所得稅交納點(diǎn)選址的數(shù)學(xué)模型

1、所得稅交納點(diǎn)選址的數(shù)學(xué)模型 試題：所得稅交納點(diǎn)選址所得稅管理部門計(jì)劃對(duì)某個(gè)城市的所得稅交納點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行重新設(shè)計(jì)。下圖是該城市主要區(qū)和主要道路的示意圖。區(qū)旁邊的黑體數(shù)字表示該區(qū)居民數(shù)目，單位為千人。在連區(qū)之間的弧上標(biāo)出了它們之間的距離，單位為千米（斜體字）。為覆蓋整個(gè)城市，所得稅管理部門決定在三個(gè)區(qū)設(shè)置納稅點(diǎn)。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型給出三個(gè)納稅點(diǎn)安排的最佳方案。摘要所得稅管理部門計(jì)劃對(duì)某個(gè)城市的所得稅交納點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行重新設(shè)計(jì)。如圖所示，區(qū)旁邊的黑體數(shù)字表示該區(qū)居民數(shù)目，單位為千人。在連區(qū)之間的弧上標(biāo)出了它們之間的距離，單位為千米（斜體字）。為覆整個(gè)城市，所得稅管理部門決定在三個(gè)區(qū)設(shè)置納稅點(diǎn)。首先我們將問題參

2、數(shù)化，建立數(shù)學(xué)模型。然后利用窮舉法計(jì)算出每個(gè)點(diǎn)到所指定的三個(gè)納稅點(diǎn)的距離，再利用弗洛依德算法得出距離矩陣，并結(jié)合 math lab等程序（C語言、Lingo），得出其與人數(shù)加權(quán)后的距離矩陣。最后得出在1，6，和11 設(shè)置納稅點(diǎn)為最佳。1，2，5，7區(qū) 的居民去1區(qū) 的納稅點(diǎn)繳稅，3，4，6，9 區(qū)的居民去6 區(qū)的納稅點(diǎn)繳稅，8，10，11，12區(qū)的居民去11區(qū) 的納稅點(diǎn)繳稅。我們的模型雖然簡(jiǎn)單，但合理、實(shí)用，可以被各領(lǐng)域針對(duì)自己的情況應(yīng)用到工作計(jì)劃中去，指導(dǎo)他們的實(shí)際工作。 模型的總體假設(shè)1. 假設(shè)納稅點(diǎn)集中在每個(gè)區(qū)的中心；2. 假設(shè)限定每個(gè)區(qū)的居民只能到一個(gè)納稅點(diǎn)繳稅；3. 假設(shè)三個(gè)納稅點(diǎn)之

3、間無特定聯(lián)系;4. 不考慮“道路難度系數(shù)”（即實(shí)際路程、地面情況及障礙物等）;5. 不考慮路程與時(shí)間的關(guān)系（即選出的是人數(shù)和距離加權(quán)后最小的納稅點(diǎn)，而非時(shí)間最短）；6. 不考慮居民的遷入遷出，即假定該區(qū)居民數(shù)目穩(wěn)定;7. 不考慮居民的主觀因素（如個(gè)人偏好，或者因最近納稅點(diǎn)人多而臨時(shí)改變納稅點(diǎn)等）；模型的建立與求解第一步：模型的建立根據(jù)假設(shè)一，每個(gè)納稅點(diǎn)集中在每個(gè)區(qū)的中心，可能的位置有12種，則三個(gè)納稅點(diǎn)的組合至多有=12*11*10/6=220個(gè)?？蓪栴}參數(shù)化。參數(shù)的假定： i、j、k所選納稅點(diǎn)的區(qū)號(hào)；（共有=220種選擇方案） m區(qū)號(hào)數(shù)；（m=1、2、312） m區(qū)的居民數(shù)，單位為千人；

4、、分別表示m區(qū)到i、j、k區(qū)（即所選納稅點(diǎn)）的最小距離； =Min，即m區(qū)到三個(gè)納稅點(diǎn)的最小距離；則問題可以表述為：求目標(biāo)函數(shù)：MinZ(i，j，k)=第二步：模型的求解(考慮用窮舉法)一、距離矩陣的建立1、i=1,j=2,k=3(即所選的三個(gè)納稅點(diǎn)為1區(qū)，2區(qū)，3區(qū))；（1）m=1,2,3時(shí)，顯然， =0；=0；=0（即納稅點(diǎn)所在居民到本區(qū)納稅的距離最小，距離為0）（2）m=4時(shí)，由題圖顯然：=55（4321）；=40（432）；=18（43）；=min(，)=18;(10) m=12時(shí)，由題圖顯然： =67（12951）； =61（12932）； =39（1293）； =min(,)=39

