一種確定含參函數零點區(qū)間端點的新方法

1、一種確定含參函數零點區(qū)間端點的新方法摘要 本文討論了函數的零點問題 .以近幾年的高考題為例，通過構造不定方程并求其一組解，可以確定含參單調函數零點所在的區(qū)間端點關鍵詞 零點；單調函數；不定方程1問題提出近幾年來，含參函數的零點問題在高考題中常常出現，并且一般出現在壓軸題的位置如2015年高考新課標卷I文科第 21題，命題組給出的標準答案如下:引例1 （2015年高考新課標卷I文科第21題（節(jié)選）已知函數f x討論f x的導函數f x零點的個數解 f x的定義域為 0, f2x有零點；當a 0時，因為e單調遞增, a又fa 0,當b滿足0 b且b4一零點.x 2e2x f.當 a 0 時，f x

2、 xa單調遞增，所以f x在0, x1 r一時，f b 0,故當a 0時, 4特別在所給的“答案”中，區(qū)間端點b是怎么來的，為什么要滿足0 b0, f x 沒單調遞增.f x存在唯a 口1一且 b ,44就像“魔術師帽子里跑出來的兔子”讓人摸不著頭腦.顯然，在規(guī)范答題時利用零點定理找到相應的區(qū)間端點是束縛學生解題的一個瓶頸.筆者翻閱了一些文獻如文1-2 ,查其究竟,大多是利用放縮，把超越函數轉化為可解的多項式函數，但是有時候放縮可能會比題目本身都困難，學生也難以把握.筆者發(fā)現一種新的方法通過構造不定方程，若能給出其一組特殊解，就可以確定零點所在區(qū)間端點或者其中一側端點的取值，僅供大家參考.由于

3、本文主要研究利用零點存在性定理處理問題，故默認所研究的函數均是連續(xù)函數2思路來源引例2求函數f x lnx 2x 6的零點個數3 .這是人教A版必修一第三章“函數的應用”第一節(jié)“函數與方程”中的一個例題.由于該函數是單調遞增的，故零點至多有一個.該函數的零點問題本質上方程lnx 2x 6 0的解，若把該方程看作如下的不定二元方程ln x1 2x2 6 0 ,求出一組解x1 a, x2 b ,滿足a b且a,b 0,.如令x1 1, x2 3 ,則不難發(fā)現f 1 f 3 0 .筆者猜想滿足上述條件的情況下，函數的零點必在a,b之間.原因如下：不妨令a b,并且In a 2b 6 0.由于函數 x

4、 lnx和函數 x 2x 6都是增函數，故 fa Ina 2a 6 2 a b 0,fb Inb 2b 6lnblna0.由 此可得x0a,b .因此，筆者發(fā)現有如下命題:結論1函數F x xx是單調增函數，且滿足x , x均為單調遞增函數，x1x20, x1 x2，則F x必有一個零點x0，且x0在x1,x2之間.當xx2時，由于x2xi且 x單調遞增，則F x2x2x2x2 x 0x2x10 .故知F x必有一個零點x0 ,且x0在x1，x2之間.注該命題中單調增函數都變?yōu)閱握{減函數，結論依然成立引例1的解析 由于當a 0時，因為e2x單調遞增，a單調遞增，符合上述條件，x因此可以構造方程

5、 2e2x1 0.由于該方程的解 x1,x20,，于是選取x1 0,故又2a -a2 , 故不妨令x23 ,則x11.3. 一.一In 一.由于不能確定。x2大小，不妨令22max-ln - 3 220, f m 0,故當a 0時,f x存在唯一零點事實上，x2-n 2即可，故可得到不同的解 nx,lnn.不難發(fā)現當n 4時，可2 2-a11a1得 x2 ,x1 ln2一，此時令 b min,必有 f b424440,這與命題組給出的a1答案0 b 且b 是殊途同歸.44事實上，利用零點存在性定理處理零點問題時,許多場合，函數會在零點附近是單調的因此，如果函數能表示成兩個單調函數之和時， 利用

6、結論1很容易找到零點所在區(qū)間的端點3推而廣之3.1單調函數可變形為兩個單調函數之和我們遇到一些單調函數，雖然不能表示成兩個單調函數之和，但是經過變形仍可以轉化為兩個單調函數之和，如 2016年高考全國新課標I卷文科第21題：x2例1已知函數f x x 2 e a x 1有兩個零點(1)求a的取值范圍；(2)若f x有兩個零點，求a的取值范圍.解析 這里僅考慮 a 0的情形.由于f xex 2ax在區(qū)間,1上單調遞減，在區(qū)間1, 單調遞增.故f x mine 0.當1時,由于上去 以符號相同且有相同的零點.令x 1 e不難發(fā)現,x和 x在區(qū)間,1上都是單調遞減函數xix2x1，x2,1.不妨令x

