202X屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章圓錐曲線與方程10.5曲線與方程課件

1、10.5曲線與方程高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué) (浙江專用)統(tǒng)一命題、省統(tǒng)一命題、省( (區(qū)、市區(qū)、市) )卷題組卷題組考點曲線與方程考點曲線與方程五年高考1.(2019北京理,8,5分)數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,曲線C:x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如圖).給出下列三個結(jié)論:曲線C恰好經(jīng)過6個整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點);曲線C上任意一點到原點的距離都不超過;曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中,所有正確結(jié)論的序號是()A.B.C.D.2答案答案C本題考查內(nèi)容比較豐富,涉及不等式、圓、距離、面積等知識,對學(xué)生的推理能力、綜合應(yīng)用能力、運算求解能力要求較高;重點體現(xiàn)邏輯推理

2、、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng);同時也展現(xiàn)了對創(chuàng)新思維與審美能力的考查.解法一:從結(jié)論“不超過”“小于”入手,利用基本不等式進行放縮,再利用圖形估算面積.x2+y2=1+|x|y1+|x|y|1+,x2+y22.x可能取得的整數(shù)值為1,0,代入曲線C的方程得整點坐標為(1,1),(1,0),(-1,1),(-1,0),(0,1),(0,-1),故正確;設(shè)曲線C上任意一點到原點的距離為d,則d2=x2+y22,d,故正確;由圖知,圖形在第一象限的面積S11,圖形在第四象限的面積S4,由對稱性得,“心形”區(qū)域面積S2=3,故錯誤.綜上可知選C.222xy212112解法二:由圖形封閉,結(jié)論中涉及曲線上的點到

3、原點的距離,聯(lián)想到極坐標方程.以原點為極點建立極坐標系,則C:2=1+2|cos|sin,即2=.|cos|sin|sin2|,22,即,故正確.由,知經(jīng)檢驗知共有6個整點滿足條件,故正確.在第一象限曲線C的極坐標方程為=1+cos1sin1,在第四象限曲線C的極坐標方程為=1+cos4sin4.11 |cos|sin121222cos2,sin2,xy21212424令4=-1,則=1-cos1sin1,由得1-1=,由得1-4=,14,1-11-4(此時極徑關(guān)于極軸對稱).如圖所示,由圖可知,右半部分“心形”區(qū)域面積大于半個單位圓面積,故“心形”區(qū)域面積S212=3,故錯誤.2424211

4、11cossin111211cossin1124114cossin111244cossin1112綜上可知,正確結(jié)論的序號為,故選C.2.(2019課標全國理,21,12分)已知點A(-2,0),B(2,0),動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為-.記M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程,并說明C是什么曲線;(2)過坐標原點的直線交C于P,Q兩點,點P在第一象限,PEx軸,垂足為E,連接QE并延長交C于點G.(i)證明:PQG是直角三角形;(ii)求PQG面積的最大值.12解析解析本題主要考查軌跡方程的求法,直線與橢圓的位置關(guān)系,兩條直線的位置關(guān)系,弦長問題,三角形的面積以及基本不等式

5、的應(yīng)用等相關(guān)知識;通過對三角形形狀的判斷以及面積最值的求解考查學(xué)生的知識遷移能力、運算求解能力及函數(shù)思想方法的應(yīng)用;體現(xiàn)了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).(1)由題設(shè)得=-,化簡得+=1(|x|2),所以C為中心在坐標原點,焦點在x軸上的橢圓,不含左右頂點.(2)(i)設(shè)直線PQ的斜率為k,則其方程為y=kx(k0).由得x=.記u=,則P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直線QG的斜率為,方程為y=(x-u).由得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.2yx2yx1224x22y22,142ykxxy2212k2212k2k2k22(),2142kyxuxy設(shè)G(x

