浙江師范大學(xué)微分幾何考試卷

1、浙江師范大學(xué)微分幾何考試卷（2005-2006 學(xué)年第 一 學(xué)期）考試形式閉卷 使用學(xué)生數(shù)學(xué)031-034考試時(shí)間150分鐘出卷時(shí)間2005年12月20日說明：考生應(yīng)將全部答案都寫在答題紙上，否則作無效處理。一、 填空題（每空2分，共16分 ）1、向量函數(shù)是定長的充要條件是 .2、柱面的第一基本形式為 。3、若曲面和曲面等距，則的高斯曲率K= 。4、坐標(biāo)網(wǎng)是漸近線網(wǎng)的充要條件是 。5、若曲面上的曲線既是漸近線又是曲率線，則是 。6、曲面的切平面方程為 曲線；法線方程為 。7、曲面上沿著一條非直線的曲線，它的從切面與曲面的切平面重合，則曲線是曲面上 曲線。二、是非題（每小題2分共10分）1、存在

2、第一類基本量E=1，F(xiàn)=3，G=3的曲面。 （ ）2、球面上每一條曲線都是曲率線。 （ ）3、曲面上一定存在著曲率線網(wǎng)和漸近線網(wǎng)。 （ ）4、高斯曲率不是內(nèi)蘊(yùn)量。 （ ）5、曲率和撓率分別等于不為零常數(shù)的曲線是圓柱螺線。 （ ）三、綜合題（1-8每小題8分，第9小題10分，共74分）1、問是否存在曲面使得。為什么？2、求曲線的曲率k和撓率。3、求曲線的切線曲面的主曲率，平均曲率，曲率線方程。4、求曲面的高斯曲率K。5、求正螺面上測地線的方程。6、證明：若曲面是（非平面）極小曲面，則該曲面有二族互相正交的漸近曲線。7、設(shè)非直線曲線和另一條曲線之間建立的一一對應(yīng)，使得在對應(yīng)點(diǎn)，曲線的切線是的主法線

3、，證明是平面曲線。8、若兩曲面，相交于定角，且交線是的曲率線，則也是的曲率線。9、證明：對曲面上的曲線有（1）若漸近曲線同時(shí)為測地曲線，則它必是直線；（2）若曲率線同時(shí)為測地線，則它必是平面曲線。浙江師范大學(xué)微分幾何考試卷參考答案（2005-2006 學(xué)年第 一 學(xué)期）考試形式閉卷 使用學(xué)生數(shù)學(xué)031-034考試時(shí)間150分鐘出卷時(shí)間2005年12月20日說明：考生應(yīng)將全部答案都寫在答題紙上，否則作無效處理。一、 填空題（每格2分共16分） 1、2、3、K=04、L=N=05、平面曲線6、，7、測地二、是非題（每小題2分共10分）1-5：錯(cuò)，對，錯(cuò)，錯(cuò)，對。三、綜合題（1-8每小題8分，第9小

4、題10分，共74分） 1、答：不存在 （3分） 因?yàn)?不滿足科達(dá)齊方程 =0 左邊= （5分）2、解：因?yàn)?， （4分） = （2分） （2分）3、解：設(shè)曲線（s為弧長參數(shù)）的切線曲面為 ，則有， （2分）E=1+，F(xiàn)=1，G=1L=M=0，N=0 （2分） （1分）H= （1分）曲率線方程為=0，即s=常數(shù)，或v=-s+c （2分）4、解：因?yàn)闉檎痪W(wǎng)，所以 （3分）=- （2分）= （3分）5、解：因?yàn)?E= （2分）由測地線方程為 （2分），則測地線方程為 （4分）6、證：因?yàn)槭菢O小曲面，所以，為非平面，即有（2分） 則K<0,所以極小曲面上的點(diǎn)是雙曲點(diǎn)。必有兩族漸近曲線。 （2分

5、）設(shè)兩族漸近曲線主方向的交角為，則由歐拉公式有= （3分）兩族漸近曲線正交 （1分）7、設(shè)曲線：（s為弧長參數(shù)）則為 （1分）兩邊對s求導(dǎo)有 （1） （1分）因?yàn)?，上式兩邊點(diǎn)積有 代入（1） （2分）即有 （2）再求導(dǎo)有 （3） （1分） （4） （1分）（4）再兩邊點(diǎn)積有 由題意有，即證。 （2分）8、證：設(shè)，的單位法向量為，則由題意有 （1分） 兩邊微分得 （1分）由交線是的曲率線，則有 （1分）因?yàn)?，所以又因?yàn)闉閱挝环ㄏ蛄?，即有所以?（2分），所以有| （2分）即，所以也是的曲率線。 （1分）9、（1）由題意沿有 （2分） 又因?yàn)?，即k=0 （2分） 所以為直線。 （1分）（2）：由題

