構(gòu)造模型解決問題

1、構(gòu)造模型解決問題反比例函數(shù)中的一個重要結(jié)論運(yùn)用的教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)目標(biāo)：1、知識技能：能根據(jù)雙曲線的幾何意義解決實際問題，體會幾何意義是刻畫現(xiàn)實世界某些 問題（數(shù)與形的轉(zhuǎn)化）的一個有效模型；能利用幾何意義進(jìn)行推理運(yùn)算。2、數(shù)學(xué)思考：經(jīng)歷數(shù)學(xué)問題向數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換與過渡過程，探索問題中的數(shù)量關(guān)系和幾何意義之間的聯(lián)系，發(fā)展合情推理和演繹推理的能力，學(xué)會獨(dú)立思考，體會數(shù)學(xué)基本思想和思維方式。3、解決問題：通過運(yùn)用面積法解決與反比例函數(shù)有關(guān)問題，學(xué)會將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐應(yīng)用意思。4、情感態(tài)度：通過雙曲線的幾何意義建立數(shù)學(xué)模型解決函數(shù)與圖像的數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的

2、良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性，養(yǎng)成認(rèn)真勤奮、獨(dú)立思考、合作交流反、思質(zhì)疑的學(xué)習(xí)習(xí)慣。二、教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)：運(yùn)用雙曲線建模，解決與反比例函數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。難點(diǎn)：數(shù)學(xué)問題與數(shù)學(xué)模型的對接（把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型）三、教學(xué)過程設(shè)計§ 1呈現(xiàn)問題情境，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型1 .復(fù)習(xí)回顧，激活知識生長點(diǎn)。函數(shù)解析式與函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系如何？特別地，若 P （Xo,yo）是反比例 k .函數(shù)y =（k =0, k為吊數(shù)）圖象上的任意一點(diǎn)，則 k=? X在學(xué)生回答問題的基礎(chǔ)上， 教師及時訂正，主要是對文字表述準(zhǔn)確性訂正，并畫出反比例函數(shù)的草圖，標(biāo)出圖象上 P（x,y）的

3、坐標(biāo)。板書k=x0y0為后面講述k的幾何意義做準(zhǔn)備。呈現(xiàn)問題情境，刻畫 k的幾何意。設(shè)P為反比例函數(shù)y=2上一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作X軸，y軸的垂線，垂足分別為 M、N,Xk與矩形或直角三角則四邊形OMPN的面積是多少？反之如何？思考1:當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時，該四邊形的面積是多少？反之如何？思考2:若連接PO,則 POM的面積是多少？反之如何？k思考3：設(shè)P為反比例函數(shù)y = （k #0,k為常數(shù)）上一點(diǎn)，其他條x件不變，則該四邊形的面積為 , APOM的面積是 。反 之如何？在學(xué)生回答上述問題的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生明白反比例函數(shù)的比例常數(shù) 形的面積建立了一種對應(yīng)關(guān)系，實現(xiàn)了數(shù)與形完美結(jié)合，正如著名數(shù)學(xué)家華羅

4、庚先生所說的“數(shù)缺形時少直覺，形離數(shù)時難入微?！睂崿F(xiàn)了學(xué)生對事物認(rèn)識的一次飛躍。設(shè)計意圖：在學(xué)生回顧復(fù)習(xí)函數(shù)解析式與函數(shù)圖象關(guān)系的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步了解反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)P （x,y）與k的關(guān)系，激活知識生長點(diǎn)，作為引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注k的幾何意義的同時，為建立數(shù)學(xué)模型提供必要的鋪墊。§ 2模型變式，合理運(yùn)用。1、等積變換，合理轉(zhuǎn)化，完美融合。等積變換是幾何學(xué)中的一種重要的幾何變換。一個圖形經(jīng)過變形后面積不變，我們稱這種變形為等積變換。幾何就是對圖形世界的定性把握和定量刻畫，正因為有了等積變換，幾何上的許多問題才得以完美解決。既然反比例函數(shù)的k與幾何圖形息息相關(guān)，那么合理靈活地運(yùn)用等積變換，那

