第八章經(jīng)典力學(xué)的哈密頓理論

1、第八章經(jīng)典力學(xué)的哈密頓理論正則坐標(biāo)和哈密頓函數(shù)三種不同形式的哈密頓動(dòng)力學(xué)方程1. 哈密頓正則方程2. 哈密頓原理3. 哈密頓-雅可比方程正則坐標(biāo)和哈密頓函數(shù)為表述空間的位置，引入坐標(biāo)。常用坐標(biāo)：（1）直角坐標(biāo)；（2）平面極坐標(biāo)；（3）柱坐標(biāo)；（4）球坐標(biāo)等功能：（1）用三個(gè)坐標(biāo)值表示空間的一點(diǎn)的位置（2）確定空間一組相互正交的單位矢量（有了單位矢量，任何一個(gè)有方向的力學(xué)量都可以統(tǒng)一用這組矢量表示） 區(qū)別：（1）直角坐標(biāo)與物體的運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)，是固定不變的（2）曲線坐標(biāo)的單位矢量是隨著質(zhì)點(diǎn)所在的位置而改變的，（3）自然坐標(biāo)由質(zhì)點(diǎn)的速度方向決定坐標(biāo)1 .廣義坐標(biāo)：Li Li q,&t設(shè)拉格朗日方

2、程為:d L1 dt &L2 L2 q,(&t又設(shè)：拉格朗日方程為:L2L2令:上式甲fL2Lif q，t是變量q,t的任意函數(shù)，則:df q,tdt所以由:d L2_d L出（&出率3 fq,t a，出q& dt出串L2 qdtfq,t二 - -f q,tq q dtf q,tdtq,td L1 dt &可以得到：L2d L2 dt &即：通過拉格朗日方程，對(duì)于兩個(gè)不同的拉格朗日量可以解得同一個(gè)廣義坐標(biāo)。經(jīng)典力學(xué)中，一個(gè)力學(xué)體系的拉格朗日函數(shù)不是唯一的，不同的拉格朗日函數(shù)可以相差一項(xiàng):df q,tdt由于f(q,t)是任意函數(shù)，因此，一個(gè)力學(xué)體

3、系的拉格朗日函數(shù)可以有無(wú)窮多個(gè)。2 .廣義動(dòng)量p T若拉格朗日函數(shù)是唯一的，則與廣義坐標(biāo)相對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量也是唯一的，兩者一一對(duì)應(yīng)。1Li2L2但是，由于拉格朗日函數(shù)l；l2都包含有廣義速度q&因此p_q&和p-q&將是兩個(gè)不同的力學(xué)量，由于 f (q,t)是任意函數(shù)的，因此，與廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量也有無(wú)窮多個(gè)。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述為：廣義動(dòng)量和廣義坐標(biāo)是完全獨(dú)立的。若取f f(t),只是時(shí)間的函數(shù)，則 p和q就一一對(duì)應(yīng)了。但是，這是一個(gè)規(guī)范條件，這個(gè)規(guī)范條件并非理論本身所必需的。條件：(1)保留廣義坐標(biāo)的概念不變L(2)保留廣義動(dòng)量的定義 p&不變，(3)對(duì)f (q

4、,t)不做任何限制，問題：若使p和q保持獨(dú)立地位：(A) 力學(xué)理論如何？(B) 是否會(huì)帶來經(jīng)典力學(xué)和拉格朗日理論中沒有的優(yōu)點(diǎn)？回答上述問題的理論即為哈密頓理論!3. 兩個(gè)變量的勒讓德變換一組獨(dú)立變數(shù)變?yōu)榱硪唤M獨(dú)立變數(shù)的變化稱為勒讓德變換。設(shè)：f f x, y則:df udx vdy上式我們是以 x, y為變量，實(shí)際上我們可以用fu xfv - yx, y,u,v任意兩個(gè)量作為變量。若?。簓,u為獨(dú)立變量，則：x x(u,y)v v u, y此時(shí)函數(shù)f也為y,u的函數(shù)記為：f f u, y f x u,y ,y此時(shí)我們不能將 x, v表述成為:對(duì)于ffff xxv uyyX yy設(shè):則:ff X

