一種確定含參函數(shù)零點區(qū)間端點的新方法

1、一種確定含參函數(shù)零點區(qū)間端點的新方法摘要 本文討論了函數(shù)的零點問題 .以近幾年的高考題為例，通過構(gòu)造不定方程并求其一組解，可以確定含參單調(diào)函數(shù)零點所在的區(qū)間端點關(guān)鍵詞 零點；單調(diào)函數(shù)；不定方程1問題提出近幾年來，含參函數(shù)的零點問題在高考題中常常出現(xiàn)，并且一般出現(xiàn)在壓軸題的位置如2015年高考新課標(biāo)卷I文科第 21題，命題組給出的標(biāo)準(zhǔn)答案如下:引例1 （2015年高考新課標(biāo)卷I文科第21題（節(jié)選）已知函數(shù)f x討論f x的導(dǎo)函數(shù)f x零點的個數(shù)解 f x的定義域為 0, f2x有零點；當(dāng)a 0時，因為e單調(diào)遞增, a又fa 0,當(dāng)b滿足0 b且b4一零點.x 2e2x f.當(dāng) a 0 時，f x

2、 xa單調(diào)遞增，所以f x在0, x1 r一時，f b 0,故當(dāng)a 0時, 4特別在所給的“答案”中，區(qū)間端點b是怎么來的，為什么要滿足0 b0, f x 沒單調(diào)遞增.f x存在唯a 口1一且 b ,44就像“魔術(shù)師帽子里跑出來的兔子”讓人摸不著頭腦.顯然，在規(guī)范答題時利用零點定理找到相應(yīng)的區(qū)間端點是束縛學(xué)生解題的一個瓶頸.筆者翻閱了一些文獻如文1-2 ,查其究竟,大多是利用放縮，把超越函數(shù)轉(zhuǎn)化為可解的多項式函數(shù)，但是有時候放縮可能會比題目本身都困難，學(xué)生也難以把握.筆者發(fā)現(xiàn)一種新的方法通過構(gòu)造不定方程，若能給出其一組特殊解，就可以確定零點所在區(qū)間端點或者其中一側(cè)端點的取值，僅供大家參考.由于

3、本文主要研究利用零點存在性定理處理問題，故默認(rèn)所研究的函數(shù)均是連續(xù)函數(shù)2思路來源引例2求函數(shù)f x lnx 2x 6的零點個數(shù)3 .這是人教A版必修一第三章“函數(shù)的應(yīng)用”第一節(jié)“函數(shù)與方程”中的一個例題.由于該函數(shù)是單調(diào)遞增的，故零點至多有一個.該函數(shù)的零點問題本質(zhì)上方程lnx 2x 6 0的解，若把該方程看作如下的不定二元方程ln x1 2x2 6 0 ,求出一組解x1 a, x2 b ,滿足a b且a,b 0,.如令x1 1, x2 3 ,則不難發(fā)現(xiàn)f 1 f 3 0 .筆者猜想滿足上述條件的情況下，函數(shù)的零點必在a,b之間.原因如下：不妨令a b,并且In a 2b 6 0.由于函數(shù) x

4、 lnx和函數(shù) x 2x 6都是增函數(shù)，故 fa Ina 2a 6 2 a b 0,fb Inb 2b 6lnblna0.由 此可得x0a,b .因此，筆者發(fā)現(xiàn)有如下命題:結(jié)論1函數(shù)F x xx是單調(diào)增函數(shù)，且滿足x , x均為單調(diào)遞增函數(shù)，x1x20, x1 x2，則F x必有一個零點x0，且x0在x1,x2之間.當(dāng)xx2時，由于x2xi且 x單調(diào)遞增，則F x2x2x2x2 x 0x2x10 .故知F x必有一個零點x0 ,且x0在x1，x2之間.注該命題中單調(diào)增函數(shù)都變?yōu)閱握{(diào)減函數(shù)，結(jié)論依然成立引例1的解析 由于當(dāng)a 0時，因為e2x單調(diào)遞增，a單調(diào)遞增，符合上述條件，x因此可以構(gòu)造方程

5、 2e2x1 0.由于該方程的解 x1,x20,，于是選取x1 0,故又2a -a2 , 故不妨令x23 ,則x11.3. 一.一In 一.由于不能確定。x2大小，不妨令22max-ln - 3 220, f m 0,故當(dāng)a 0時,f x存在唯一零點事實上，x2-n 2即可，故可得到不同的解 nx,lnn.不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)n 4時，可2 2-a11a1得 x2 ,x1 ln2一，此時令 b min,必有 f b424440,這與命題組給出的a1答案0 b 且b 是殊途同歸.44事實上，利用零點存在性定理處理零點問題時,許多場合，函數(shù)會在零點附近是單調(diào)的因此，如果函數(shù)能表示成兩個單調(diào)函數(shù)之和時， 利用

6、結(jié)論1很容易找到零點所在區(qū)間的端點3推而廣之3.1單調(diào)函數(shù)可變形為兩個單調(diào)函數(shù)之和我們遇到一些單調(diào)函數(shù)，雖然不能表示成兩個單調(diào)函數(shù)之和，但是經(jīng)過變形仍可以轉(zhuǎn)化為兩個單調(diào)函數(shù)之和，如 2016年高考全國新課標(biāo)I卷文科第21題：x2例1已知函數(shù)f x x 2 e a x 1有兩個零點(1)求a的取值范圍；(2)若f x有兩個零點，求a的取值范圍.解析 這里僅考慮 a 0的情形.由于f xex 2ax在區(qū)間,1上單調(diào)遞減，在區(qū)間1, 單調(diào)遞增.故f x mine 0.當(dāng)1時,由于上去 以符號相同且有相同的零點.令x 1 e不難發(fā)現(xiàn),x和 x在區(qū)間,1上都是單調(diào)遞減函數(shù)xix2x1，x2,1.不妨令x