5、么將創(chuàng)造一個五彩繽紛的幾何世界，給人以精神上的愉悅和視角美的享受。而等積變換是建立在面積計算的基礎(chǔ)上，面積的計算與高（比如三角形的高）密不可分，高又與平行線或垂線息息相關(guān)。為此我們回顧與面積有關(guān)的幾個結(jié)論：學(xué)生回顧：同底（等底）等高（同高）的兩個三角形了面積相等；如果兩個三角形面積 相等，它們同底或等底（相等的底共線），如果第三個頂點(diǎn)在底所在直線同側(cè)，則過這兩個頂點(diǎn)的直線平行三角形的底所在的直線。反之亦然。在學(xué)生復(fù)習(xí)回顧的基礎(chǔ)上，出示如下問題組（由學(xué)生通過合作交流自己解決問題）：問題1: （2010?山西）如圖A是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，過 A作AB，y軸于點(diǎn)B, P在x軸上，Sabp = 2

6、 ,則反比例函數(shù)的解析式為 分析：由于同底等高的兩個三角形面積相等，所以 AOB的面k=AABP的面積=2,然后根據(jù)反比例函數(shù)y=中k的幾何意x1求出反比例函數(shù)的義,知 AOB的面積=卜,從而確定k的值, 解析式. k解：連結(jié)OA設(shè)反比例函數(shù)的解析式為 y = k ,X1 .,AOB的面積=AABP的面積=2, AOB的面積=一卜1 .-k =2, . k=±4;又.反比例函數(shù)的圖象的一支位于第一象限,2k>0.k=4 .4這個反比例函數(shù)的解析式為y =X問題2:如圖，A為雙曲線y =2上一點(diǎn)，過A作AB/ x軸與雙曲線y = 9交于點(diǎn)B ,連 AO、BO ,則 S&B

7、O分析：關(guān)注反比例函數(shù)圖象的幾何意義即可獲得問題解決。解法一：設(shè)AB交y軸于。1,因為 AB/X軸則S. ABO = S.AOO11S.Boo1=-(24)=3 o解法二：作AC± X軸于C, BD)± X軸于D,則1SABO = 2 (S矩形 BDOO1S矩形 ACOO1)=1(2 +|4)1.問題3:如圖過 O作直線 AB父y =一的圖象于 X兩點(diǎn)，ACx軸于C,則S&BC=3圖9-'分析：反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱結(jié)合等積變換原XX理及其幾何意義聯(lián)合考察即可獲得問題解決。解：作BD)±x軸于D,因為直線 AB經(jīng)過原點(diǎn)O且交雙曲線y=1于A、

8、B兩點(diǎn)，所以xBD=AC ,故 SBC 2 s否CO - 1或由OD=OCfS ABC=S ACO ' S OCB = S ACO ' S OBD1:12解題回顧與反思:問題的解決的關(guān)鍵知識點(diǎn)是什么，用到了哪些性質(zhì)？添加輔助線起到了什么作用？ 問題的解決給我們有什么啟迪？比如以上我們求解的都是已知面積求反比例函數(shù)的解析式，類似的問題反過來是否可求？你能歸納出一般化的問題解決模式一一建模。以上問題在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生合作交流與自主探索完成。設(shè)計意圖：通過運(yùn)用反比例函數(shù)圖象的一個性質(zhì)來解決問題的教學(xué)實踐，完成數(shù)學(xué)模型的再次建構(gòu)，達(dá)到將所學(xué)知識進(jìn)一步升華的目的。 問題設(shè)計采用分層次有