5、Xu一 u x uug f ux對(duì)于:fx一 v u 一yyff xxu - ux uu當(dāng)自變量為x, y時(shí):f u -df udx vdyxfv - y當(dāng)自變量為y,u時(shí)，若仍用f f u,y，則:即：勒讓德變換!df xdu vdy4.哈密頓方程:通過拉格朗日方程建立哈密頓方程:廣義動(dòng)量和廣義速度為:g f ux f x xq&q& q& p,q,t式中的（&g& p,q,t是以 p,q,t為變量的函數(shù)上述方程是拉格朗日方程的另一種表述形式。但是上面方程并不對(duì)稱定義哈密頓函數(shù):H p,q,tp q& l取全微分形式：dH dLp d(&

6、; (& dp而：L L q,4tdL-dq d(&-Ldtq q&t&dq p dq&Ldt所以:dH& dq p d&dttp d&&dp同時(shí):則:& dq (&dpLdt tH H p,q,tdHH dpH dqHdt比較上面兩式得到哈密頓正則方程：(&PHqLt拉格朗日方程是s個(gè)二階微分方程，而哈密頓正則方程是2s個(gè)一階微分方程,拉格朗日方程和哈密頓正則方程完全等價(jià)哈密頓函數(shù)對(duì)時(shí)間的全微商：dHH o H o Hq&& dtqp t(&H &P代入上式:dH

7、dtH H q p當(dāng)H不顯含時(shí)間時(shí),所以:即:dH c 0 dtH const若拉格朗日函數(shù)除包含&q,t之外還包含其它參數(shù)如，則：dL &dq p d(&-Ldt - d代入dH dL p dq& (& dp得到：dH& dq p d&Ldt tLd&dp&dq 隼dpLdt t由：H H p,q,t,得:所以:非保守力體系下:dHdpdqp,qHdttp,qq& - p&-HQq中的哈密頓函數(shù)和正則方程例1. 寫生粒子在中心勢(shì)場(chǎng)V解：粒子的拉格朗日函數(shù)為：L 工m &r2 &22rLq&

8、amp;得:mr2 & m& && Prm&，2 mr機(jī)械能:H T V2m&2 r2&2；22Pr2212r 2 Pmr2Pr由哈密頓函數(shù)定義得：h p q& l得:Hpr& pm&2mr2& N&2r2&72m&2 r2&27上式與機(jī)械能形式相同正則方程：(&&HPHqfor rforHPr& Pr m&3 P 2mr r& P mr2& 0由:& p mr2& 0p mr2 && 0pmr2

9、 & const例2. 帶電粒子在電磁場(chǎng)中的哈密頓函數(shù)：解：12r rL 一 mv e eA?v2由廣義動(dòng)量的定義得：rL r rp mv eA哈密頓函數(shù)的定義:- r 一 r 12H p(& L P?v L mve2由:r mvr eA得:r 1 r r v p eA m所以:12mv e21 r r 2 p eA 2m量子力學(xué)中常用的哈密頓量例3. 設(shè)帶電粒子的電荷為e,在電荷為 Ze的電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。取球坐標(biāo)r,為廣義坐標(biāo)，設(shè)電子的質(zhì)量為m電子的運(yùn)動(dòng)速度:v2 & r2&r2sin&2電子在核力場(chǎng)中以速度rv運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)能和勢(shì)能:T 1 mv222m&a

10、mp;2&r2sin&2拉格朗日函數(shù):Ze21 Ze240L 2m& r2&r2 sin&2一r計(jì)算p哈密頓函數(shù)為:PrPP&L &L&pr m&2 & p mr J2 mr2 sin12m代入正則方程中:p (& L L pr&p&p&12122 p 2 . 2 pr r sin&r&&11212&r3 P32 Pmr mr sin112&-2P cosmr sin&0r&&&H PrHP HP&正m&

11、amp;42mr&2_2- Pmr sin上式即為由哈密頓正則方程求生的電子在核力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程由于H中不含有,所以:由:PrmP2 mr122mr sin&0 p constprm&2 &pmr &22 opmr sin&&mi&& m 2rr&& r2&&p m 2rr&sin2& 2r2 sin cos && r2 sin2同時(shí):12123 P 3 P 一 mr mr sin rm&&mr2 &2 一 一2mr sinmr&

12、; mr & mrsin252(*)r右邊第二項(xiàng)是關(guān)于82 項(xiàng)，由 pmr2sin2 &得:& mr2Sin2 Pp const所以m&& mr &123 2p mr sin而:2p cos12. 3mr sind 2 &mr & dtd 221*mr &2p cosdtmr2sin3由于和*都不包括故電子一定在一個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，這正是我們預(yù)期的，因?yàn)殡娮邮艿氖怯行牧Γ绻畲似矫鏋榉匠虨椋?的平面，則& 00。而電子在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的mr& mr &123. 2 Pmr sinddtmr2 &1

