蒙日?qǐng)A及其證明

1、蒙日?qǐng)A及其證明22x y局考題 （2014年局考廣東卷文科、理科第20題）已知橢圓c：F+22 = 1（a Ab>0）的 a b一個(gè)焦點(diǎn)為（J5,0）,離心率為 寺.（1）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)P（Xo,yo）為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn) P 的軌跡方程.22答案：（1）上+上=1 ；（2）x2+y2 =13.94這道高考題的背景就是蒙日?qǐng)A.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)2 必修 A版（人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷）第22頁(yè)對(duì)畫法幾何的創(chuàng)始人蒙日（G.Monge, 1745-1818）作了介紹.以上高考題第（2）問(wèn)的一般情形是

2、 22定理1 曲線土+上=1的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)P的軌跡是圓 -2. 2a bx2 y2 二a2 b2.定理1的結(jié)論中的圓就是蒙日?qǐng)A.先給出定理1的兩種解析幾何證法：定理1的證法1當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線中有斜率不存在或斜率為0時(shí)，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)是（±a, b）,或（+a,-b）.當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線中的斜率均存在且均不為0時(shí)，可設(shè)點(diǎn) P的坐標(biāo)是（x0,y0）（x0#±a,且v。#現(xiàn)，所以可設(shè)曲線的過(guò)點(diǎn) P的切線方程是y -y0 =k(x -x0)(k =0).'22-1由a2b2 1 ，得y -y0 =k(x -4)(a2k2 b2)x2 -2k

3、a2(kx0 -y0)x a2(kx)-y0)2 -a2b2 =0由其判別式的值為0,得(%2 -a2)k2 -2%y0k y02 b2 =0(x02 - a2 = 0)因?yàn)閗pA,kpB是這個(gè)關(guān)于k的一元二次方程的兩個(gè)根，所以kPAkpB_ y0 b22x0 -a由此，得22-22kPAkpB = -1= %yo = a b進(jìn)而可得欲證成立.定理1的證法2當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線中有斜率不存在或斜率為0時(shí)，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)是（土a, b）,或（±a,-b）.當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線中的斜率均存在且均不為0時(shí)，可設(shè)點(diǎn) P的坐標(biāo)是（ ）0）（X0 #±a,且 y（）*

4、劃，所以可設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別是A（4 y） B（X2,y2）（XiX2%y2 /0）.得直線AB爭(zhēng)+蘆乩切線PA爭(zhēng)+*=1,pB：?+?d所以:b2x1 j b2x2a2yia2y24b x1x2=-4a y2yi y2yi y2=x1 x2x1 x2kOAkOBb4kPAkPB22因?yàn)辄c(diǎn)（乂）。=1,2）既在曲線0+鄉(xiāng)=1上又在直線AB：W+4=1上,所以a ba b所以由此，可得+2a2b2x0y° 工 十/（42a2） = 0、xj._ yy2 kOA kOB 一b4 b4（x02-a2）.4/2, 2、一 i,.a （y。-b ）kPAkPBkPAkPB_ V0 - b2一 _2

5、2x0 -a_ 2222PA_ PB：= xy0 =a2 b2進(jìn)而可得欲證成立.再給出該定理的兩種平面幾何證法，但須先給出四個(gè)引理引理1 （橢圓的光學(xué)性質(zhì)，見普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修 2-1 A版 （人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷）第76頁(yè)）從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光 線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上（如圖1所示）.證明圖1P作/ F1PF2的外角平分線所在的直線1(/3=/4).先證明1和相切于點(diǎn)P,只要證明l如圖2所示，設(shè)P為橢圓(其左、右焦點(diǎn)分別是 Fi, F2)上任意給定的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)上異于P的點(diǎn)P'都在橢圓的外部，即證 PFi +

6、|P52 >|PFi +PF2 :圖2在直線PFi上選取點(diǎn)F',使PF=PF2 ,得麗尸匕蛇52,所以|PF'=PF2|,還得PFi| |PF2| |PFi門PFFiF I |FiP PF | |PFi - PF2再過(guò)點(diǎn)P作/F1PF2的平分線PA(/1=/2),易得PA_Ll ,入射角等于反射角，這就 證得了引理1成立.引理2過(guò)橢圓(其中心是點(diǎn)O,長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是a)的任一焦點(diǎn)F作橢圓的任意切線l的 垂線，設(shè)垂足是 H,則OH| =a.證明 如圖3所示，設(shè)點(diǎn)F',F分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓的切線l上的切點(diǎn)，又設(shè)直線 FH,FA交于點(diǎn)B.圖3),進(jìn)而可得AFAH

7、由引理1,得NFAH =/lAF' = /BH (即反射角與入射角的余角相等9 ZiBAH ,所以點(diǎn) H是FB的中點(diǎn)，得 OH是ZBFF'的中位線.又AF = AB ,所以1 .1.OH =q(FA AB) =q(FA AF)=a.引理3平行四邊形各邊的平方和等于其兩條對(duì)角線的平方和證明 由余弦定理可證(這里略去過(guò)程).弓I理4 設(shè)點(diǎn)P是矩形ABCD所在平面上一點(diǎn)，則 pA2 +pc2 =pB2 + pd 證明如圖4所示，設(shè)矩形ABCD的中心是點(diǎn)O.圖4由引理3,可得_22_222222PA PC =2(OA OP)=2(OB OP ) = PB PD即欲證成立.注 把引理4推

8、廣到空間，得到的結(jié)論就是：底面是矩形的四棱錐相對(duì)側(cè)棱長(zhǎng)的平方和 相等.定理1的證法3 可不妨設(shè)a >0,b >0 .當(dāng)a =b時(shí)，易證成立.下面只證明a>b的情形.如圖5所示.設(shè)橢圓的中心是點(diǎn) O,左、右焦點(diǎn)分別是 Fi,F2 ,焦距是2c,過(guò)動(dòng)點(diǎn)P的 兩條切線分別是 PM ,PN .圖5連ZOPP ,作OG_LPM,OH _LPN ,垂足分別是G,H .過(guò)點(diǎn)Fi作FQ_LPM ,垂足為D,由引理2得OD =a.再彳F1K 1OG 于 K .記/OF1K =8,得 |DG| = FiK =ccos9 .2 22由 Rt 刀DG ,得 OG| = OD -DG =a2 c2 c

9、os2 9 .又作F2E _LPN,F2L _LOH ,垂足分別為E,L .在 Rt AOEH中，同理可得OH |2 =OE - HE 2 =a2c2sin2e.若PM _L PN ,得矩形OGPH ,所以O(shè)P = OG| "OH =(a2 -c2 cos2 u) (a2 -c2sin2 1) =a2 b222. 2 一(2)若 OP =a +b ,得OP2 =(a2 -c2 cos2H) +(a2 -c2 sin2 8) = OG2 +|OH 2由 OG _LPM，得 OP2 = OG2 +GP2 ,所以 GP = OH .同理，有OG = HP ,所以四邊形 OGPH是平行四邊形

10、，進(jìn)而得四邊形 OGPH是矩 形，所以PM _ PN .由(1),(2)得點(diǎn)P的軌跡方程是x2 +y2 =a2 +b2.定理1的證法4 可不妨設(shè)a >0,b >0 .當(dāng)a =b時(shí)，易證成立.下面只證明a>b的情形.如圖6所示.設(shè)橢圓的中心是點(diǎn) O,左、右焦點(diǎn)分別是 巳下2,焦距是2c,過(guò)動(dòng)點(diǎn)P的兩 條切線分別是PA, PB ,兩切點(diǎn)分別為 A, B .分別作右焦點(diǎn)F2關(guān)于切線 PA, PB的對(duì)稱點(diǎn) M , N ,由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得三點(diǎn)F1, A, M共線（用反射角與入射角的余角相等 ）.同理，可得三點(diǎn)F1, B, N共線.圖6由橢圓的定義，得 MF1 =|AF1 + AF2

11、| =2a, NF1 =|BF1 +|BF2 =2a ,所以MF1 =|NF1由。是F1F2的中點(diǎn)，及平行四邊形各邊的平方和等于其兩條對(duì)角線的平方和，可得PF12 +|PM 2 =|PF1 2 +|PF22 =2(OF2 2 + OP2) =2(c2 + OP2)若 PA_L PB ,得/MPF1 +/NPF1 =2(/APF2 +/BPF2) =1801 即三點(diǎn) M , P,N 共線.又 PM I =|PF2 =|PN ,所以 PF1 1 MN ,進(jìn)而得4a2 =|MF12 =|PF1|2+ PM 2 =2(c2 + OP2)OP2 =a2 +b2 22 ,2(2)若 OP =a2+b2,得

12、22222222112PF1 +PM| =2(c2+OP ) =2(c2+a2+b2)=4a2 =|MF1所以PF1 , PM同理，可得PFi .L PN .所以三點(diǎn)M , P,N共線.m1 ,、一得/APB =/APF2 +NBPF2 = (/MPF2 +/NPF2) = 90: 即 PA± PB. 2由(1),(2)得點(diǎn)P的軌跡方程是x2 +y2 =a2 +b2.定理1的證法5 (該證法只能證得純粹性)可不妨設(shè)a >0,b >0 .當(dāng)a=b時(shí)，易證成立.下面只證明ab的情形.如圖7所示，設(shè)橢圓的中心是點(diǎn)O,左、右焦點(diǎn)分別是 巳下2,焦距是2c,過(guò)動(dòng)點(diǎn)P的兩條切線分別是

13、 PA, PB ,切點(diǎn)分別是 A, B .設(shè)點(diǎn)Fi關(guān)于直線PA, PB的對(duì)稱點(diǎn)分別為 f/,F2'，直線FiF：與切線PA交于點(diǎn)G ,直線F1F2與切線PB交于點(diǎn)H .圖7得 AF1，AF1,BF2，BF1|,再由橢圓的定義，得 EG =F2,2 =2a ,所以 OG =OH| =a.2222因?yàn)樗倪呅蜳GF1H為矩形，所以由引理 4得OF/ +OP =OG +OH| =2a ,所以O(shè)P2 =a2 +b2,得點(diǎn)P的軌跡方程是x2 +y2 =a2 +b2.讀者還可用解析幾何的方法證得以下結(jié)論：22定理2 (1)雙曲線 與-4 =1(a >b >0)的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的

14、軌跡是圓 a b222.2x y 二a -b ；2(2)拋物線y = 2 px的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)是該拋物線的準(zhǔn)線222定理3 (1)橢圓與+%=1(abA0)的兩條斜率之積是 一號(hào) 的切線交點(diǎn)的軌跡方a ba2xy程是 - -4a2b2=2；（2）雙曲線2.2' =1（a >0,b>0）的兩條斜率之積是馬的切線交點(diǎn)的軌跡方程是ba22土.匕 -2a2b2定理4過(guò)橢圓2222、+自=2依*>0）上任一點(diǎn)Mx。，yo）作橢圓與+4=1的兩條a2b2a2b2切線，則(1)當(dāng) x0=±a時(shí)，所作的兩條切線互相垂直;(2)當(dāng) Xo#±a時(shí)，所作的兩條

15、切線斜率之積是b22，a22定理5 （1）橢圓x2+與=1（a >b >0）的兩條斜率之積是 入（入#0）的切線交點(diǎn)的軌跡 a br是：當(dāng)九=一1時(shí)，即圓x2+y2 =a2+b2（但要去掉四個(gè)點(diǎn)（土a,b）,（土a,b）；當(dāng)九<0且九# 一1時(shí)，b2+b2=1（但要去掉四個(gè)點(diǎn)(土a,b),(±a,4)；當(dāng)r即兩條直線b .一y = ± x在橢圓a2二2a232 =1(a >b >0)外的部分(但 b2要去掉四個(gè)點(diǎn)（土a,b）, （土a,北）；b2當(dāng)0 <九c彳時(shí)，r即雙曲線aJ,=1在橢圓b2=1(a b 0)2222y2=1 在橢圓 *

16、2+ £ = 1(a a b > 0)外 a -ba b外的部分（但要去掉四個(gè)點(diǎn)（土a, b）, （土a, -b）；一b2.x2當(dāng)九a 一時(shí)，r即雙曲線2a2 ba - -的部分（但要去掉四個(gè)點(diǎn)（土a, b）, （士a, -Jb）.22（2）雙曲線 與%=19 b 0）的兩條斜率之積是 M九#0）的切線交點(diǎn)的軌跡 r是: a b當(dāng)九二1時(shí)，即圓x2+y2 =a2 b2；22當(dāng)A0時(shí)，即雙曲線x 2 y一- =1 ；2 b-a2 b2a222當(dāng)九1或1九父學(xué)時(shí)，即橢圓 x 2 +y一2=1 ； a2b - a -ba當(dāng)b2一 F 九C 0時(shí)，不存在. a2（3）拋物線y =2px的兩條斜率之積是k（九。0）的切線交點(diǎn)的軌跡r是:當(dāng)九0時(shí)，即直線x = -p當(dāng)九：0時(shí)，的方程為x P、 y1>Aj.（北京市海淀區(qū)2015屆高三第一學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)練習(xí)第14題）已知l_ O :x2+y2