7、20x12a 0解得2a 1 ,8a 12a2aX 一、8a 1 人-（舍）.則當(dāng)m2amin2a 1 . 8a-1,0時，F(xiàn)0即 f m 0,2a故可得f x在 ,1有且只有一個零點.當(dāng) x 1 時，f 2 a0,故f x在區(qū)間1,有且只有一個零點.因此，可得當(dāng)a 0時，該函數(shù)有兩個零點3.2單調(diào)函數(shù)可變形為一個單調(diào)函數(shù)與一個函數(shù)之和事實上，很多單調(diào)函數(shù)未必可以表示為兩個單調(diào)函數(shù)之和或者不容易變形為兩個單調(diào)函 數(shù)之和，如函數(shù)f x x sin x .雖然該函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，也能構(gòu)造成不定方程,八一 ,一，一1x sinx2 0 ,也可以給出一解如X ， X2 2k k Z 或267、x2 2

8、k k Z ,但是這不能保證在 、與*2之間有一個零點的.因此，結(jié)論1還有 6很多的局限.對于很多含參函數(shù)問題來說，比如例1函數(shù)的極值可以判定正負(fù)，故零點所在區(qū)間端點 有一端可以取極值點.但是另外一個端點不好確定.若能找到另一個端點函數(shù)值的正負(fù)，問題 也能得到解決.筆者發(fā)現(xiàn)有如下命題：結(jié)論2設(shè)函數(shù)F x x x ,x1x2 0，則當(dāng)x2 x1時，(1)若x是單調(diào)遞增函數(shù)，則F x1 0；若 x是單調(diào)遞減函數(shù)，則F X0；（2）若 x是單調(diào)遞增函數(shù)，則F x20；若 x是單調(diào)遞減函數(shù)，則F x2 0.證明 （1 ）由于x1x2,當(dāng) x是單調(diào)遞增函數(shù)時，則F x1xx1x20；當(dāng) x是單調(diào)遞減函數(shù)

9、時，則F x1x1x20 ；同理可得（2）也成立.注 當(dāng)x x2時，也有類似的結(jié)論，在此不作贅述.這些不等式為我們提供了一個可以判斷函數(shù)在某點正負(fù)的一個依據(jù).筆者嘗試?yán)眠@個結(jié)果解決2017年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)I卷理科第21題，如下：例2（2017年高考新課標(biāo)I卷理科第 21題）已知函數(shù)f Xae2x a 2 ex x.（1）略；（2）若f x有兩個零點，求a的取值范圍.解析 限于篇幅，這里僅討論0 a 1情況.由于 f x2ae2xa 2ex1aex12ex1 ,不難得到f x 在區(qū)間 In a, 上單調(diào)遞增；在區(qū)間，lna上單調(diào)遞減，且 x lna為其極小值點 .進一步得到,1x ,其中

10、xae2xa 2 ex, xx.f ln a 1 ln a 0. a當(dāng)x lna時，令fx x易知 x單調(diào)遞減函數(shù).若x1x20,滿足x1,x2lna, ,故不妨令48-r 84人x1 In - In a ,則 x2 4 .下面說明 x2 x1 ,即一 4 ln a 0,1 .令aaa a8, .4,18x8 - p x 4ln一,由于px - -2- 0,所以p x在 0,1上遞減又因為x xx x x8, 4.p 10,所以任意x 0,1 , p x 0,故一 4 lnlna a 0,1 .由于函數(shù)a a4f x在區(qū)間 ln a,是單倜遞增函數(shù)，故當(dāng) m ln一,有f m 0成立.故可得到

11、af x在區(qū)間 lna,上有且只有一個零點.當(dāng)x lna時，f 0 2a 2 0 ,21 e a 2e e-2e0 ,且f x為單調(diào)遞減函數(shù)，所以 f x在區(qū)間1,0有且只有一個零點.綜上可得當(dāng)0 a 1時，函數(shù)f x有兩個不同的零點.2注 若對該題解析所給的不定方程，不難也可給出另外一組解x1ln-, x22,這2組斛不付合結(jié)論2的條件即不滿足 x1,x2lna,.雖然有x1ln lna,但是a2 lna a 0,1不一定成立，故此解不能作為我們判斷正負(fù)的依據(jù).經(jīng)過計算也不難發(fā)一 ,一2222現(xiàn)：由于f2 e e 1 a , f ln -2 ln 2 ln a不能確te其在a 0,1上ea的正負(fù).因此，在所在單調(diào)區(qū)間內(nèi)找到符合條件的解是解決該問題的關(guān)鍵4反思由于含參函數(shù)零點問題一直是高考考查的熱點問題，對于零點所在區(qū)間端點的選取一直這超出了高是學(xué)生難以跨越的鴻溝 .文 1 中用到的放縮法是要以學(xué)生熟悉泰勒公式為基礎(chǔ)，中學(xué)生的范圍，并且對于放縮時“度”的選取還是比較難以把握的.而本文的想法是從函數(shù)本身入手， 構(gòu)造出相應(yīng)的不定方程， 只要找到一組適合題意的解至少可以確定零點所在區(qū)間的一個端點 .從上面的討論來看，也是通用通法.事實上，這也是困擾筆者多年的一個問題，總希望找到一個讓學(xué)生能夠解決問題的抓手，讓他們覺得零點端點的選取不再那么突兀.在平時的教