利用“不動點”法巧解高考題

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上利用“不動點”法巧解高考題由遞推公式求其數(shù)列通項歷來是高考的重點和熱點題型，對那些已知遞推關系但又難求通項的數(shù)列綜合問題，充分運用函數(shù)的相關性質是解決這類問題的著手點和關鍵與遞推關系對應的函數(shù)的“不動點”決定著遞推數(shù)列的增減情況，因此我們可以利用對函數(shù)“不動點”問題的研究結果，來簡化對數(shù)列通項問題的探究。筆者在長期的教學實踐中，不斷總結探究反思，對那些難求通項的數(shù)列綜合問題，形成利用函數(shù)不動點知識探究的規(guī)律性總結，以期對同學們解題有所幫助1 不動點的定義一般的，設的定義域為,若存在，使成立，則稱為的不動點，或稱為圖像的不動點。2 求線性遞推數(shù)列的通項定理1 設，且為的

2、不動點，滿足遞推關系，證明是公比為a的等比數(shù)列。證：是的不動點，所以，所以，所以，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列。例1 （2010上海文數(shù)21題）已知數(shù)列的前項和為，且，(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式，并求出使得成立的最小正整數(shù).證：(1) 當n=1時，a1=-14；當時，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，即即，記，令，求出不動點，由定理1知：，又a1-1= -15 0，所以數(shù)列an-1是等比數(shù)列。(2)解略。3 求非線性遞推數(shù)列的通項定理2 設，且是的不動點，數(shù)列滿足遞推關系，（）若，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（），則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。證：（）由題設知； 同理，

3、所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列。 （）由題設知的解為，且。所以 ，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。例2 （2006年全國卷22題）設數(shù)列的前項和為，且方程有一根為。求數(shù)列的通項公式。解：依題，且，將代入上式，得，記，令，求出不動點，由定理2（）知：，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，所以，因此數(shù)列的通項公式為。例3 （2010年全國卷22題）已知數(shù)列中，（）設，求數(shù)列的通項公式. （）求使不等式成立的的取值范圍 .解：（）依題，記，令，求出不動點；由定理2（）知：， ； 兩式相除得到，所以是以為公比，為首項的等比數(shù)列，所以，從而（）解略。定理3 設，且是的不動點，數(shù)列滿足遞推關系，則有；若，則是公比為的等比數(shù)列。證：是的不動點，。，又，則，故是公比為的等比數(shù)列。例4 （2010東城區(qū)二模試題）已知數(shù)列滿足，求證：；求證：；求數(shù)列的通項公式證：、證略；依題，記，令，求出不動點；由定理3知：，所以，又，所以又，令，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列所以由，得所以利用函數(shù)“不動點”法求解較復雜的遞推數(shù)列的通項問題，并不局限于以上三種類型，基于高考數(shù)列試題的難度，本文不再對更為復雜的遞推數(shù)列進行論述，以下兩個定理供有興趣的同學探究證