13、2；-p cos2 3mr sinmr& mr &- 0rd 25mr & 0dt5. 變分問題的歐拉方程(1) 第一性原理：在力學(xué)中起“幾何公理”作用，可以由它推導(dǎo)由全部力學(xué)定律得原理或假設(shè)稱為第一性原理例如：牛頓定律為第一性原理，以牛頓定律作為第一性原理建立的牛頓力學(xué)或稱為 經(jīng)典力學(xué)體系最容易理解。但是，牛頓定律不是唯一的作為第一性原理的理論！1788年拉格朗日發(fā)表的分析力學(xué)以虛功原理為第一性原理。目前許多教材以達(dá)朗貝爾原理為第一性原理。最小作用量原理物理學(xué)的第一性原理(2) 變分法：變分符號(hào)：(3)變分代數(shù):設(shè):A A p,q,tB B p,q,t則:AB ABB

14、AB2(4)變分的意義：微分和變分是不同的,(i)曲線C (實(shí)線)是S維空間中的一條曲線，且質(zhì)點(diǎn)遵循 運(yùn)動(dòng)定律運(yùn)行時(shí)的軌道，即動(dòng)力軌道或稱為真實(shí)的軌道。(ii) C曲線為鄰近C的一條曲線，但不是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力軌道，唯C和C的兩個(gè)端點(diǎn) P P t ti和P2 P2 t t2相同。(iii)設(shè)質(zhì)點(diǎn)M沿C運(yùn)動(dòng)，而想象另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)M 沿C運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)自Pi Pi t匕點(diǎn)由發(fā)，同時(shí)到達(dá) P2 P2tt2。(vi)我們把相差甚微的 C與C之間的差稱為變分。用表示，以區(qū)別來自同一曲線軌道上由于自變數(shù)微小變化而引起的差異的微分符號(hào)d。在P p t匕和P2P2tt2上有:qpiqp2 0(a)如果 P以及P是C和C

15、上兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即，M和M同時(shí)自P1點(diǎn)由發(fā)，分別經(jīng)C和C 運(yùn)動(dòng)，當(dāng)M到達(dá)P點(diǎn)時(shí)，M到達(dá)P點(diǎn)。(b) Q是P附近的一點(diǎn)，并且在和 P點(diǎn)相同的軌道上。(c)若 P P q ,t 則：P P q q ,t , Q Q q dq(d)在C線上的Q點(diǎn)可以從兩個(gè)方面來考慮：一個(gè)方面：PQ Q另一個(gè)方面：PPQ但是:P Q Q P P Qq42dqq dq1 44442444 4Q Qdq q dqdq即d與q42 田 d q q 144 44 244443P Qq q dq d qd q對(duì)易！所以一般情況下,dq d tdt2ddq dq dt d qq2dtdtdt2dt.d與出不對(duì)易，若 t 0則：dt

16、d q dt這種情況稱為等時(shí)變分，而d與d7不對(duì)易的變分稱為全變分或不等時(shí)變分。(5)泛函數(shù)的變分:鉛直平面內(nèi)，所有連接兩個(gè)定點(diǎn)A和B的曲線中，找由一條使初始速度為零的質(zhì)點(diǎn)在自力作用下自A無(wú)摩擦下滑時(shí)以最短時(shí)間到達(dá)B o泛函數(shù)：如果 y(x)是x的函數(shù)，則J y x 稱為函數(shù)y(x) 的泛函數(shù)。質(zhì)點(diǎn)A沿光滑曲線y(x)自由下落時(shí)，速度 v與y的關(guān)系為：v <2gyds 1 vdt dtdx2 dy,1 y2dxdtdydx由A下落到B點(diǎn)所需的時(shí)間:XbdtxAXbdxxb需要知道:所以最速落徑問題是泛函數(shù)的極值問題。xAxA,1 y2 小 dx 2gyJminJ取極值的條件為:xp Axp Axp-p-xp AP 7bexp "Pxpxpbe1xbe對(duì)于固定的A點(diǎn)和B點(diǎn)NayB所以:f一 yx2yxiffyx2- yyyf一NbyfNay由于所以:X2xifydx yy dx 0由于 y是任意的，所以:dx歐拉方程!ffdy fdfy yyyydx ydx yf d f y y ydx y若f f y,y不顯含x ,則:d r fdfdff yy 一dx ydx dxyffy yyyf d fy dx y所以:const y依題意:1 y2J2gyf不顯含 X ,因此，滿足歐拉方程的初積分形式為: