泛函分析知識總結(jié)

1、泛函分析知識總結(jié)與舉例、應(yīng)用學(xué)習(xí)泛函分析主要學(xué)習(xí)了五大主要內(nèi)容：一、度量空間和賦范線性空間；二、有界線性算子和連續(xù)線性泛函；三、內(nèi)積空間 和希爾伯特空間；四、巴拿赫空間中的基本定理；五、線性算子 的譜。本文主要對前面兩大內(nèi)容進行總結(jié)、舉例、應(yīng)用。度量空間和賦范線性空間(一)度量空間度量空間在泛函分析中是最基本的概念，它是n維歐氏空間Rn (有限維空間)的推廣，所以學(xué)好它有助于后面知識的學(xué)習(xí)和理解。1 .度量定義：設(shè)X是一個集合，若對于 X中任意兩個元素X, y,都有唯一確定的實數(shù)d()與之對應(yīng)，而且這一對 應(yīng)關(guān)系滿足下列條件：1° d() >0 , d()=0 y x=y (非

2、負性)2 d()= d() (對稱性)3°對vz ,都有d() <d()()(三點不等式)則稱d()是x、y之間的度量或距離(或)，稱為 ()度量空間或距離空間()。(這個定義是證明度量空間常用的方法)注意： 定義在X中任意兩個元素x, y確定的實數(shù)d(),只要滿足1°、2°、3°都稱為度量。這里“度量”這個名 稱已由現(xiàn)實生活中的意義引申到一般情況，它用來描 述X中兩個事物接近的程度，而條件1°、2°、3°被 認為是作為一個度量所必須滿足的最本質(zhì)的性質(zhì)。 度量空間中由集合 X和度量函數(shù)d所組成，在同一個 集合X上若有兩

3、個不同的度量函數(shù)di和d2,則我們認為 (X, di)和(X, d2)是兩個不同的度量空間。集合X不一定是數(shù)集，也不一定是代數(shù)結(jié)構(gòu)。為直觀 起見，今后稱度量空間()中的元素為“點”，例如若 xwX,則稱為“ X中的點” o 在稱呼度量空間()時可以省略度量函數(shù) d,而稱“度 量空間X'。1.1 舉例1.11 離散的度量空間：設(shè) X是任意的非空集合，對 X中任意兩 點G X,令d(x, y) "y,則稱(X, d)為離散 0,當(dāng) x=y度量空間。1.12 序列空間S: S表示實數(shù)列(或復(fù)數(shù)列)的全體，d()=1 1 二一 “1 -i；"1+| '1.13 有界

4、函數(shù)空間B(A) : A是給定的集合，B(A)表示A上有界實值(或復(fù)值)函數(shù)全體，對 B(A)中任意兩點，定義d()= sup x(t) - y(t) 仔11.14 可測函數(shù)空間M(X): M(X)為X上實值(或復(fù)值)的L可測 函數(shù)全體。d(f,g)=f(t)-g(t)l dtX1 f-g(t)1.15 C口空間(重要的度量空間)：C表示閉區(qū)間口上實值(或 復(fù)值)連續(xù)函數(shù)全體， 對C口中任意兩點，定 義d() = maxx(t) -y(t) a <<b1.16 l2:無限維空間(重要的度量空間) 例1.15、1.16是考試中?？嫉亩攘靠臻g。2 .度量空間中的極限，稠密集，可分空間2

5、.1 %的6一領(lǐng)域：設(shè)(X, d)為度量空間，d是距離，定義U = (Xo,薊=卜三XI d(x,x 0)(一為Xo的以S為半 徑的開球，亦稱為Xo的名一領(lǐng)域。注：通過這個定義我們可以從點集這一章學(xué)到的知識來定義距離 空間中一個點集的內(nèi)點，外點，邊界點及聚點，導(dǎo)集，閉包, 開集等概念。2.2 度量空間的收斂點列：設(shè)(X, d)是一個度量空間，%是(X,d)中點歹U ,如果存在xw X , xn收斂于 x 使 lim xn = x，即 dX x) gn 4*30,， n ,，稱點列£xn是(X, d)中的收斂點列， x叫做點列Ln的極限，且收斂點列 的極限是唯一的。注：度量空間中點列收

6、斂性質(zhì)與數(shù)列的收斂性質(zhì)有許多共同 之處。2.3 有界集：設(shè)M是度量空間(X,d)中的點集，定義6(M) = supi(x,y) x,y ：-m為點集M的直徑。若6(M)<g,則稱M為(X, d) 中的有界集。(類似于Rn,我們可以證明一個度量空間中收斂點列是有界點集)2.4 閉集：A是閉集u A中任意收斂點列的極限都在 A中，即若 xn w A , 1,2 ,.xnT x,則 xW A。(要會證明)2.5 舉例2.5.1 n 維歐氏空間Rn中，點列依距離收斂d(xk,x)T0u依分量 收斂。2.5.2 C口空間中，點列依距離收斂d(xk,x)T0u依分量一致收斂。2.5.3 序列空間S中

7、，點列依坐標收斂。2.5.4 可測函數(shù)空間M(X):函數(shù)列依測度收斂于f,即d( fn, f) 0 = fn = f。2.6 稠密子集和可分度量空間有理數(shù)集在實數(shù)集中的稠密性， 它屬于實數(shù)集中，現(xiàn)把稠密性推 廣到一般的度量空間中。2.6.1 定義：設(shè)X是度量空間，E和M是X的兩個子集，令M表 示M的閉包，如果E? M,則稱集M在集E中稠密， 當(dāng)時，稱M為X的一個稠密子集，如果X有一個可 數(shù)的稠密子集，則稱 X為可分空間。注：可分空間與稠密集的關(guān)系：由可分空間定義知，在可分空間X中一定有稠密的可數(shù)集。這時 必有X中的有限個或可數(shù)個點 在X中稠密。2.6.2 舉例n維歐式空間Rn是可分空間：坐標為

8、有理數(shù)的全體是 Rn的可數(shù) 稠密子集。離散度量空間X可分uX是可數(shù)集。（因為X中無稠密真子集，X中唯一的稠密只有 X本身）1二是不可分空間。數(shù)學(xué)知識間都有聯(lián)系，現(xiàn)根據(jù)直線上函數(shù)連續(xù)性的定義，引進了度量空間中映射連續(xù)性的概念。3 .連續(xù)映射 3.1 定義：設(shè)（X, d）（Y, d ）是兩個度量空間，T是X至U Y中的映射X0?X,如果對V £ >0, 3 8 >0 ,使對X中一切滿足d （x, X0）8的x,有d（Tx,Tx0）£ ,則稱T在 X0連續(xù)。（度量空間之間的連續(xù)映射是數(shù)學(xué)分析中連續(xù)函數(shù)概念的推廣， 特別，當(dāng)映射是值域空間Y=R時，映射就是度量空間上的函

9、數(shù)。）注：對于連續(xù)可以用定義證明，也可以用鄰域的方法證明。下面 用鄰域描述：對Tx0的£ -鄰域U,存在x0的某個5 鄰域 V 使二，其中表示V在映射T作用下的像。 3.2 定理1:設(shè)T是度量空間（X, d）到度量空間（Y, d）中映 射，T在WX連續(xù)？當(dāng)xnTxo（nT.）時，必有Txn t Tx0（nt 笛）。在映射中我們知道像與原像的概念，下面對原像給出定義。3.3 原像的定義：映射T在X的每一點都連續(xù)，則稱T是X上的 連續(xù)映射，稱集合x I xGX, ? M? Y為集合 M在映射T下的原像，簡記為T,M。可見，對于度量空間中的連續(xù)映射可以用定理來證明，也可以用原像的定義來證明

10、。3.4 定理2:度量空間X到Y(jié)中的映射T是X上連續(xù)映射？ 丫中 任意開集M的原像T玉 是X中的開集（除此之外， 利用T4（M的補集）=（T，M ）的補集，可將定理中 開集改成閉集，定理也成立。）注：像開原像開，像閉原像閉，映射連續(xù)。在數(shù)學(xué)分析中有學(xué)過收斂點列，柯西點列，但研究都在R中。現(xiàn)在我們可類似的給出度量空間中柯西點列的概念。4 .柯西（Cauchy）點列和完備的度量空間。4.1 柯西點列的定義：設(shè)（X, d）是度量空間，4是X中的點 歹U,對卡£ >0,可正整數(shù)（£ ）,使當(dāng)n , Hl >N 時，必有 d （ Xn , Xm ） < £

11、 ,則稱 Xn 是X中的柯西（）點列或基本點列?！緯?判斷：柯西點列是有界點列】我們知道實數(shù)集的完備性，同時在學(xué)習(xí)數(shù)列收斂時，數(shù)列收 斂的充要條件是數(shù)列是列， 這由實數(shù)的完備性所致。在度量空間 中，這一結(jié)果未必成立。但在度量空間中的確存在完備的度量空 間。4.2 完備的度量空間的定義：如果度量空間（X, d）中每一個柯西點列都在（X, d）中收斂，那么 稱（X, d）是完備的度量空間.但要注意，在定義中要求X中存在一點，使該柯西點列收斂到 這一點。4.3 舉例（記住結(jié)論）4.3.1 有理數(shù)全體按絕對值距離構(gòu)成的空間不完備，但n維歐式空間Rn是完備的度量空間。4.3.2 在一般度量空間中，柯西點

12、列不一定收斂，但是度量空間 中的每一個收斂點列都是柯西點列：C、C口、/也是完備的度量空間。4.4 定理 完備度量空間X的子空間M是完備空間二M是X中 的閉子空間。Pa, b（表示閉區(qū)間a, b上實系數(shù)多項式 全體，作為C a , b的子空間）是不完備的度量 空間.5 .度量空間的完備化。5.1 等距映射：設(shè)（X, d） ,（x,d）是兩個度量空間，T是從X到 X上的映射，即對vwX,d（）（）,則稱T是等距映 射。5.2 定義：設(shè)（X, d）, （X,d）是兩個度量空間，如果存在一個從 X到X上的等距映射T,則稱（X, d）和（X,d）等距同囪，此時T稱為X到x上的等距同構(gòu)映射。（像的距 離

13、等于原像的距離）注：在泛函分析中往往把兩個等距同構(gòu)的度量空間不加區(qū)別而視為同一的。5.3 定理1 （度量空間的完備化定理）：設(shè)（X, d）是度量空間， 那么一定存在完備度量空間 x =（X,d）,使X與X的某個稠密子空間 W等距同構(gòu)，弁且X在等距同構(gòu)下是唯一的，即若（父，孑）也是一個完備的度量空間，且 X 與父的某個稠密子空間等距同構(gòu)，則（X,d）與（寅，（?） 等距同構(gòu)。（不需要掌握證明但是要記住結(jié)論 ）5.2.1定理1的改述：設(shè)*= （X, d）是度量空間，那么存在唯一的 完備度量空間X= （X,d）,使X為X的 稠密子空間。6.壓縮映射原理及其應(yīng)用（重點內(nèi)容，要求掌握弁會證明）學(xué)習(xí)完備度

14、量空間概念，就需要應(yīng)用，而壓縮映像原理是求 解代數(shù)方程、微分方程、積分方程，以及數(shù)值分析中迭代算法收 斂性很好的工具，另外要 學(xué)會如何求不動點。6.1 壓縮映射定義：X是度量空間，T是X到X的映射，如果存在一個數(shù)a , be （0,1）,使對 v x,ywX,d（,）Wad（x,y）則 稱T為壓縮映射。6.2 （壓縮映射定理）設(shè) X是完備的度量空間，T是X上的壓縮 映射，那么T有且僅有一個不動點（即方程，有且只有一個解）。（x是T的不動點u x是方程的解）這個定理對代數(shù)方程、微分方程、積分方程、數(shù)值分析的 解的存在性和唯一性的證明中起重要作用。6.3 壓縮映射原理的應(yīng)用：在眾多情況下，求解各種

