高中數(shù)學(xué)論文巧解外接球的問題

1、快速解決巧解外接球問題如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多 面體，這個(gè)球稱為多面體的外接球 .有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)，也 是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn).考查學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力.研究多面體的外接球 問題，既要運(yùn)用多面體的知識(shí)，又要運(yùn)用球的知識(shí)，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元 素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會(huì)起到至關(guān)重要的作 用.、直接法（公式法）1、求正方體的外接球的有關(guān)問題例1 （2006年廣東高考題）若棱長(zhǎng)為 3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表 面積為.解析：要求球的表面積，只要知道球的半徑

2、即可.因?yàn)檎襟w內(nèi)接于球，所以它的體對(duì)角線正好為球的直徑，因此，求球的半徑可轉(zhuǎn)化為先求正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，再計(jì)算半徑.故表面積為27 .例2 一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為24,則該球的體積為.解析：要求球的體積，還是先得求出球的半徑，而球的直徑正好是正方體的體對(duì)角線， 因此，由正方體表面積可求出棱長(zhǎng)，從而求出正方體的體對(duì)角線是 2百所以球的半徑為0. 故該球的體積為4巧.2、求長(zhǎng)方體的外接球的有關(guān)問題例3 （2007年天津高考題）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為l2,3 ,則此球的表面積為解析：關(guān)鍵是求出球的半徑，因?yàn)殚L(zhǎng)方體內(nèi)接于球，

3、所以它的體對(duì)角線正好為球的直徑。 長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)為 J14,故球的表面積為14 .例4、（2006年全國(guó)卷I）已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4,體積為16,則這個(gè)球的表面積為（A. 16B. 20C. 24D. 32解析：正四棱柱也是長(zhǎng)方體。由長(zhǎng)方體的體積 16及高4可以求出長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為 2,因此，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2, 2, 4,于是等同于例3,故選C.3.求多面體的外接球的有關(guān)問題例5. 一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為8 ,底面周長(zhǎng)為3 ,則這個(gè)球的體積為6x 3,9.3 2.6 x h, 解 設(shè)正

4、六棱柱的底面邊長(zhǎng)為x，高為h ,則有 84正六棱柱的底面圓的半徑12 ,球心到底面的距離、.32 .，外接球的半徑R r2 d2 12小結(jié)本題是運(yùn)用公式R2 .2r d求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式二、構(gòu)造法（補(bǔ)形法）1、構(gòu)造正方體例5 （2008年福建高考題）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為M ,則其外接球的表面積是.解析：此題用一般解法，需要作出棱錐的高， 然后再設(shè)出球心，利用直角三角形計(jì)算球 的半徑.而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法，所以三條側(cè)棱兩兩垂直，使我們很 快聯(lián)想到長(zhǎng)方體的一個(gè)角，馬上構(gòu)造長(zhǎng)方體，且側(cè)棱長(zhǎng)均相等，所以可構(gòu)造正方體模型，如圖1,則ac=b

5、c=cd 33 那么三棱錐的外接球的直徑即為正方體的體對(duì)角線，故所求表面積是9 .（如圖1）例3若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為J3,則其外接球的表面積是解據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,，把這個(gè)三棱錐可以補(bǔ)成一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球設(shè)其外接球的半徑為R,則有2R2百2百T329.,R24.2-故其外接球的表面積S 4 R 9小結(jié) 一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長(zhǎng)度分別為a、b、c,則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為R,則有2R后 b2 出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形

6、知識(shí)，聯(lián)系長(zhǎng)方體?！驹怼浚洪L(zhǎng)方體中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為,則體對(duì)角線長(zhǎng)為,幾何體的外接球直徑為2式體對(duì)角線長(zhǎng),即【例題】：在四面體ABCD中，共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，其長(zhǎng)度分別為若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，求這個(gè)球的表面積。解：因?yàn)椋洪L(zhǎng)方體外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)所以：四面體外接球的直徑為 &的長(zhǎng)即:4* =十處+心X所以球的表面積為例6 （2003年全國(guó)卷）一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為J2 ,四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則解析：一般解法，需設(shè)出球心，作出高線，構(gòu)造直角三角形，再計(jì)算球的半徑.在此,由于所有棱長(zhǎng)都相等，我們聯(lián)想只有正方體中有這么多相等的線段，所以構(gòu)造一個(gè)正方體,D