9、梯度的設(shè)問， 層層 遞進(jìn)，拾級而上，留給了學(xué)生較大的思維空間，讓學(xué)生注重知識的發(fā)生發(fā)展過程，親身追尋知識成長的軌跡，領(lǐng)悟探究的方法和思路。2、課堂練習(xí)，深化理解，熟練運(yùn)用，和諧生成。同學(xué)們在教師的引導(dǎo)下，通過解讀反比例函數(shù)圖象的幾何意義，運(yùn)用啟發(fā)式的教學(xué)理念，從特殊到一般，運(yùn)用類比、化歸的數(shù)學(xué)思想，逐步把已有的知識與目標(biāo)融合、鏈接起來，從 而摸清問題的來龍去脈，完成知識的構(gòu)建，體現(xiàn)了新課程教學(xué)理念的核心“再創(chuàng)造”。題目：如圖，已知動點(diǎn) A在函數(shù)y=f (x>0)的圖象上，ABx軸于點(diǎn)B, AC，y軸x于點(diǎn)C ,延長CA至點(diǎn)D,使AD=AB ,延長BA至點(diǎn)E ,使AE=AC ,直線DE分別

10、交x軸 于點(diǎn)P, Q.當(dāng)QE: DP=4 : 9時，圖中陰影部分的面積等于？分析：設(shè)A(m,n),作EFLY軸于F, DGL X軸于G,由題設(shè)可知 D、E坐標(biāo)可求得， QF EAtDDGR還有 Q E D、P四點(diǎn)共線，且直線的解析式也可求出，從而 Q P坐 標(biāo)亦可求出。鏈接相似形、解直角形(或三角函數(shù))、兩點(diǎn)間的距離(勾股定理)等知識，問題可以獲得解決。以下展示的是一種解法。其它解法在學(xué)生的自主探究下完成。解：設(shè) A(m,n)在雙曲線 y=“上，由題設(shè)，有 AC=AE=m , AB=AD=n , mn=4xED =<m2 +n2。作 EFL丫軸于F, DGL X軸于G于是/ QFa EA

11、D DGP 所以 qEJ m2nn2n 2PDmm+ n2 ，所以m m2 nn2=4:9QGFC2 mn2m2所以S.a，CES.ABD1/2,2、13= 2(m n) =Tmn設(shè)計意圖：在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的問題解決的經(jīng)驗的基礎(chǔ)上,加深對反比例函數(shù)圖象的幾何意義的認(rèn)識，通過一題多解培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、廣泛性和靈活性，使學(xué)生獲得一些研究問題的方法和經(jīng)驗的同時發(fā)展思維能力。§3 運(yùn)用鞏固，形成能力。k例1 雙曲線y=經(jīng)過Pi、P2兩點(diǎn)，AOP為等腰x三角形，A在x軸上，/ORA = 90°,ABx軸且 AR=1,求k的值連結(jié)OP,作等腰直角三角形的高 PiB,從反比

12、例函數(shù) 的幾何意義，結(jié)合面積大小的比較即可獲得問題解決。有解：作BPix軸于B,則B為OA的中點(diǎn)，連結(jié) OP,又APa=1,所以PB=2,從而OA=4k = 2S qp2 a = 4也可以這樣來考慮：設(shè) Pi (x, k ),由題設(shè)易知P2 (2x, 1)且x=k于是有x2=2x,而 x不等于0,所以x=2,不難求出k=4o這樣從函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系獲得了另一個解法。k .例2如圖，B為雙曲線y = (k > 0)上一點(diǎn)，直線 AB / y軸，交直線y=x于點(diǎn)A,右xOB2 -AB2 =s，求 k。解：設(shè) B (a,b),則 A (a,a),因為 OB2 AB2 = s,222