15、方程的問題 可以轉(zhuǎn)化為求其某一映射的不動點，現(xiàn)在以大家熟悉的一階常微 分方程dy = f (x, y) dx(1)為例來說明這一點。求微分方程(1)滿足初始條件yM) = y0的解 與求積分方程xy(x) = y0f (x,y(t)dtx(2)等價。我們做映射x Ty(x) = y0. f (x, y(t)dtx)則方程(2)的解就轉(zhuǎn)化為求y,使之滿足Ty=y。也就是求這樣 的y,它經(jīng)映射作用后仍變?yōu)閂。因此，求解方程(1)就變?yōu)榍?映射T的不動點，這種求解方程變?yōu)榍蠼庥成涞牟粍狱c的做法在 數(shù)學(xué)中是常用的。那么如何求解映射的不動點呢？在 R中求方程 解的逐次逼近法給了我們啟示。這種迭代原理是解

16、決映射不動點問題最基本的方法。在解決 上述問題中，看到實數(shù)完備性的重要作用。代數(shù)方程、微分方程、積分方程及其他方程求解的逐次逼近法在泛函分析中成了一個一般原理， 即壓縮映射原理，壓縮映射 原理就是某一類映射不動點存在性和惟一性問題，不動點可以通 過迭代序列求出。注：(1)從定理的證明過程中發(fā)現(xiàn)，迭代序列的初始值可任 意選取，最終都能收斂到惟一不動點。(2)該定理提供了近似計算不動點的誤差估計公式，即n_a .:(x., Xn) 一 -：(TXo,Xo)1 - a因為完備度量空間的任何子集在原有度量下仍然是完備的， 所以定理中的壓縮映射不需要在整個空間X上有定義，只要在某個閉集上有定義，且像也在

17、該閉集內(nèi)，定理的結(jié)論依然成立。在實際應(yīng)用過程中，有時T本身未必是壓縮映射，但T的若 干次復(fù)合Tn是壓縮映射，這時T仍然有惟一不動點，下面是壓縮 映射原理的應(yīng)用及相關(guān)證明。例1線性代數(shù)方程Ax = b均可寫成如下形式x = Cx + D 其中C=(Cj)n3D=(di,d2,，dn)T。如果矩陣C滿足條件 nZ Cj <1(i =1,2,，n) j 1則式(3)存在惟一解，且此解可由迭代求得。證明：取X =Rn ,定義度量為p(-,n)= maxai -bi1<<i1二(a1, a2 , ,an ) , (b1,b2 , , bn )構(gòu)造映射T :X t X為Tx=Cx + D

18、 ,那么方程(3)的解等價于映射T 的不動點。又寸于 x = ( x1, x2；"L , xn ) , y = ( y1 , y2 ,，yn ),由于P(Tx，Ty) = max£ (CijXj+dj'-ZGyj+dj)1小二n=1max£ cj(xj -yj) < max! cj P(x,y)n記 a = max £ c 1封j4ija由條件a<1,因此T是壓縮映像，于是T有惟24 / 22不動點，所以方程（3）有惟一解，且此解可由如下迭代序列x(k) =Cx(" - D近似計算求得。例2考察如下常微分方程的初值問題y(x

19、0)= y(0(4)如果f（x,y）在R2上連續(xù)，且關(guān)于第二元y滿足Lipschitz條件,f (x, yi)-f (x, y2)| <K "治這里K>0是常數(shù)，則方程（4）在鳳-6，x。+5上有惟一解（5<）oK證明：方程（4）的解等價于如下方程xy(x) = y。f(t,y(t)dtx0(5)的解。取連續(xù)函數(shù)空間Cx0-a,?+6,定義其上的映射T :Cx0 -、,x0 、 > Cx0 - ,x0 、x(Ty)(x) = y。f(t,y(t)dtx0則積分方程(5)的解等價于T的不動點。對任意兩個連續(xù)函數(shù)V(x), y2(x)£Cx。-5,x。+

20、8,由于：(Tyi,Ty2)=xyx。母 Uf(t，yi一 f(t，y2dtmaxxw max J | f (t, yi (t) - f (t, y2 (t) dt x耳 x。_§,x0 母 lx0Kf |yi(t)-y2(t) dtE6Kp(y,y2)_ maxX x0,x0 至x令a = K6,則a<1,故T是壓縮映射，從而T有惟一不動點,即積分方程(5)有唯一解，從而微分方程(4)在x0 5,x0+8上 有惟一解。例3 設(shè)K(s,t)是定義在a,bxa,b上的二元連續(xù)函數(shù)，則對 于任何常數(shù)九及任何給定的連續(xù)函數(shù)f(t)Ca,b,如下Volterra型積分方程tx(t) =

