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認(rèn)證信息

認(rèn)證類型：個(gè)人認(rèn)證

認(rèn)證主體：雷**（實(shí)名認(rèn)證）

IP屬地：湖北

IP屬地：湖北 上傳時(shí)間：2022-03-05 格式：DOC 頁(yè)數(shù)：5 大?。?9KB 積分：18 舉報(bào) 版權(quán)申訴

1、歌德?tīng)柌煌耆ɡ?定理：如果形式算術(shù)系統(tǒng)是簡(jiǎn)單無(wú)矛盾的，那么它就是簡(jiǎn)單不完全的；這就是說(shuō)，在系統(tǒng)中存在具有形式(x)Ax的公式(或稱命題)B，使得B和B都不是系統(tǒng)的定理，這樣的B稱為不可判定的命題。§1.歌德?tīng)柖ɡ淼闹庇^說(shuō)明 歌德?tīng)枏恼f(shuō)謊者悖論(我正在說(shuō)的這句話是假的)得到啟發(fā)，領(lǐng)悟到“真實(shí)性”與“可證性”是兩種不同的概念。歌德?tīng)柷擅畹赜谩翱勺C性”代替“真實(shí)性”，把形式算術(shù)系統(tǒng)中的可證性表達(dá)在該系統(tǒng)中，避免了悖論，得到不完全性結(jié)論。不完全性定理的直觀證明：設(shè)形式算術(shù)系統(tǒng)是簡(jiǎn)單完全的，即命題B或B 是可證的。若B可證，則它所表達(dá)的元數(shù)學(xué)命題“B在系統(tǒng)中不是可證的”就是真的，這就是說(shuō)B不

2、是可證的，與題設(shè)矛盾。如果B 是可證的，則“并非B在系統(tǒng)中不是可證的”這一命題真，即B是可證的，這與題設(shè)“B 是可證的”相矛盾。由上可得：系統(tǒng)不是簡(jiǎn)單無(wú)矛盾的。所以，如果形式算術(shù)系統(tǒng)是簡(jiǎn)單無(wú)矛盾的，那么它就是簡(jiǎn)單不完全的。B就是一個(gè)不可判定命題，即B與B 都不可證。由于B確實(shí)不可證，因而“B在系統(tǒng)中不是可證的”這一元數(shù)學(xué)命題就是真的，在系統(tǒng)中表達(dá)它的命題B也就是真的。因此，在系統(tǒng)中存在真的但又不可證的命題。(以下紅色字符表示公式，綠色字符表示歌德?tīng)枖?shù)，蘭色字符表示自由變項(xiàng)，粉紅色字符表示與歌德?tīng)枖?shù)相應(yīng)的數(shù)字)§2.歌德?tīng)柵鋽?shù)法把自然數(shù)114依次配給如下符號(hào)：、 、=、+、·

3、 、0、(、)。對(duì)每一個(gè)不同的自然數(shù)變項(xiàng)配以大于14的不同素?cái)?shù)。因此，我們?cè)诔跏挤?hào)和自然數(shù)的一個(gè)子集之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。規(guī)定：自然數(shù)的有窮序列k1,k2,kn,對(duì)應(yīng)于單個(gè)的自然數(shù)：2k1·3k2·5k3·Pnkn,這里Pi是第i個(gè)素?cái)?shù)(按數(shù)量大小的順序排列)。一個(gè)公式是符號(hào)的有窮序列，對(duì)每個(gè)公式配以一個(gè)數(shù)，該數(shù)對(duì)應(yīng)于配給其構(gòu)成公式的符號(hào)的自然數(shù)序列。例如公式 (C)(C+a=b)中，該公式的歌德?tīng)枖?shù)為：213·37·523·714·1113·1323·1711·199·2317

4、·298·3119·3714 因構(gòu)成該公式的12個(gè)初始符號(hào)對(duì)應(yīng)的歌德?tīng)枖?shù)是： ( C ) ( C + a = b ) 13 7 23 14 13 23 11 9 17 8 19 14一個(gè)證明是公式的有窮序列，對(duì)每一個(gè)證明配以一數(shù)，它對(duì)應(yīng)于配給其構(gòu)成證明的公式的自然數(shù)序列。例如，以下兩個(gè)公式的序列：(a)(a=b)，(a)(a=0)，構(gòu)成一個(gè)證明，設(shè)已求出第一式的歌德?tīng)枖?shù)為m，第二式的歌德?tīng)枖?shù)為n，則該證明的歌德?tīng)枖?shù)為：2m·3n。由此，在公式和自然數(shù)的一個(gè)子集之間，證明和自然數(shù)的一個(gè)子集之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。這樣，我們就為形式算術(shù)系統(tǒng)建立了一種完全算

5、術(shù)化的方法，使系統(tǒng)中的初始符號(hào)、公式和證明同自然數(shù)的子集之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。§3.歌德?tīng)柌煌耆远ɡ淼淖C明在歌德?tīng)栐瓉?lái)的證明中，需要引用無(wú)矛盾性的概念。一個(gè)形式系統(tǒng)是無(wú)矛盾的，如果有一個(gè)公式F使得： F(Z0)，F(xiàn)(Z1)，F(xiàn)(Z2)，; ()F()并非全都可證。否則，F(xiàn)(Z0)，F(xiàn)(Z1)，F(xiàn)(Z2)，; ()F()全都可證，系統(tǒng)就是矛盾的。顯然，無(wú)矛盾性蘊(yùn)涵簡(jiǎn)單無(wú)矛盾性。嚴(yán)格陳述的歌德?tīng)柌煌耆远ɡ恚喝绻问剿阈g(shù)系統(tǒng)是簡(jiǎn)單無(wú)矛盾的，則U(Zm)不是可證的；如果系統(tǒng)是無(wú)矛盾的，則U(Zm)不是可證的。因此，如果系統(tǒng)是無(wú)矛盾的，則它就是不完全的，U(Zm)就是一個(gè)不可判定的命題