6、意為測地線，則沿有 （1分） 又為曲率線，則沿的法線曲面是可展曲面，即有 ， （1分） 即有，因 （1分） 代入有即證明了是平面曲線 （2分）浙江師范大學(xué)微分幾何考試卷考試類別 使用學(xué)生數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)專業(yè)本科 考試時(shí)間120分鐘表 出卷時(shí)間2002年10月7日說明：考生應(yīng)有將全部答案寫在答題紙上，否則作無效處理二、 填空題（30分 ）1、向量函數(shù)是定長的充要條件是 .2、光滑曲線：，tR，若對任何的t有 ，則稱為正則曲線。3、空間曲線中，弧長、 和 是參數(shù)變換下的不變量。4、曲線論的基本定理是 。5、若曲線為貝特朗曲線，則曲率k和撓率滿足的條件為 。6、若在P點(diǎn)有，則稱P點(diǎn)為 。7、若二個(gè)曲面之

7、間存在既是等積又是共形的一個(gè)映射，則這個(gè)映射一定是 。8、曲面為可展曲面的充要條件是曲面為 、 和 。9、坐標(biāo)網(wǎng)是漸近線網(wǎng)的充要條件是 。10、若曲面上的曲線既是漸近線又是測地線，則是 。11、曲面的切平面方程為 ，法線方程為 。二、解答題1、，這樣的曲面是否存在？（5分）2、求正螺面上的測地曲線的方程。（10分）3、若固定向量與曲線的所有法面平行，證明是平面曲線。（7分）4、證明漸近曲線上的點(diǎn)的測地曲率的絕對值等于它的曲率。（8分）5、求曲線的曲率k和撓率。（10分）6、求曲面的高斯曲率K。（10分）7、求撓曲線的切線曲面的曲率線。（10分）8、若曲面上有兩族測地線交角為定角，則曲面為可展曲

8、面。（10分）浙江師范大學(xué)微分幾何考試卷（20012002學(xué)年第二學(xué)期）考試類別 使用學(xué)生數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)專業(yè)2000本科 考試時(shí)間120分鐘表 出卷時(shí)間2002年6月18日說明：考生應(yīng)有將全部答案寫在答題紙上，否則作無效處理三、 填空題（24分 ）1、向量函數(shù)是定向的充要條件是 .2、光滑曲線：，tR，若對任何的t有 ，則稱為正則曲線。3、在下表中填上相應(yīng)的曲線或曲率k和撓率滿足的條件特殊曲線曲率k和撓率滿足的條件一般螺線貝特朗曲線4、若在P點(diǎn)有，則稱P點(diǎn)為 。5、若二個(gè)曲面之間存在既是等積又是共形的一個(gè)映射，則這個(gè)映射一定是 。6、若曲面為可展曲面的充要條件是曲面的高斯曲率K= 。7、坐標(biāo)網(wǎng)是

9、漸近線網(wǎng)的充要條件是 。8、若曲面上的曲線既是漸近線又是測地線，則是 。9、曲面的切平面方程為 ，法線方程為 。10、歐拉公式為 。二、1、試述曲面論的基本定理2、問是否存在曲面使得。（10分）三、求正螺面上測地線的方程。（10分）四、設(shè)曲線，的點(diǎn)之間建立了一一對應(yīng)，使得在對應(yīng)點(diǎn)，曲線的切線是的主法線，證明是平面曲線。（8分）五、證明曲面是極小曲面（非平面）的充要條件是率有二族互相正交的漸近曲線。（8分）六、計(jì)算題（24分）1、 求曲線的曲率k和撓率。2、 求曲面的高斯曲率K。3、 求曲線的切線曲面主曲率，平均曲率，曲率線。七、若兩曲面，相交于定角，且交線是的曲率線，則也是的曲率線。（10分）