21、 - K(s,t)x(s)ds f (t)a(6)存在唯一解。證明：取連續(xù)函數(shù)空間Ca,b,其上定義映射T ： Ca, bT Ca,b為t(Tx)(t) K(s,t)x(s)ds f(t)a則方程(6)的解等價于T的不動點。由于K(s,.t)在a,b乂a,b上連續(xù)，于是K(s,t)在a,bMa,b有最大值，記為M ,即M = max a(s,t) :(s,t)乏a, b黑a, b對任何兩個連續(xù)函數(shù)xi(t),x2(t),由于< M M (t - a) max a <sXi(s) - X2(s)=九 M (t - a) P(x1, x2)(T2Xi)(t)-(T2X2)(t)=人K(

22、s,t)(TXi)(s) (Tx2)(s)ds2 M 2 7(x1,x2) (s - a)dsa般地,因此,22九 M2(t -a)2-: (Xi，X2)對自然數(shù)n,歸納可得(TnXi)(t)-(TnX2)(t) <n nM M n(t -a)n!n-:?(Xi,X2)(s,t)Xi (s) - X2 (s)ds(Txi)(t) _(Tx2)(t)|=|K|(K注意到limnj 二二_ n nM M n(b-a)n!_ n nM M n(b-a)n!n-: (Xi，X2)n-=0,因此存在自然數(shù)n0,滿足九 n°Mn0(b-a)%二a < 1n0!a<tibP(Tn

23、Xi,TnX2) =max(TnXi)(t)-(TnX2)(t)這說明Tn0是壓縮映射，由壓縮映射原理可知，有惟一不動點,亦即Volterra型積分方程(6)有惟一解。例4 (隱函數(shù)存在定理) 設(shè)函數(shù)f(x,y)在帶狀域a < x M b,< y中處處連續(xù)，且處處有關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)fy(x,y)。如果存在常數(shù)m和M ,滿足0 :二 m ± fy(x,y)三 M , m : M則方程f(x,y)=0在區(qū)間a,b上必有惟一的連續(xù)函數(shù)y=5(x)作 為解，即f (x, ：(x) =0,x a,b證明：在完備空間Ca,b中作映射T,使對于任意的函數(shù)”Ca,b,有1(T )(x) =

24、 (x)- f(x, (x)M按定理條件，f(x,y)是連續(xù)的，所以(TP)(x)也是連續(xù)的，即TqwCa,b,故T是Ca,b到Ca,b的映射?，F(xiàn)證T是壓縮映射，wCa,b由微分中值定理存在0父日<1使(T 中 2)(x) (T%)(x)| =" 2(x)1.1.Mf(x，2(x)- .(x) Mf(x，.(x)小11 小小= %(x) -%(x)-M fyx, %(x) +e(%(x) -%(x) (中2(x) -%(x)I 2(x) - 1 (x) (1 - £)M又0<m<M所以0<m<1令口=1/，貝U0<a<1且 MM(T

25、中2)(x)(T%)(x) Mu%(x)Q(x)按Ca,b中距離的定義，有P(T9TQ)叫中2(x)T(x),所以T是壓縮映像，存在 中wCa,b使T =中，即中(x)三K)-2f (x3(x),即 M/f(x,Rx)m0,所以 Mf (x, (x) = 0(a < x < b)可見，壓縮映射原理在處理迭代數(shù)列的收斂、微分方程定解等問題上有著重要的應(yīng)用，其觀點與方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的各個分支如常微分方程、數(shù)值計算，加深了各分支間的相互聯(lián)系, 應(yīng)用壓縮映射原理解決問題也十分簡潔、靈活和方便。(二)賦范線性空間1.線性空間設(shè)X是非空集合，F(xiàn)是實數(shù)域或復(fù)數(shù)域，稱X為F上的線性 空間，如果滿