6、G,yG),則-u和xG是方程的解,故xG=,由此得yG=.從而直線PG的斜率為=-.所以PQPG,即PQG是直角三角形.(ii)由(i)得|PQ|=2u,|PG|=,所以PQG的面積S=|PQ|PG|=.設(shè)t=k+,則由k0得t2,當(dāng)且僅當(dāng)k=1時取等號.因為S=在2,+)單調(diào)遞減,所以當(dāng)t=2,即k=1時,S取得最大值,最大值為.因此,PQG面積的最大值為.22(32)2ukk322ukk32222(32)2ukukkukuk1k21 k22212uk kk122228 (1)(12)(2)kkkk218112kkkk1k2812tt169169思路分析思路分析(1)利用直線AM與BM的斜

7、率之積為-求得曲線C的軌跡方程,從而得出曲線C的軌跡.(2)(i)設(shè)出直線PQ的方程,聯(lián)立橢圓方程,求得點P、Q的坐標,由Q、E的坐標得出直線QG的方程,聯(lián)立橢圓方程,得出點G的坐標,進而表示出直線PG的斜率,從而得出結(jié)論.(ii)利用弦長公式求出|PQ|與|PG|的表達式,從而將三角形的面積表示成關(guān)于k的函數(shù),進而利用函數(shù)思想求其最大值.12解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵利用方程思想得出點P、Q的坐標,進而利用換元法及整體代換法簡化運算過程是順利解決本題的關(guān)鍵;正確利用基本不等式及函數(shù)單調(diào)性是求解PQG面積最值的關(guān)鍵.3.(2017課標全國理,20,12分)設(shè)O為坐標原點,動點M在橢圓C:+y2=1上,過

8、M作x軸的垂線,垂足為N,點P滿足=.(1)求點P的軌跡方程;(2)設(shè)點Q在直線x=-3上,且=1.證明:過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.22xNP2 NMOPPQ解析解析本題考查了求軌跡方程的基本方法和定點問題.(1)設(shè)P(x,y),M(x0,y0),則N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=得x0=x,y0=y.因為M(x0,y0)在C上,所以+=1.因此點P的軌跡方程為x2+y2=2.(2)證明:由題意知F(-1,0).設(shè)Q(-3,t),P(m,n),則=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由=1得-3m-

9、m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以=0,即.NPNMNP2 NM2222x22yOQPFOQPFOPPQOPPQOQPFOQPF又過點P存在唯一直線垂直于OQ,所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.思路分析思路分析(1)設(shè)出P、M的坐標,利用=得到P、M坐標間的關(guān)系式,由點M在C上求解.(2)利用向量的坐標運算得=0,進而證得直線l過曲線C的左焦點F.NP2 NMOQPF方法總結(jié)方法總結(jié)求軌跡方程的方法有直接法和間接法.直接法有定義法、待定系數(shù)法和直譯法.間接法有相關(guān)點法、交軌法和參數(shù)法.4.(2016課標全國,20,12分)已知拋物線C:y2

10、=2x的焦點為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點,交C的準線于P,Q兩點.(1)若F在線段AB上,R是PQ的中點,證明ARFQ;(2)若PQF的面積是ABF的面積的兩倍,求AB中點的軌跡方程.解析解析由題設(shè)知F.設(shè)l1:y=a,l2:y=b,則ab0,且A,B,P,Q,R.記過A,B兩點的直線為l,則l的方程為2x-(a+b)y+ab=0.(3分)(1)證明:由于F在線段AB上,故1+ab=0.記AR的斜率為k1,FQ的斜率為k2,則k1=-b=k2.所以ARFQ.(5分)1,022,2aa2,2bb1,2a1,2b1,22ab21aba2abaab1aaba(2)設(shè)l與x

11、軸的交點為D(x1,0),則SABF=|b-a|FD|=|b-a|,SPQF=.由題設(shè)可得2|b-a|=,所以x1=0(舍去),或x1=1.(8分)設(shè)滿足條件的AB的中點為E(x,y).當(dāng)AB與x軸不垂直時,由kAB=kDE1212112x |2ab12112x |2ab可得=(x1).而=y,所以y2=x-1(x1).當(dāng)AB與x軸垂直時,E與D重合.所以,所求軌跡方程為y2=x-1.(12分)2ab1yx 2ab疑難突破疑難突破第(1)問求解關(guān)鍵是把ARFQ的證明轉(zhuǎn)化為kAR=kFQ的證明;第(2)問需找到AB中點所滿足的幾何條件,從而將其轉(zhuǎn)化為等量關(guān)系.在利用斜率表示幾何等量關(guān)系時應(yīng)注意分

12、類討論思想的應(yīng)用.評析評析本題主要考查拋物線的性質(zhì),直線的斜率及其應(yīng)用,軌跡方程的求法等知識,考查分類討論思想的應(yīng)用,考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本技能的應(yīng)用能力.考點曲線與方程考點曲線與方程教師專用題組教師專用題組1.(2016課標全國,20)設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過點B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E.(1)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點E的軌跡方程;(2)設(shè)點E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點,過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MPNQ面積的取值范圍.解析解析(1)因為|AD|=|AC|,

13、EBAC,故EBD=ACD=ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圓A的標準方程為(x+1)2+y2=16,從而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.(2分)由題設(shè)得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由橢圓定義可得點E的軌跡方程為+=1(y0).(4分)(2)當(dāng)l與x軸不垂直時,設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2).由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.則x1+x2=,x1x2=.所以|MN|=|x1-x2|=.(6分)過點B(1,0)且與l垂直的直線m的方程為y=-(x-1),A到

14、m的距離為,所以|PQ|=224x23y22(1),143yk xxy22843kk 2241243kk21 k2212(1)43kk1k221k =4.故四邊形MPNQ的面積S=|MN|PQ|=12.(10分)可得當(dāng)l與x軸不垂直時,四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8).當(dāng)l與x軸垂直時,l的方程為x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四邊形MPNQ的面積為12.綜上,四邊形MPNQ面積的取值范圍為12,8).(12分)222241k22431kk1221143k33方法總結(jié)方法總結(jié)定義法求軌跡方程的一般步驟:(1)判定動點的運動軌跡滿足某種曲線的定義;(2)設(shè)標準方程,求方程中的基本量

15、;(3)寫出軌跡方程.2.(2015廣東,20,14分)已知過原點的動直線l與圓C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點A,B.(1)求圓C1的圓心坐標;(2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程;(3)是否存在實數(shù)k,使得直線L:y=k(x-4)與曲線C只有一個交點?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由.解析解析(1)圓C1的方程x2+y2-6x+5=0可化為(x-3)2+y2=4,所以圓心坐標為(3,0).(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),M(x0,y0),則x0=,y0=.由題意可知直線l的斜率必存在,設(shè)直線l的方程為y=tx.將上述方程代入圓C1的方程,

16、化簡得(1+t2)x2-6x+5=0.由題意,可得=36-20(1+t2)0(*),x1+x2=,所以x0=,代入直線l的方程,得y0=.因為+=+=3x0,122xx122yy261 t231 t231tt20 x20y229(1)t2229(1)tt2229(1)(1)tt291 t所以+=.由(*)解得t2,又t20,所以時,截口曲線為橢圓;與PH的夾角=時,截口曲線為拋物線;與PH的夾角滿足0時,截口曲線為雙曲線.如圖,底面內(nèi)的直線AMAB,過AM的平面截圓錐所得的曲線為橢圓,其中與PB的交點為C,可知AC為長軸.那么當(dāng)C在線段PB上運動時,截口曲線的短軸頂點的軌跡為()A.圓B.橢圓

17、C.雙曲線D.拋物線2答案答案D因為短軸兩端點到A,C的距離相等,當(dāng)C運動時,短軸兩端點在過AC中點且與PB平行的平面內(nèi),此時截口曲面的短軸頂點的軌跡所在的平面與PH的夾角=,因而軌跡為拋物線,故選D.2.(2019浙江高考數(shù)學(xué)仿真卷,8)動直線y=kx+4-2k與函數(shù)y=的圖象交于A,B兩點,點P(x,y)是平面上的動點,滿足|+|=4,則x2+y2+2x的最大值是()A.40B.44C.46D.48412xxPAPB答案答案D由題意得直線過定點Q(2,4),y=4+.|+|=4|PQ|=2,P是以(2,4)為圓心,以2為半徑的圓上的一動點,x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1為動點P(