7、20x12a 0解得2a 1 ,8a 12a2aX 一、8a 1 人-（舍）.則當m2amin2a 1 . 8a-1,0時，F0即 f m 0,2a故可得f x在 ,1有且只有一個零點.當 x 1 時，f 2 a0,故f x在區(qū)間1,有且只有一個零點.因此，可得當a 0時，該函數有兩個零點3.2單調函數可變形為一個單調函數與一個函數之和事實上，很多單調函數未必可以表示為兩個單調函數之和或者不容易變形為兩個單調函 數之和，如函數f x x sin x .雖然該函數是單調增函數，也能構造成不定方程,八一 ,一，一1x sinx2 0 ,也可以給出一解如X ， X2 2k k Z 或267、x2 2

8、k k Z ,但是這不能保證在 、與*2之間有一個零點的.因此，結論1還有 6很多的局限.對于很多含參函數問題來說，比如例1函數的極值可以判定正負，故零點所在區(qū)間端點 有一端可以取極值點.但是另外一個端點不好確定.若能找到另一個端點函數值的正負，問題 也能得到解決.筆者發(fā)現有如下命題：結論2設函數F x x x ,x1x2 0，則當x2 x1時，(1)若x是單調遞增函數，則F x1 0；若 x是單調遞減函數，則F X0；（2）若 x是單調遞增函數，則F x20；若 x是單調遞減函數，則F x2 0.證明 （1 ）由于x1x2,當 x是單調遞增函數時，則F x1xx1x20；當 x是單調遞減函數

9、時，則F x1x1x20 ；同理可得（2）也成立.注 當x x2時，也有類似的結論，在此不作贅述.這些不等式為我們提供了一個可以判斷函數在某點正負的一個依據.筆者嘗試利用這個結果解決2017年全國數學高考新課標I卷理科第21題，如下：例2（2017年高考新課標I卷理科第 21題）已知函數f Xae2x a 2 ex x.（1）略；（2）若f x有兩個零點，求a的取值范圍.解析 限于篇幅，這里僅討論0 a 1情況.由于 f x2ae2xa 2ex1aex12ex1 ,不難得到f x 在區(qū)間 In a, 上單調遞增；在區(qū)間，lna上單調遞減，且 x lna為其極小值點 .進一步得到,1x ,其中

10、xae2xa 2 ex, xx.f ln a 1 ln a 0. a當x lna時，令fx x易知 x單調遞減函數.若x1x20,滿足x1,x2lna, ,故不妨令48-r 84人x1 In - In a ,則 x2 4 .下面說明 x2 x1 ,即一 4 ln a 0,1 .令aaa a8, .4,18x8 - p x 4ln一,由于px - -2- 0,所以p x在 0,1上遞減又因為x xx x x8, 4.p 10,所以任意x 0,1 , p x 0,故一 4 lnlna a 0,1 .由于函數a a4f x在區(qū)間 ln a,是單倜遞增函數，故當 m ln一,有f m 0成立.故可得到

11、af x在區(qū)間 lna,上有且只有一個零點.當x lna時，f 0 2a 2 0 ,21 e a 2e e-2e0 ,且f x為單調遞減函數，所以 f x在區(qū)間1,0有且只有一個零點.綜上可得當0 a 1時，函數f x有兩個不同的零點.2注 若對該題解析所給的不定方程，不難也可給出另外一組解x1ln-, x22,這2組斛不付合結論2的條件即不滿足 x1,x2lna,.雖然有x1ln lna,但是a2 lna a 0,1不一定成立，故此解不能作為我們判斷正負的依據.經過計算也不難發(fā)一 ,一2222現：由于f2 e e 1 a , f ln -2 ln 2 ln a不能確te其在a 0,1上ea的正負.因此，在所在單調區(qū)間內找到符合條件的解是解決該問題的關鍵4反思由于含參函數零點問題一直是高考考查的熱點問題，對于零點所在區(qū)間端點的選取一直這超出了高是學生難以跨越的鴻溝 .文 1 中用到的放縮法是要以學生熟悉泰勒公式為基礎，中學生的范圍，并且對于放縮時“度”的選取還是比較難以把握的.而本文的想法是從函數本身入手， 構造出相應的不定方程， 只要找到一組適合題意的解至少可以確定零點所在區(qū)間的一個端點 .從上面的討論來看，也是通用通法.事實上，這也是困擾筆者多年的一個問題，總希望找到一個讓學生能夠解決問題的抓手，讓他們覺得零點端點的選取不再那么突兀.在平時的教