26、足以下條件：對卡兩個元素x, ywX , mX中惟一個元素u與之對應(yīng)，u稱為x 與y的和，記為u = x + y,且滿足：(1)交換律 x+y = y+x(x,y w X)；(2)結(jié)合律 x+(y+z) =(x + y)+z(x, y,zw X)；(3)在X中存在一個元素e,稱為零元，使x+e=x(xwX)；(4)對每個xw X ,存在-xw X ,使x +(x), -x稱為x的負元。對任意數(shù)a w F及xw X ,存在X中惟一元素v與之對應(yīng)，記為 v=ax,稱為a與x的數(shù)乘，且滿足：(1 )結(jié)合律 a(Px) =(aP )x (豆,P)W F, x w X :(2) 1x = x;(3)數(shù)乘

27、對加法分配律(a + B )x =c(x + Px ；(4)加法對數(shù)乘分配律a(x + y) =ax十By。如果F=R,稱X為實線性空間；如果F=C (復(fù)數(shù)域)，稱X 為復(fù)線性空間 對于線性空間：X是線性空間（滿足加法和數(shù)乘運算），Y是X的非空子集， 任意x,ywY及任意a ?R ,都有x+yw Y及axw Y,那么Y按X中加法 和數(shù)乘運算也成為線性空間，稱為X的子空間，X和0是平凡子空間。若X#Y,則稱Y是X的真子空間。2.賦范線性空間和巴拿赫（）空間（重點內(nèi)容）2.1 定義：設(shè)X為實（或復(fù)）的線性空間，如果對每一個向量XWX, 有一個確定的實數(shù)，記為I X I與之對應(yīng)，弁且滿 足：（1）

28、I X I >0 且 |x|=0 U0（2） |ax|二a|x其中a為任意實（復(fù)）數(shù) I I < I X I + I y I x,y w X則稱| X |為向量X的范數(shù)，稱X按范數(shù)| X |成為 賦范線性空間擴展：| X |是X的連續(xù)函數(shù)。（要會證明）設(shè) Xn是X中的點列，如果：3xWX ,使I Xn-X | t0（R7 OO）則稱 Xn依范數(shù)收斂于x,記為xnT x （n7°°）或limxn = x如果令d（X, y） = | |（x,yWX）, xn依范數(shù)收斂于X= 4按距離d （x, y）收斂于X,稱d （x, y）為是由范數(shù)I x |導(dǎo)出的距離。注意：線

29、性賤范空間一定是度量空間，反過來不一定成立。2.2完備的線性賦范空間稱為巴拿赫()空間2.2.1 巴拿赫空間的舉例n維歐式空間R昔誤！Ca , b 嚴L錯誤！ a, b (p2)ip 2.2.2 其他：霍爾德(不等式)：bIIW-g £ f p gp ； p閔可夫斯基不等式：f+g - f gj。(記住結(jié)論弁會應(yīng)用)二、有界線性算子和連續(xù)線性泛函1 .算子定義：賦范線性空間 X到另一個賦范線性空間 Y的映射， 被稱為算子，如果Y是數(shù)域，則被稱為泛函。2 .線性算子和線性泛函2.1 定義：設(shè)X和Y是兩個同為實(或復(fù))的線性空間， D(?) 是X的線性子空間，T為D到Y(jié)中的映射，如果對任

30、何 x, y G d及數(shù)%都有T()(1)T ( a x) =a則稱T為D到Y(jié)中的線性算子，其中D稱為T的定義 域，記為D (T), TD稱為T的值域記為R(T),當(dāng)T 取值于實(或復(fù))數(shù)域時，稱 T為實(或復(fù))線性泛函。2.2 幾種常見的線性算子和線性泛函的例子：相似算子ax 當(dāng)a =1時為恒等算子；當(dāng)a =0時為零 算子；P0 , 1是0, 1上的多項式全體，定義微分算子： (Tx) (t尸 dx(t),dt若 10G 0 , 1,對 vx?P0, 1,定義 f (x) ' 3 則 f 是P0, 1上的線性泛函。積分算子：xGCa, b (t) =/錯誤！x&)dT由積分 線性性質(zhì)知T為線性算子，若令f(x)= /錯誤！ xa) di則f是Ca , b中的線性泛函乘法算子：xGCa, b (t) (t)R昔誤！中的線性變換是線性算子3 .有界線性算子3.1 定義：設(shè)X和Y是兩個線性賦范空間，T是X的線性子空間 D (T)到Y(jié)中線性