6、。§4.U(Zm)的形式構(gòu)造設(shè)公式(a)(a=b)的歌德?tīng)枖?shù)為m，而自由變項(xiàng)b有歌德?tīng)枖?shù)為19。在公式中，以m的相應(yīng)的數(shù)字Zm替代b，得公式 (a)(a= Zm )；該公式亦有一個(gè)歌德?tīng)枖?shù)，它是從歌德?tīng)枖?shù)為m的公式中，以m的數(shù)字Zm 替代歌德?tīng)枖?shù)為19的自由變項(xiàng)所得公式的歌德?tīng)枖?shù)。這就唯一地確定了一個(gè)數(shù)，該數(shù)是m和19的一個(gè)算式函數(shù)。假定原公式為A，包含自由變項(xiàng)b，所得公式記為SubStAZmb,該公式的歌德?tīng)枖?shù)記為Sb(mm19),簡(jiǎn)記為Sb(m,m)。函數(shù)Sb(m,m)稱之為“代入函數(shù)”。該函數(shù)是能行可計(jì)算的，即它是一個(gè)遞歸函數(shù)。一般的，用Sb(x,y)表示代入函數(shù)，它是在歌德?tīng)?/p>

7、數(shù)為x的公式(含自由變項(xiàng))中，以y的數(shù)字Zm代替自由變項(xiàng)所得的公式的歌德?tīng)枖?shù)。如果原公式無(wú)自由變項(xiàng)，則代入的結(jié)果等于不代入，即Sb(x,y)=x。由于Sb(x,y)是遞歸函數(shù)，因而在系統(tǒng)中是數(shù)字可表示的，令表示Sb(x,y)的形式函數(shù)表達(dá)式是S (1，2)。Pf(y,a)相應(yīng)于元數(shù)學(xué)謂詞“Y是公式A的一個(gè)證明”是遞歸謂詞，因而在形式算術(shù)系統(tǒng)中是數(shù)字可表達(dá)的，令表達(dá)Pf(y,a)的公式為B (1，2)。在形式算術(shù)系統(tǒng)中構(gòu)造以下公式： U(a):( b) B(b,S(a,a),令該公式的歌德?tīng)枖?shù)為m。在上述公式中，以m的數(shù)字Zm替代自由變項(xiàng)a，得到公式：U(Zm):( b) B(b,S(Zm, Z

8、m)，根據(jù)代入函數(shù)Sb(x,y)的定義，U(Zm)的歌德?tīng)枖?shù)為Sb(m,m)。U(Zm)就是不可判定的命題，即：對(duì)所有b而言，B(b,S(Zm, Zm)是假的。由于S(Zm, Zm)表示Sb(m,m)，B (1，2)表達(dá)Pf(y,a)，因而U(Zm)即 ( b) B(b,S(Zm, Zm)表達(dá)了直觀的算術(shù)命題：對(duì)所有自然數(shù)x而言，Pf(x,Sb(m,m)是假的，可記為( x) Pf(x,Sb(m,m),即所有自然數(shù)x都不是歌德?tīng)枖?shù)為Sb(m,m)的公式的證明的歌德?tīng)枖?shù)。即：歌德?tīng)枖?shù)為Sb(m,m)的公式不是可證的，但U(Zm)的歌德?tīng)枖?shù)正是Sb(m,m)，因此，與上述算術(shù)命題相應(yīng)的元數(shù)學(xué)命題就

9、是：“U(Zm)在系統(tǒng)中不是可證明的”。 U(Zm)在系統(tǒng)中表達(dá)了這個(gè)元數(shù)學(xué)命題，是一個(gè)斷定自身不可證的公式。歌德?tīng)柖ɡ碜C明：如果形式算術(shù)系統(tǒng)是簡(jiǎn)單無(wú)矛盾的，則U(Zm)不是可證的。假設(shè)U(Zm)可證，它就有一個(gè)證明，其歌德?tīng)枖?shù)為k,則有Pf(k,Sb(m,m).因?yàn)镾 (1，2)表示Sb(x,y)，B (1，2)表達(dá)Pf(y,a)，所以可得B(Zk,S(Zm,Zm)是可證的。又由假設(shè)U(Zm)即( b) B(b,S(Zm, Zm)可證，根據(jù)系統(tǒng)中的全稱消去規(guī)則可得：B(Zk,S(Zm, Zm)是可證的。這樣，系統(tǒng)中有矛盾。根據(jù)歸謬法，假設(shè)是不成立的。如果系統(tǒng)是無(wú)矛盾的(從而也是簡(jiǎn)單無(wú)矛盾的)，則U(Zm)不是可證的。據(jù)，U(Zm)不可證，即沒(méi)有一個(gè)數(shù)是U(Zm)的證明的歌德?tīng)枖?shù)，而U(Zm)的歌德?tīng)枖?shù)為Sb(m,m),因此Pf(0,Sb(m,m),Pf(1,Sb(m,m),皆假，表達(dá)在系統(tǒng)中即為： B(Z0,S(Zm, Zm)， B(Z1,S(Zm, Zm)， B(Z2,S(Zm, Zm)，皆可證。根據(jù)系統(tǒng)的無(wú)矛盾性，可得 ：( b) B(b,S(Zm, Zm)即U(Zm)不是可證的。歌德?tīng)柕诙煌耆远ɡ恚喝绻问剿阈g(shù)系統(tǒng)是簡(jiǎn)單無(wú)矛