13、a b -(a -b)二s故2ab = s,于是k= s2注：設(shè)B (a,b ),則A (a, k),也可求出k=。a2設(shè)計意圖：教學(xué)育人的過程中給予學(xué)生創(chuàng)新意識和實踐能力的培養(yǎng)是教師在教學(xué)中追求的最高目標(biāo)，主要體現(xiàn)在對學(xué)生的創(chuàng)造性思維訓(xùn)練中。本組題目是建立在數(shù)學(xué)模型完成建構(gòu)的基礎(chǔ)上，鞏固和運(yùn)用新知而進(jìn)行的解題訓(xùn)練，或從雙曲線的幾何意義(數(shù)學(xué)模型)為研究對象，或從點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)的解析式之間的關(guān)系為研究對象，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究對象結(jié)構(gòu)和關(guān) 系美的本質(zhì)，獲得運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解答問題的活動中成功的體驗，建立學(xué)習(xí)的自信心。§4引申拓展，靈活運(yùn)用例3如圖：Pi、P2、P3Pn分別在反比例函數(shù)2y =一

14、圖象上的點(diǎn)，且 PAi、PA2、PA3PAn分力1J垂 x直于 x 軸，且 OA i=A iA2=A 2A3=A 3A 4=An-iAn,設(shè)S 總 10Al =S，S&A2Al = S2 依次類推，求 S20i3解：連結(jié) PnO,因為 OAi=AiA2=A2A3=A3A4=-S=An-ian,則，nAn-A =1,所以 SS.ORAnOAnn1 c1日口 cn =-S/OPnAn =一。即 S2013 nn2013k例4 (2007年武漢市中考題)如圖，已知雙曲線 y= (x>0)經(jīng)過矩形 OABC勺邊xAB的中點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)E,且四邊形OEBF的面積為2,求k的值。對題目中的

15、條件和結(jié)論進(jìn)行模式識別、差異分析、和信息轉(zhuǎn)換、靈活運(yùn)用等一系列思維活動，找準(zhǔn)思維的起點(diǎn)，促使游移無序的思維有序化，方向化，找到問題解決的切入口和路徑，是我們獲得問題解決常用的方法。為此，我們利用利用雙曲線的解析式中k的幾何意義，在實現(xiàn)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化過程中，找準(zhǔn)問題解決的切入口。以矩形面積與k值之間的數(shù)量關(guān)系為切入口我們可分別過 E、F作出矩形，構(gòu)建等積的幾何圖形：S矩形°mec =S矩形“FN =k以及OMECOAFN利用F為AB之中點(diǎn)，不難獲得問題解決。解法一：過 E作EM，OA于M ,過F作FN，OC于N , k,E、F兩點(diǎn)在雙曲線y = 上,X貝 U S 矩形 CEMO = k,

16、 S 矩形 NOAF = k ,而F為AB中點(diǎn)，S矩形ABco = 2k,而 Saceo= Sa oaf =k貝S 四邊形 BEOF= S 矩形 ABCO Sa CEO - SA OAF = 2k2而四邊形BEOF面積為2,，k=2。以三角形面積與 k值之間的數(shù)量關(guān)系為切入口k=k 2從問題的結(jié)構(gòu)模式出發(fā)， 抓住Sa OCE =SAOAF=k的本質(zhì)屬性，靈活 運(yùn)用F為AB的中點(diǎn)，找準(zhǔn)四邊形 OEBF的面積與矩形 OAB2間的關(guān) 系，具體解法如下解法二：連結(jié)0B, F為AB的中點(diǎn)，故有1 1-kSA oaf=Sab S矩形0ABe，, E、F兩點(diǎn)在雙曲線y=一上,2 4x_1cc1cSaoce =Saoaf=- S矩形oabc，Saoce +Saoaf=- S矩形oabc421c也就ZES四邊形BEOF= _ Sg形oabc =2 ,故S矩形oabc = 42Saoaf=1 , 丁 F兩點(diǎn)在雙曲線 y = K上，Saoaf =,亦即=1 ,也就是 k=2 x22設(shè)計意圖：設(shè)置一組由反比例函數(shù)幾何意義復(fù)合構(gòu)成的綜合性問題，讓學(xué)生經(jīng)歷等積變換和反比例函數(shù)圖象幾何意義靈活運(yùn)用解決問題的過程，體現(xiàn)了建構(gòu)基本圖形在培養(yǎng)學(xué)生思維能力，激勵學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成， 發(fā)