5、; 2、 i=1,j=2,k=4 (即所選的三個(gè)納稅點(diǎn)為1區(qū)，2區(qū)，4區(qū))；(1) m=1,2,4時(shí)，顯然，=0；=0；=0（即納稅點(diǎn)所在居民到本區(qū)納稅的距離最小，距離為0。（2）m=3時(shí)，由題圖顯然：=37（321）； =22（32）； =18（34）； =min(,)=18; (10) m=12時(shí)，由題圖顯然（以此類推）： 以此類推，可得距離矩陣如下：二、距離與人數(shù)的加權(quán)與人數(shù)加權(quán)后的距離矩陣如下：由公式MinZ(i，j，k)=結(jié)合與人數(shù)加權(quán)后的距離矩陣可得結(jié)果為：加權(quán)后的最小距離和為2438；在1，6，和11 設(shè)置納稅點(diǎn)為最佳。1，2，5，7區(qū) 的居民去1區(qū) 的納稅點(diǎn)繳稅，3，4，6，9

6、 區(qū)的居民去6 區(qū)的納稅點(diǎn)繳稅，8，10，11，12區(qū)的居民去11區(qū) 的納稅點(diǎn)繳稅。 三、 將上述求解過程程序化（以Math lab為主，C語言程序、Lingo 的程序及運(yùn)行結(jié)果見附錄）Math lab思考過程及程序如下：第一步，用標(biāo)號(hào)法求出每一個(gè)頂點(diǎn)vi至其它各個(gè)頂點(diǎn)vj的最短路徑長(zhǎng)度dij（i，j 1，2，12），并將其寫成如下距離矩陣：ShortDistance= 第二步，以各頂點(diǎn)的載荷（人口數(shù)）加權(quán)，求每一個(gè)頂點(diǎn)至其它各個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度的加權(quán)和，并將其寫成如下距離矩陣： ShortPath=第三部，用窮舉法任選三點(diǎn)，求其他九點(diǎn)中的任意一點(diǎn)到該三點(diǎn)的加權(quán)距離的最短距離的加權(quán)和，MAT

7、LAB中可用矩陣依次求出所有可能的結(jié)果，并標(biāo)記最短距離SDL及最優(yōu)第三點(diǎn)i,j,k.第四步，輸出，shortpath,SDL及i,j,k.M=inf;A=15 10 12 18 5 24 11 16 13 22 19 20;a=0,15,M,M,24,M,18,M,M,M,M,M;0,0,22,M,M,M,M,M,M,M,M,M;zeros(1,3),18,16,M,M,M,20,M,M,M;zeros(1,4),M,12,M,M,M,M,M,M;zeros(1,5),M,M,12,24,M,M,M;zeros(1,6),M,M,12,M,M,22;zeros(1,7),15,M,22,M,M

8、;zeros(1,8),30,M,25,M;zeros(1,9),M,19,19;zeros(1,10),19,M;zeros(1,11),21;zeros(1,12);a=a+a'for i=1:length(a)pb(1:length(a)=0;pb(i)=1; d(1:length(a)=M;d(i)=0;temp=i;while sum(pb)<length(a) tb=find(pb=0); d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb); tmpb=find(d(tb)=min(d(tb); temp=tb(tmpb(1); pb(temp)=1

9、; end;Shortdistance(i,:)=d;ShortPath(i,:)=d.*A;end;%display ¼ÓȨǰShortdistance;ShortPathSD=;SDL=10000;k=1;l=1;p=1;q=1;x=0;y=0;z=0;for i=1:1:12 for j=1:1:12 for k=1:1:12 if(k=i&k=j&i=j) SD=0; for l=1:1:12 if(l=i&l=j&l=k) SD=SD min(ShortPath(i,l) ShortPat

10、h(j,l) ShortPath(k,l); end end SDL1=sum(SD); if(SDL1<SDL) SDL=SDL1; x=i;y=j;z=k; end end end endendTheShortestdistance=SDLdisplay Thepointchosed;disp(x y z)Math lab運(yùn)行結(jié)果截圖如下：模型評(píng)價(jià)模型的優(yōu)點(diǎn)：思路比較簡(jiǎn)單、計(jì)算比較方便，只需用計(jì)算機(jī)軟件編程輔助即可。將問題參數(shù)化、公式化，便于理解。 ( g; e! ( v$ ( 6 U8 R7 m 模型的缺點(diǎn)：本模型是在一系列的假設(shè)中進(jìn)行的，并沒有充分考慮實(shí)際過程中出現(xiàn)的問題。比如，

