排列組合例題與解析

1、排列組合例題與解析【公式】r n!P n= (n-r)!rr n!P n n-rC n= r!(n-r)!= r! =C n例題分析:1.首先明確任務(wù)的意義例1.從1、2、3、20這二十個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有 個(gè)。分析：首先要把復(fù)雜的生活背景或其它數(shù)學(xué)背景轉(zhuǎn)化為一個(gè)明確的排列 組合問題。設(shè)a,b,c成等差，：2b=a+c,可知 b由a,c決定，又; 2b是偶數(shù)，一. a,c同奇或同偶，即：分別從 1,3, 5,19 或2, 4, 6, 8,，20這十個(gè)數(shù)中選出兩個(gè)數(shù)進(jìn)行排列，由此就可確定等 差數(shù)列，C （2,10） *2*P （2,2） =90*2*2,因而本

2、題為 360。例2.某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相同， 如圖。若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿圖中路線前進(jìn)，則從M到N有多少種不同的走法？分析：對(duì)實(shí)際背景的分析可以逐層深入（一）從 M到N必須向上走三步，向右走五步，共走八步。（二）每一步是向上還是向右，決定了不同的走法。（三）事實(shí)上，當(dāng)把向上的步驟決定后，剩下的步驟只能向右。從而，任務(wù)可敘述為：從八個(gè)步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定 走法數(shù)，本題答案為：二56。2.分析是分類還是分步，是排列還是組合注意加法原理與乘法原理的特點(diǎn)，分析是分類還是分步，是排列還是組合例3.在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植 A,

3、B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長，要求 A, B兩種作物的間隔不少于 6壟, 不同的選法共有 種。分析：條件中“要求 A、B兩種作物的間隔不少于 6壟”這個(gè)條件不容易用一個(gè)包含排列數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類的方法。第一類：A在第一壟，B有3種選擇；第二類：A在第二壟，B有2種選擇； 第三類：A在第三壟，B有一種選擇，同理A、B位置互換，共12種。例4.從6雙不同顏色的手套中任取 4只，其中恰好有一雙同色的取法 有。(A)240 (B)180 (C)120 (D)60分析：顯然本題應(yīng)分步解決。(一)從6雙中選出一雙同色的手套，有 6種方法；(二)從剩下的十只手套中任選一只，有

4、10種方法。(三)從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有 8種方 法；(四)由于選取與順序無關(guān)，因(二)(三)中的選法重復(fù)一次，因而 共240種。或分步(1)從6雙中選出一雙同色的手套，有 C(1,6)=6種方法；(2)從剩下的5雙手套中任選兩雙，有 C(2,5)=10種方法；(3)從兩雙中手套中分別拿兩只手套，有 C (1,2) *C (1,2) =4種方法；同樣得出共(1) * (2) * (3) =240種。例5.身高互不相同的6個(gè)人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個(gè)人 都比他同列的身后的人個(gè)子矮，則所有不同的排法種數(shù)為 。分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方

5、法，因而每 一縱列的排隊(duì)方法只與人的選法有關(guān)系，共有三縱列，從而有 =90種。例6.在11名工人中，有5人只能當(dāng)鉗工，4人只能當(dāng)車工，另外 2人 能當(dāng)鉗工也能當(dāng)車工?，F(xiàn)從11人中選出4人當(dāng)鉗工，4人當(dāng)車工，問共有多少種不同的選法？分析：采用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點(diǎn)？分類 的標(biāo)準(zhǔn)必須前后統(tǒng)一。以兩個(gè)全能的工人為分類的對(duì)象，考慮以他們當(dāng)中有幾個(gè)去當(dāng)鉗工為分 類標(biāo)準(zhǔn)。第一類：這兩個(gè)人都去當(dāng)鉗工，有 10種；第二類：這兩人有一個(gè)去當(dāng)鉗工，有 100種；第三類：這兩人都不去當(dāng)鉗工，有 75種。因而共有185種。例7.現(xiàn)有印著0, l , 3, 5, 7, 9的六張卡片，如果允許 9