10、八、設(shè)曲線為曲面上一條曲率線，P為上一點(diǎn)，但不是拋物點(diǎn)。證明：在P點(diǎn)的測地曲率的絕對值等于的高斯映射象在對應(yīng)點(diǎn)測地曲率和在P點(diǎn)的法曲率之積的絕對值，即。（6分）浙江師范大學(xué)微分幾何考試卷（20012002學(xué)年第二學(xué)期）考試類別 使用學(xué)生數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)專業(yè)2000本科 考試時(shí)間120分鐘表 出卷時(shí)間2002年6月18日說明：考生應(yīng)有將全部答案寫在答題紙上，否則作無效處理四、 填空題（20分 ）1、向量函數(shù)是定向的充要條件是 .2、光滑曲線：，tR，若對任何的t有 ，則稱為正則曲線。3、空間曲線中，弧長、 和 是參數(shù)變換下的不變量。4、曲線論的基本定理是 。5、在下表中填上相應(yīng)的曲線或曲率k和撓率滿

11、足的條件特殊曲線曲率k和撓率滿足的條件一般螺線貝特朗曲線k=06、若在P點(diǎn)有，則稱P點(diǎn)為 。7、若二個(gè)曲面之間存在既是等積又是共形的一個(gè)映射，則這個(gè)映射一定是 。8、曲面為可展曲面的充要條件是曲面為 、 和 。其高斯曲率K= 。9、坐標(biāo)網(wǎng)是漸近線網(wǎng)的充要條件是 。10、若曲面上的曲線既是漸近線又是測地線，則是 。11、曲面的切平面方程為 ，法線方程為 。12、若曲面上的曲線在P點(diǎn)的測地曲率為1，在P點(diǎn)的法曲率為2，則在P點(diǎn)的曲率為 。13、歐拉公式是 。二、1、試述曲面論的基本定理2、問是否存在曲面使得。（10分）三、1、曲面上沿著一條非直線的曲線，它的從切面與曲面的切平面重合，試問曲線是曲面

12、上的什么曲線。2、求正螺面上這類曲線的方程。（12分）四、設(shè)曲線，的點(diǎn)之間建立了一一對應(yīng)，使得在對應(yīng)點(diǎn)，曲線的切線是的主法線，證明是平面曲線。（8分）五、證明曲面是極小曲面（非平面）的充要條件是率有二族互相正交的漸近曲線。（8分）六、計(jì)算題（25分）4、 求曲線的曲率k和撓率。5、 求曲面的高斯曲率K。6、 求曲線的切線曲面主曲率，平均曲率，曲率線。七、若曲面上有兩族測地線交角為定角，則曲面為可展曲面。（10分）八、設(shè)曲線為曲面上一條曲率線，P為上一點(diǎn)，但不是拋物點(diǎn)。證明：在P點(diǎn)的測地曲率的絕對值等于的高斯映射象在對應(yīng)點(diǎn)測地曲率和在P點(diǎn)的法曲率之積的絕對值，即。（7分）浙江師范大學(xué)微分幾何考試

13、卷（20012002學(xué)年第二學(xué)期）考試類別 使用學(xué)生數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)專業(yè)2000本科 考試時(shí)間150分鐘表 出卷時(shí)間2002年6月18日說明：考生應(yīng)有將全部答案寫在答題紙上，否則作無效處理五、 填空題（24分 ）1、向量函數(shù)為定向的充要條件是 .2、光滑曲線：，tR，若對任何的t有 ，則稱為正則曲線。3、在下表中填上相應(yīng)的曲線或曲率k和撓率滿足的條件特殊曲線曲率k和撓率滿足的條件一般螺線貝特朗曲線4、若在P點(diǎn)有，則稱P點(diǎn)為 。5、若二個(gè)曲面之間存在既是等積又是共形的一個(gè)映射，則這個(gè)映射一定是 。6、若曲面為可展曲面的充要條件是曲面的高斯曲率K= 。7、坐標(biāo)網(wǎng)是漸近線網(wǎng)的充要條件是 。8、若曲面上的曲線既是漸近線又是測地線，則是 。9、曲面的切平面方程為 ，法線方程為 。10、歐拉公式為 。二、計(jì)算題（36分）7、 求曲線的曲率k和撓率。（8分）8、 求曲面的高斯曲率K。（6分）9、 求曲線的切線曲面：（s0，t0）的主曲率，平均曲率，第一，二基本形式，曲率線。（12分）10、 求正螺面上測地線的方程。（10分）三、綜合題（10分）a) 敘述曲面論的基本定理b) 問是否存在