捷程度等。我們也可以編制個一個決策軟件：只要輸入各條道路長，各個區(qū)的人口數(shù)，軟件可以給決策者提供一個稅收點選址的較優(yōu)地址。模型的推廣：此題歸屬于運籌學(xué)問題線性規(guī)劃選址問題。本題是在有限個離散點中選取加權(quán)距離最短的優(yōu)化問題。例如工廠選址，機場的航班連接，物流中心的安排問題等。以此題為基礎(chǔ)，考慮參數(shù)個數(shù)的變化對此模型的影響（如道路難度系數(shù)，出行費用等等）；將此題

12、的離散點連續(xù)化，建立更完備的模型體系。附錄一：C語言程序和運行結(jié)果截圖C語言程序如下：#include<stdio.h>void floyd(int (*dist)13,int n) int i,j,k; for(k=1;k<n;k+) for(i=1;i<n;i+) for(j=1;j<i;j+) if(i!=j)&&(distik*distjk!=0)&& (distik+distjk<distij)|(distij = 0) distij = distik + distkj; distji = distij; int m

13、in(int x,int y,int z) int d;if(x<y) d=x; else d=y; if(d<z) return d; else return z;void main() int M=0,b1313=0, i,j,k,m,sum1500=0,p=1,q=1,r=1,n=0,summin, a1313=0, 0,0,15,M,M,24,M,18,M,M,M,M,M,0,15,0,22,M,M,M,M,M,M,M,M,M,0,M,22,0,18,16,M,M,M,20,M,M,M,0,M,M,18,0,M,12,M,M,M,M,M,M,0,24,M,16,M,0,M,

14、M,12,24,M,M,M,0,M,M,M,12,M,0,M,M,12,M,M,22,0,18,M,M,M,M,M,0,15,M,22,M,M,0,M,M,M,M,12,M,15,0,30,M,25,M,0,M,M,20,M,24,12,M,30,0,M,19,19,0,M,M,M,M,M,M,22,M,M,0,19,M,0,M,M,M,M,M,M,M,25,19,19,0,21,0,M,M,M,M,M,22,M,M,19,M,21,0, c13=0,15,10,12,18,5,24,11,16,13,22,19,20; sum0=10000; summin=sum0; floyd(a,13)

15、; printf("the distance matrix is:n"); for( i=1;i<13;i+)for( j=1;j<13;j+) printf("%4d",aij); printf("n");for(i=1;i<13;i+) for(j=1;j<13;j+) for(k=1;k<13;k+) if(i!=j&&j!=k&&k!=i) n+; for(m=1;m<13;m+) sumn=sumn+cm*min(aim,ajm,akm); if(sumn&

16、lt;summin) summin=sumn; p=i;q=j;r=k; printf("the shortest distance is:%dn",summin); printf("thepointchoosed is:%d %d %dn",p,q,r);C語言程序運行結(jié)果截圖如下：附錄二：Lingo程序和運行結(jié)果截圖Lingo程序如下：model:sets:point/1.12/:p,x;way(point,point):d,c;endsetsdata:d=0 15 37 45 24 60 18 33 48 40 58 67 15 0 22 40 3

17、8 52 33 48 42 55 61 61 37 22 0 18 16 30 43 28 20 58 39 39 45 40 18 0 34 12 61 46 24 62 43 34 24 38 16 34 0 36 27 12 24 49 43 43 60 52 30 12 36 0 57 42 12 50 31 22 18 33 43 61 27 57 0 15 45 22 40 61 33 48 28 46 12 42 15 0 30 37 25 46 48 42 20 24 24 12 45 30 0 38 19 19 40 55 58 62 49 50 22 37 38 0 19 40 58 61 39 43 43 31 40 25 19 19 0 21 67 61 39 34 43 22 61 46 19 40 21 0;p=15 10 12 18 5 24 11 16 13 22 19 20;enddatamin=sum(way(i,j):d(i,j)*p(i)*c(i,j);for(point(i):sum(point(j):c(i,j)=1);sum(point:x)=3;for(way(i,j):c(i,j)<=x(j);for(way:bin(c);for(point:bin(x);endLingo運行結(jié)果截