18、x,y)到(-1,0)的距離的平方減1.點Q(2,4)到(1,0)的距離d=5,(x2+y2+2x)max=(d+2)2-1=49-1=48.故選D.92xPAPB3.(2019浙江高考沖刺卷(四),6)點P到圖形C上每一個點的距離的最小值稱為點P到圖形C的距離,那么平面內(nèi)到定圓C的距離等于到定點A的距離的點的軌跡不可能是()A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.直線答案答案D設(shè)動點為Q,圓C的半徑為R,當(dāng)點A在圓內(nèi)且不與圓心C重合時,|QC|+|QA|=R,軌跡是橢圓;當(dāng)點A在圓外時,|QC|-|QA|=R,軌跡是雙曲線的一支;當(dāng)點A與圓心C重合時,軌跡是圓;當(dāng)點A在圓C上時,軌跡是射線.綜上,

19、只有直線是不可能的,故選D.4.(2019浙江寧波北侖中學(xué)高三模擬(二),21)過橢圓C外一點P(x0,y0)作橢圓C:+=1的切線l1,l2,切點分別為A,B,滿足l1l2.(1)求點P的軌跡方程;(2)求ABP的面積(用P的橫坐標x0表示);(3)當(dāng)點P運動時,求ABP面積的取值范圍.25x24y解析解析(1)設(shè)直線PA:y=k(x-x0)+y0,代入4x2+5y2=20得(4+5k2)x2+10(y0-kx0)kx+5(y0-kx0)2-20=0.由=0得(-5)k2-2x0y0k+-4=0,又由k1k2=-1,得+=9,所以點P的軌跡方程為x2+y2=9.(6分)(2)由題意知直線AB

20、:+=1,將其代入橢圓方程4x2+5y2=20得(45-)x2-40 x0 x+25-125=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=,x1x2=.|AB|=|x1-x2|=,d=,所以SABP=|AB|d=.(11分)(3)由(2)易知ABP面積的取值范圍是.(15分)20 x20y202045yx20 x20y05x x04y y20 x20 x0204045xx20202512545xx200415xy 202016125xy21212()4xxx x20206(25)45xx00220|4520|1625xxyyxy20253x1223020( 25)45xx16 25,99B B組組201

21、7201920172019年高考模擬年高考模擬專題綜合題組專題綜合題組時間:15分鐘分值:27分一、選擇題(每小題4分,共8分)1.(2017浙江溫州十校期末聯(lián)考,6)點P為直線y=x上任一點,F1(-5,0),F2(5,0),則下列結(jié)論正確的是()A.|PF1|-|PF2|8B.|PF1|-|PF2|=8C.|PF1|-|PF2|8D.以上都有可能34答案答案C若|PF1|-|PF2|=8,則點P的軌跡是以F1(-5,0),F2(5,0)為焦點的雙曲線,其方程為-=1.因為直線y=x是該雙曲線的一條漸近線,整條直線在雙曲線的外面,因此有|PF1|-|PF2|0),且在平面內(nèi)運動,則()A.當(dāng)

22、=1時,點C的軌跡是拋物線B.當(dāng)=1時,點C的軌跡是一條直線C.當(dāng)=2時,點C的軌跡是橢圓D.當(dāng)=2時,點C的軌跡是雙曲線答案答案B在ABC中,由sinCAB=sinCBA,得=.當(dāng)=1時,可知點C在線段AB的中垂面上運動,又點C在平面內(nèi),所以C在兩個平面的交線上,即點C的軌跡為一條直線;當(dāng)=2時,可知點C的軌跡為一個球面(相對應(yīng)于平面中阿波羅尼斯圓),又點C在平面內(nèi),所以點C在兩個已知平面和球面的截口曲線上,即點C的軌跡為一個圓.故選B.BCAC3.(2019浙江高考仿真卷(一),16)在四面體A-BCD中,已知|DA|=|DB|=|DC|=1,且DA,DB,DC兩兩互相垂直,在該四面體的表面上與點A的距離為的點形成一條曲線,則這條曲線的長度是.2 33二、填空題(共4分)答案答案32解析解析在面DAB,面DAC,面ABC上,與點A的距離為的點形成的曲線是半徑為的圓弧,設(shè)曲線與棱AB,AC,CD,DB的交點為依