7、再尋找棱長(zhǎng)相等的四面體，如圖 2,四面體A BDE滿足條件，即AB=AD=AE=BD=DE BE J2,由此可求得正方體的棱長(zhǎng)為1,體對(duì)角線為J3 ,從而外接球的直徑也為 百，所以此球的表面積便可求得，故選A.（如圖2）例7 （2006年山東高考題）在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2 , DAB=60 0, E為AB的中點(diǎn)，將 ADE與BEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點(diǎn)P,則三棱奉| P-DCE的外接球的體積為（）4、. 3 6. 66A./B.萬C.D.五解析：（如圖3）因?yàn)锳E=EB=DC=1 ,DAB= CBE= DEA=60 0 ,所以AD AE=EB=BC=DC=D

8、E=CE=1 ,即三棱錐A、B、C、D, DA 平面 ABC例8 （2008年浙江高考題）已知球 0的面上四點(diǎn)圖3AB BC, DA=AB=BC=6，則球。的體積等于解析：本題同樣用一般方法時(shí)，需要找出球心，求出球的半徑.而利用長(zhǎng)方體模型很快便可找到球的直徑，由于 DA 平面ABC, AB BC ,聯(lián)想長(zhǎng)方體中的相應(yīng)線段關(guān)系， 構(gòu)造如圖4所示的長(zhǎng)方體，又因?yàn)?DA=AB=BC= J3,則此長(zhǎng)方體為正方體，所以 CD長(zhǎng)9即為外接球的直徑，利用直角三角形解出CD=3 .故球O的體積等于2 .（如圖平面BCDBC DC ,若AB 6,AC=2而,AD=8 ,則球的體積是解析：首先可聯(lián)想到例 8,構(gòu)造

9、下面的長(zhǎng)方體，于是 AD為球的直徑，。為球心,OB=OC=4為半徑，要求b、C兩點(diǎn)間的球面距離，只要求出BOC即可，在Rt ABC中,求出BC=4,所以 BOC=600a故B、C兩點(diǎn)間的球面距離是3 .（如圖5）圖5三.多面體幾何性質(zhì)法例2已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個(gè)球的表面積是A.16B.20C.24D.322解 設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為 x ,外接球的半徑為 R,則有4x 16,解得x 2.,2R收22 422拒R而.這個(gè)球的表面積是4 R2 24 .選C.小結(jié)本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對(duì)角線的長(zhǎng)等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來求解的四.尋求軸截面圓半徑法例4

10、正四棱錐S ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為 72,點(diǎn)S、A B、C、D都在同一球面上，則此球的體積為解 設(shè)正四棱錐的底面中心為 。1,外接球的球心為 ,如圖1所示.，由球的截面的性質(zhì)，可得OO1平面ABCD .又SO1平面ABCD，球心必在SO1所在的直線上.ASC的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑2 一_2_ _ 2在 ASC 中，由 SA SC V2, AC 2,得 SA SC AC .ASC是以AC為斜邊的RtAC 12是外接圓的半徑，也是外接球的半徑V球.故小結(jié) 根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個(gè)軸截 面圓，于是該圓的半徑就

11、是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實(shí)質(zhì)就是通過尋找外接球的一個(gè)軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí).五.確定球心位置法例5在矩形ABCD中，AB 4,BC 3沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B AC D ,則四面體ABCD的外接球的體積為125125125125A. 12B. 9C. 6D. 3解設(shè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為0 ,則由矩形對(duì)角線互相平分，可知0A OB OC OD .點(diǎn)O到四面體的四個(gè)頂點(diǎn) aR如圖2所示.，外接球的半徑-543OAV 球一R32.故31256.選 C.B C、D的距離相等，即點(diǎn) O為四面體的外接球的球心,出現(xiàn)兩個(gè)垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)論?！驹怼浚褐苯侨切涡边呏芯€等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點(diǎn)?！纠}】：已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球 0的球面上， 工且以二7嚴(yán)三5 , 尸C -任,AC = I 口，求球0的體積。解：|松13。且利1 = 7 ,月=5|,改=百，-10 ,因?yàn)槭?Q二所以知用= FA1 +FC、所以畏41所以可得圖形為: