教研資料高中數(shù)學(xué)平面向量與空間向量

1、平面向量的概念和基本運(yùn)算1.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：幾何表示法 ；字母表示：a；坐標(biāo)表示法 aj（，）.(3)向量的長(zhǎng)度：即向量的大小，記作a.(4)特殊的向量：零向量aOaO.單位向量：aO為單位向量aO1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(1，1)（2，2）(6) 相反向量：a=-bb=-aa+b=0(7)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作ab.平行向量也稱為共線向量.2.向量的運(yùn)算運(yùn)算類(lèi)型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)向量的加法1.平行四邊形法則2.三角形法則向量的減法三角形法則,數(shù)乘向量1.是一個(gè)向量,滿足:2.>0

2、時(shí), 同向;<0時(shí), 異向;=0時(shí), .向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)1.時(shí)，.2. 3.重要定理、公式(1)平面向量基本定理e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么，對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2.(2)兩個(gè)向量平行的充要條件abab(b0)x1y2=x2y1.(3)兩個(gè)向量垂直的充要條件aba·bOx1x2y1y2O.平面向量的數(shù)量積1向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量與b，作=, =b,則AOB= （）叫做向量與b的夾角。2兩個(gè)向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量與b，它們的夾角為，則·b=·bcos其中bcos稱為向量b在方向上的投影

3、3向量的數(shù)量積的性質(zhì)：若=（）,b=（）則e·=·e=cos (e為單位向量);b·b=0（，b為非零向量）;=;cos=4 向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：·b=b·()·b=(·b)=·(b);(b)·c=·c+b·c 定比分點(diǎn)及平移公式1 點(diǎn)分有向線段所成的比的含義2.線段的定比分點(diǎn)公式設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為，即，則 (線段的定比分點(diǎn)的向量公式) (線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式)當(dāng)1時(shí)，得中點(diǎn)公式：（）或3.平移公式設(shè)點(diǎn)P(x，y)按向量a（，）平移后得到點(diǎn)P（x，y），則+a或曲線yf（x

4、）按向量a（，）平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為：yf（x)定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式空間向量及運(yùn)算1空間向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量注：空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量向量一般用有向線段表示同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來(lái)表示2空間向量的運(yùn)算定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下運(yùn)算律：加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：3 共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量平行于記作當(dāng)我們說(shuō)向量、共線（或/）時(shí)，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線4共線向量定理及

5、其推論：共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量、（），/的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使.推論：如果為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線，那么對(duì)于任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t滿足等式 其中向量叫做直線的方向向量.5向量與平面平行：已知平面和向量，作，如果直線平行于或在內(nèi)，那么我們說(shuō)向量平行于平面，記作：通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的6共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)使推論：空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使或?qū)臻g任一點(diǎn)，有 式叫做平面的向量表達(dá)式7 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么

6、對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使推論：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)，使8 空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：.9向量的模：設(shè)，則有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模，記作：.10向量的數(shù)量積： 已知向量和軸，是上與同方向的單位向量，作點(diǎn)在上的射影，作點(diǎn)在上的射影，則叫做向量在軸上或在上的正射影. 可以證明的長(zhǎng)度11空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： （1）（2）（3）12空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：（1）（2）（交換律）（3）（分配律）空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對(duì)應(yīng)為縱軸），z軸是豎軸（對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)）.令=(a1,a2,a3),，則 (用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：)空間兩點(diǎn)的距離公式：.（2）法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量. （3）用向量的常用方法：利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點(diǎn)B到平面的距離為.利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二