6、可以作6用, 那么從中任意抽出三張可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？分析：有同學(xué)認(rèn)為只要把 0, 1, 3, 5, 7, 9的排法數(shù)乘以2即為所求， 但實(shí)際上抽出的三個(gè)數(shù)中有 9的話才可能用6替換，因而必須分類。抽出的三數(shù)含0,含9,有32種方法；抽出的三數(shù)含0不含9,有24種方法；抽出的三數(shù)含9不含0,有72種方法；抽出的三數(shù)不含9也不含0,有24種方法。因此共有 32+24+72+24=152種方法。例8 .停車場(chǎng)劃一排12個(gè)停車位置，今有8輛車需要停放，要求空車位 連在一起，不同的停車方法是 種。分析：把空車位看成一個(gè)元素，和8輛車共九個(gè)元素排列，因而共有362880種停車方法。3.特殊優(yōu)先特

7、殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮例9.六人站成一排，求(1)甲、乙即不再排頭也不在排尾數(shù)(2)甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù)分析：(1)按照先排出首位和末尾在排中間四位分步計(jì)數(shù)第一類：排出首尾和末尾、因?yàn)榧滓也辉偈孜埠湍┪病⒛敲词孜埠湍┪矊?shí)在其它四位數(shù)選出兩位進(jìn)行排列、一共有 p(4,2)=12種、第二類：由于六個(gè)元素中已經(jīng)有兩位排在首尾和末尾、因此中間四位是吧剩下的四位元素進(jìn)行排列，共 p(4,4 ) =24 種根據(jù)乘法原理得即不再排頭也不在排尾數(shù)共12*24=288種(2)第一類：甲在排尾，乙在排頭，有 P(4,4)種方法。第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有 3XP(4,4

8、)種方法。第三類：乙在排頭，甲不在排尾，有 3XP(4,4)種方法。第四類：甲不在排尾，乙不在排頭，有 P(4,2)XP(4,4)種方法。共 P(4,4)+3XP(4,4)+3XP(4,4)+P(4,2)XP(4,4)=456 種。例10.對(duì)某件產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品進(jìn)行一一測(cè)試，至區(qū) 分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的 測(cè)試方法有多少種可能？分析：本題意指第五次測(cè)試的產(chǎn)品一定是次品，并且是最后一個(gè)次品， 因而第五次測(cè)試應(yīng)算是特殊位置了，分步完成。第一步：第五次測(cè)試的有C(4.1)種可能；第二步：前四次有一件正品有C(6.1)中可能。第三步：前四次有

9、P(4.4)種可能。共有576種可能。4.捆綁與插空例11. 8人排成一隊(duì)(1)甲乙必須相鄰(2)甲乙不相鄰(3)甲乙必須相鄰且與丙不相鄰(4)甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰(5)甲乙不相鄰，丙丁不相鄰分析：(1)甲乙必須相鄰，就是把甲乙捆綁(甲乙可交換)和7人排列P(7.7)*2(2)甲乙不相鄰，P(8.8)-P(7.7)*2。(3)甲乙必須相鄰且與丙不相鄰，先求甲乙必須相鄰且與內(nèi)相鄰P(6.6)*2*2甲乙必須相鄰且與丙不相鄰P(7.7)*2-P(6.6)*2*2(4)甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰 P(6.6)*2*2(5)甲乙不相鄰，丙丁不相鄰，P(8.8)-P(7.7)*2*2+P(6.6)

10、*2*2例12.某人射擊8槍，命中4槍，心好有三槍連續(xù)命中，有多少種不同 的情況？分析：:連續(xù)命中的三槍與單獨(dú)命中的一槍不能相鄰，因而這是一個(gè)插 空問題。另外沒有命中的之間沒有區(qū)別，不必計(jì)數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成 的5個(gè)空中選出2個(gè)的排列，即P(5.2)。例13.馬路上有編號(hào)為1,2,3,，10十個(gè)路燈，為節(jié)約用電又看 清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在 兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種？分析：即關(guān)掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因?yàn)闊襞c燈之間沒有區(qū) 別，因而問題為在 7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個(gè)空中選出3個(gè)空放置熄滅的燈。1 共