11、首先圖上的任何兩點(diǎn)之間不可能都能以直線的路徑行走；其次，居民選擇最佳納稅點(diǎn)的考慮因素不僅僅是距離長(zhǎng)短，還可能和出行是否方便有關(guān)。 模型的改進(jìn)：更進(jìn)一步，如果時(shí)間允許的話，我們可以到指定城市實(shí)地考察，調(diào)查該城市居民人數(shù)的穩(wěn)定分布情況，道路的便捷程度等。我們也可以編制個(gè)一個(gè)決策軟件：只要輸入各條道路長(zhǎng)，各個(gè)區(qū)的人口數(shù)，軟件可以給決策者提供一個(gè)稅收點(diǎn)選址的較優(yōu)地址。模型的推廣：此題歸屬于運(yùn)籌學(xué)問題線性規(guī)劃選址問題。本題是在有限個(gè)離散點(diǎn)中選取加權(quán)距離最短的優(yōu)化問題。例如工廠選址，機(jī)場(chǎng)的航班連接，物流中心的安排問題等。以此題為基礎(chǔ)，考慮參數(shù)個(gè)數(shù)的變化對(duì)此模型的影響（如道路難度系數(shù)，出行費(fèi)用等等）；將此題

12、的離散點(diǎn)連續(xù)化，建立更完備的模型體系。附錄一：C語言程序和運(yùn)行結(jié)果截圖C語言程序如下：#include<stdio.h>void floyd(int (*dist)13,int n) int i,j,k; for(k=1;k<n;k+) for(i=1;i<n;i+) for(j=1;j<i;j+) if(i!=j)&&(distik*distjk!=0)&& (distik+distjk<distij)|(distij = 0) distij = distik + distkj; distji = distij; int m

13、in(int x,int y,int z) int d;if(x<y) d=x; else d=y; if(d<z) return d; else return z;void main() int M=0,b1313=0, i,j,k,m,sum1500=0,p=1,q=1,r=1,n=0,summin, a1313=0, 0,0,15,M,M,24,M,18,M,M,M,M,M,0,15,0,22,M,M,M,M,M,M,M,M,M,0,M,22,0,18,16,M,M,M,20,M,M,M,0,M,M,18,0,M,12,M,M,M,M,M,M,0,24,M,16,M,0,M,

14、M,12,24,M,M,M,0,M,M,M,12,M,0,M,M,12,M,M,22,0,18,M,M,M,M,M,0,15,M,22,M,M,0,M,M,M,M,12,M,15,0,30,M,25,M,0,M,M,20,M,24,12,M,30,0,M,19,19,0,M,M,M,M,M,M,22,M,M,0,19,M,0,M,M,M,M,M,M,M,25,19,19,0,21,0,M,M,M,M,M,22,M,M,19,M,21,0, c13=0,15,10,12,18,5,24,11,16,13,22,19,20; sum0=10000; summin=sum0; floyd(a,13)

15、; printf("the distance matrix is:n"); for( i=1;i<13;i+)for( j=1;j<13;j+) printf("%4d",aij); printf("n");for(i=1;i<13;i+) for(j=1;j<13;j+) for(k=1;k<13;k+) if(i!=j&&j!=k&&k!=i) n+; for(m=1;m<13;m+) sumn=sumn+cm*min(aim,ajm,akm); if(sumn&

16、lt;summin) summin=sumn; p=i;q=j;r=k; printf("the shortest distance is:%dn",summin); printf("thepointchoosed is:%d %d %dn",p,q,r);C語言程序運(yùn)行結(jié)果截圖如下：附錄二：Lingo程序和運(yùn)行結(jié)果截圖Lingo程序如下：model:sets:point/1.12/:p,x;way(point,point):d,c;endsetsdata:d=0 15 37 45 24 60 18 33 48 40 58 67 15 0 22 40 3

17、8 52 33 48 42 55 61 61 37 22 0 18 16 30 43 28 20 58 39 39 45 40 18 0 34 12 61 46 24 62 43 34 24 38 16 34 0 36 27 12 24 49 43 43 60 52 30 12 36 0 57 42 12 50 31 22 18 33 43 61 27 57 0 15 45 22 40 61 33 48 28 46 12 42 15 0 30 37 25 46 48 42 20 24 24 12 45 30 0 38 19 19 40 55 58 62 49 50 22 37 38 0 19 40 58 61 39 43 43 31 40 25 19 19 0 21 67 61 39 34 43 22 61 46 19 40 21 0;p=15 10 12 18 5 24 11 16 13 22 19 20;enddatamin=sum(way(i,j):d(i,j)*p(i)*c(i,j);for(point(i):sum(point(j):c(i,j)=1);sum(point:x)=3;for(way(i,j):c(i,j)<=x(j);for(way:bin(c);for(point:bin(x);endLingo運(yùn)行結(jié)果截