11、 C(6.3)=20 種方法。5 .間接計(jì)數(shù)法.(1)排除法例14.三行三列共九個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成多少個(gè)三角形？分析：有些問題正面求解有一定困難，可以采用間接法。所求問題白方法數(shù)二任意三個(gè)點(diǎn)的組合數(shù)-共線三點(diǎn)的方法數(shù)， 共76種。例15.正方體8個(gè)頂點(diǎn)中取出4個(gè)，可組成多少個(gè)四面體 ？分析：所求問題的方法數(shù) 二任意選四點(diǎn)的組合數(shù)-共面四點(diǎn)的方法數(shù)，共 C(8.4)-12=70-12=58 個(gè)。例16. 1 , 2, 3,，9中取出兩個(gè)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可組 成多少個(gè)不同數(shù)值的對(duì)數(shù) ？分析：由于底數(shù)不能為 1。(1)當(dāng)1選上時(shí)，1必為真數(shù)，有一種情況。(2)當(dāng)不選1時(shí)，從2-9中

12、任取兩個(gè)分別作為底數(shù)，真數(shù)，共，其中1og2為底4=1og3為底9, 1og4為底2=1og9為底3, 1og2 為底3=1og4為底 9, 1og3 為底 2=1og9 為底 4.因而一共有53個(gè)。(3)補(bǔ)上一個(gè)階段，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題例17.六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相鄰)，共有多少種不同的方法？如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢？分析：(一)實(shí)際上，甲在乙的前面和甲在乙的后面兩種情況對(duì)稱，具 有相同的排法數(shù)。因而有 =360種。(二)先考慮六人全排列；其次甲乙丙三人實(shí)際上只能按照一種順序站位，因而前面的排法數(shù)重復(fù)了種，共=120種。例18. 5男4女排成一排，要求男生必須按從

13、高到矮的順序，共有多少 種不同的方法？分析：首先不考慮男生的站位要求，共 P(9.9)種；男生從左至右按從高 到矮的順序，只有一種站法，因而上述站法重復(fù)了次。因而有=9X 8X7X6=3024 種。若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法，同理也有3024種,綜上，有6048種。例19.三個(gè)相同的紅球和兩個(gè)不同的 白球排成一行，共有多少種不同的 方法？分析：先認(rèn)為三個(gè)紅球互不相同，共種方法。而由于三個(gè)紅球所占位置相同的情況下，共有變化，因而共 =20種。6 .擋板的使用例20. 10個(gè)名額分配到八個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，問有多少種不同的分配方法？分析：把10個(gè)名額看成十個(gè)元素，在這十個(gè)元素

14、之間形成的九個(gè)空中， 選出七個(gè)位置放置檔板，則每一種放置方式就相當(dāng)于一種分配方式。因而共 36種。7 .注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系：所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補(bǔ)充一 個(gè)階段(排序)可轉(zhuǎn)化為排列問題。例21.從0, 1, 2,，9中取出2個(gè)偶數(shù)數(shù)字，3個(gè)奇數(shù)數(shù)字，可組 成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？分析：先選后排。另外還要考慮特殊元素0的選取。(一)兩個(gè)選出的偶數(shù)含 0,則有種。(二)兩個(gè)選出的偶數(shù)字不含0,則有種。例22.電梯有7位乘客，在10層樓房的每一層停留，如果三位乘客從 同一層出去，另外兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，有多 少種不同的下樓方法？分

15、析：(一)先把 7位乘客分成3人，2人，一人，一人四組，有種。(二)選擇10層中的四層下樓有種。共有種。例23.用數(shù)字0, 1, 2, 3, 4, 5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，(1)可組成多少個(gè)不同的四位數(shù) ？(2)可組成多少個(gè)不同的四位偶數(shù) ？(3)可組成多少個(gè)能被 3整除的四位數(shù)？(4)將(1)中的四位數(shù)按從小到大的順序排成一數(shù)列，問第 85項(xiàng)是什么？分析：(1)有個(gè)。(2)分為兩類：0在末位，則有種：0不在末位，則有種。共+種。(3)先把四個(gè)相加能被 3整除的四個(gè)數(shù)從小到大列舉出來，即先選0, 1, 2, 30, 1, 3, 50, 2, 3, 40, 3, 4, 51, 2, 4, 5

16、它們排列出來的數(shù)一定可以被3整除，再排列，有：4X()+=96 種。(4)首位為1的有=60個(gè)。前兩位為20的有=12個(gè)。前兩位為21的有=12個(gè)。因而第85項(xiàng)是前兩位為23的最小數(shù)，即為2301。8.分組問題例24. 6本不同的書(1)分給甲乙丙三人，每人兩本，有多少種不同的分法？(2)分成三堆，每堆兩本，有多少種不同的分法？(3)分成三堆，一堆一本，一堆兩本，一堆三本，有多少種不同的分法？(4)甲一本，乙兩本，丙三本，有多少種不同的分法？(5)分給甲乙丙三人，其中一人一本，一人兩本，第三人三本，有多少 種不同的分法？分析：(1)有中。(2)即在(1)的基礎(chǔ)上除去順序，有種。(3)有種。由于

17、這是不平均分組，因而不包含順序。(4)有種。同(3),原因是甲，乙，丙持有量確定。(5)有種。例25. 6人分乘兩輛不同的車，每車最多乘4人，則不同的乘車方法為分析：(一)考慮先把 6人分成2人和4人，3人和3人各兩組。第一類：平均分成 3人一組，有種方法。第二類：分成2人，4人各一組，有種方法。(二)再考慮分別上兩輛不同的車。綜合(一)(二)，有種。例26. 5名學(xué)生分配到4個(gè)不同的科技小組參加活動(dòng)，每個(gè)科技小組至少有一名學(xué)生參加，則分配方法共有 種.分析：(一)先把 5個(gè)學(xué)生分成二人，一人，一人，一人各一組。其中涉及到平均分成四組，有 C (4, 3) =4種分組方法。 可以看成4個(gè) 板三

18、個(gè)板不空的隔板法(二)再考慮分配到四個(gè)不同的科技小組，有 A(4,4)=24種，由(一)(二)可知，共 =96種。【練習(xí)】：例1.書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語文書，6本不同的英語書。(1)若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？(2)若從這些書中取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法?(3)若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法。解：(1)由于從書架上任取一本書，就可以完成這件事，故應(yīng)分類，由于有 3種書，則分為3類然后依據(jù)加法原理，得到的取法種數(shù)是：3+5+6=14種（ 2 ）由于從書架上任取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各1 本，需要分成3 個(gè)步驟完成，據(jù)乘

19、法原理，得到不同的取法種數(shù)是：3X5X6=90 （種）0（ 3 ）由于從書架上任取不同科目的書兩本，可以有3 類情況（數(shù)語各1 本，數(shù)英各 1 本，語英各1 本）而在每一類情況中又需分2 個(gè)步驟才能完成。故應(yīng)依據(jù)加法與乘法兩個(gè)原理計(jì)算出共得到的不同的取法種數(shù)是：3X5+3X6+5X6=63 （種）。例2.已知兩個(gè)集合 A=1, 2, 3, B=a,b,c,d , e,從A到B建立映射，問 可建立多少個(gè)不同的映射？分析：首先應(yīng)明確本題中的 “這件事是指映射，何謂映射？即對(duì)A 中的每一個(gè)元素，在 B 中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)。 ”因 A 中有 3 個(gè)元素，則必須將這3 個(gè)元素都在 B 中找到家，這

20、件事才完成。因此，應(yīng)分3 個(gè)步驟，當(dāng)這三個(gè)步驟全進(jìn)行完，一個(gè)映射就被建立了，據(jù)乘法原理，共可建立不同的映射數(shù)目為：5X5X5=53 （種）。2排列數(shù)與組合數(shù)的兩個(gè)公式排列數(shù)與組合數(shù)公式各有兩種形式， 一是連乘積的形式， 這種形式主要用于計(jì)算；二是階乘的形式，這種形式主要用于化簡與證明。連乘積的形式 階乘形式等式成立。評(píng)述： 這是一個(gè)排列數(shù)等式的證明問題， 選用階乘之商的形式， 并利用階乘的性質(zhì)： n!（n+1）=（n+1）! 可使變形過程得以簡化。例 4 解方程解：原方程可化為：解得 x=3 。評(píng)述： 解由排列數(shù)與組合數(shù)形式給出的方程時(shí)， 在脫掉排列數(shù)與組合數(shù)的符號(hào)時(shí)， 要注意把排列數(shù)與組合數(shù)

21、定義中的取出元素與被取元素之間的關(guān)系以及它們都屬自然數(shù)的這重要限定寫在脫掉符號(hào)之前。3排列與組合的應(yīng)用題歷屆高考數(shù)學(xué)試題中， 排列與組合部分的試題主要是應(yīng)用問題。 一般都附有某些限制條件； 或是限定元素的選擇， 或是限定元素的位置， 這些應(yīng)用問題的內(nèi)容和情景是多種多樣的， 而解決它們的方法還是有規(guī)律可循的。 常用的方法有： 一般方法和特殊方法兩種。一般方法有：直接法和間接法。（ 1 ）在直接法中又分為兩類，若問題可分為互斥各類，據(jù)加法原理，可用分類法；若問題考慮先后次序，據(jù)乘法原理，可用占位法。（ 2 ）間接法一般用于當(dāng)問題的反面簡單明了，據(jù)的原理，采用排除的方法來獲得問題的解決。特殊方法：（

22、 1 ）特元特位：優(yōu)先考慮有特殊要求的元素或位置后，再去考慮其它元素或位置。（ 2 ）捆綁法：某些元素必須在一起的排列，用“捆綁法 ”，緊密結(jié)合粘成小組，組內(nèi)外分別排列。（ 3 ）插空法：某些元素必須不在一起的分離排列用“插空法 ”，不需分離的站好實(shí)位，在空位上進(jìn)行排列。（ 4 ）其它方法。例 5 7 人排成一行，分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)。（ 1 ）甲排中間；（ 2）甲不排兩端；（3）甲，乙相鄰；（ 4 ）甲在乙的左邊（不要求相鄰）；（ 5 ）甲，乙，丙連排；（ 6 ）甲，乙，丙兩兩不相鄰。解：（ 1）甲排中間屬 “特元特位 ”，優(yōu)先安置，只有一種站法，其余6 人任意排列，故共有：

23、1X=720種不同排法。（ 2 ）甲不排兩端，亦屬于“特元特位 ”問題，優(yōu)先安置甲在中間五個(gè)位置上任何一個(gè)位置則有種，其余6人可任意排列有種，故共有=3600種不同排法。（ 3 ）甲、乙相鄰，屬于 “捆綁法 ”，將甲、乙合為一個(gè) “元素 ”，連同其余5 人共6個(gè)元素任意排列，再由甲、乙組內(nèi)排列，故共有 =1400種不同的排法。（ 4 ）甲在乙的左邊?？紤]在7 人排成一行形成的所有排列中： “甲在乙左邊”與 “甲在乙右邊”的排法是一一對(duì)應(yīng)的，在不要求相鄰時(shí)，各占所有排列的一半，故甲在乙的左邊的不同排法共有=2520 種。（ 5 ）甲、乙、丙連排，亦屬于某些元素必須在一起的排列，利用“捆綁法 ”，

24、先將甲、乙、丙合為一個(gè) “元素 ”，連同其余4 人共 5 個(gè) “元素 ”任意排列，現(xiàn)由甲、乙、丙交換位置，故共有=720 種不同排法。（ 6 ）甲、乙、丙兩兩不相鄰，屬于某些元素必須不在一起的分離排列，用“插空法 ”， 先將甲、 乙、 丙外的 4 人排成一行， 形成左、 右及每兩人之間的五個(gè) “空 ”。再將甲、乙、丙插入其中的三個(gè) “空 ”，故共有=1440 種不同的排法。例 6用 0， 1， 2， 3， 4， 5 這六個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，分別求出下列各類數(shù)的個(gè)數(shù)：（ 1 ）奇數(shù)； （ 2 ） 5 的倍數(shù)； （ 3 ）比 20300 大的數(shù)；（ 4 ）不含數(shù)字0，且1 ，2 不相鄰的數(shù)。解：（ 1 ）奇數(shù)：