浙教版八年級上冊三角形的初步知識全章復(fù)習(xí)與鞏固提高知識講解

1、三角形的初步知識全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解三角形有關(guān)的概念,掌握三角形內(nèi)角和定理的證明，能應(yīng)用內(nèi)角和定理進行相關(guān)的計算及證明問題.2. 理解并會應(yīng)用三角形三邊關(guān)系定理解答問題.3.了解三角形中三條重要的線段及其性質(zhì)，并能正確的用尺規(guī)作出三角形三條重要線段.4.理解命題與定理的意義，并能判斷命題的真假；掌握幾何證明的正確表述格式.5.了解全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對應(yīng)元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進行證明，掌握綜合法證明的格式，而且要用利用圖形全等的解決實際生活中存在的問題.6. 掌握常見的尺規(guī)作圖方法，并根據(jù)三角形全等判定定理利用尺

2、規(guī)作一個三角形與已知三角形全等. 【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一、三角形的內(nèi)角和三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°三角形外角性質(zhì)：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和要點詮釋：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問題：在三角形中已知任意兩個角的度數(shù)可以求出第三個角的度數(shù)；已知三角形三個內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；求一個三角形中各角之間的關(guān)系要點二、三角形的分類1.按角分類：要點詮釋：銳角三角形：三個內(nèi)角都是銳角的三角形;鈍角三角形：有一個內(nèi)角為鈍角的三角形.要點三、三角形的三邊關(guān)系1.定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.要點詮釋：（1）理論依據(jù)：兩點之間線段最短

3、.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形當(dāng)已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍（3）證明線段之間的不等關(guān)系2.三角形的重要線段：一個三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點，這點稱為三角形的重心一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點三角形的三條高所在的直線相交于一點的位置情況有三種：銳角三角形交點在三角形內(nèi)；直角三角形交點在直角頂點；鈍角三角形交點在三角形外.要點四、命題、定理與證明1.命題：判斷一件事件的句子叫命題.其判斷為正確的命題叫做真命題；其判斷為錯誤的命題叫做假命題.要點詮

4、釋：（1）對于命題的定義要正確理解，也即是通過這句話可以確定一件事是發(fā)生了還是沒發(fā)生，如果這句話不能對于結(jié)果給予肯定或者否定的回答，那它就不是命題；（2）每一個命題都可以寫成“如果,那么”的形式，“如果”后面為題設(shè)部分，“那么”后面為結(jié)論部分；2.定理：如果一個命題是真命題（正確的命題），那就可以稱它為定理.3.證明 從命題的條件出發(fā)，根據(jù)已知的定義、基本事實、定理（包括推論），一步一步推得結(jié)論成立，這樣的推理過程叫做證明要點五、全等三角形的性質(zhì)與判定1.全等三角形的性質(zhì)全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.2.全等三角形的判定定理全等三角形判定1“邊邊邊”：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.（可以簡

5、寫成“邊邊邊”或“SSS”）. “ 全等三角形判定2“邊角邊”：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）. 全等三角形判定3“角邊角”：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）. 全等三角形判定4 “角角邊”：兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）要點詮釋：（1）如何選擇三角形證全等，可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等的三角形中，可以證這兩個三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看

6、它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們?nèi)?；?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.要點六、用尺規(guī)作三角形1.基本作圖利用尺規(guī)作圖作一條線段等于已知線段、作一個角等于已知角，并利用全等三角形的知識作一個三角形與已知三角形全等； 要點詮釋：要熟練掌握直尺和圓規(guī)在作圖中的正確應(yīng)用，對于作圖要用正確語言來進行表達.【典型例題】類型一、三角形的內(nèi)角和1.在ABC中，ABCC，BD是AC邊上的高，ABD30°，則C的度數(shù)是多少?【思路點撥】按ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，分類討論【答案與解析】 解：分兩種情況討論： （1）當(dāng)ABC為銳角三角形時，如圖所示，在ABD

7、中， BD是AC邊上的高(已知)， ADB90°(垂直定義) 又 ABD30°(已知)， A180°-ADB-ABD180°-90°-30°60° 又 A+ABC+C180°(三角形內(nèi)角和定理)， ABC+C120°， 又 ABCC， C60°(2)當(dāng)ABC為鈍角三角形時，如圖所示在直角ABD中， ABD30°(已知)，所以BAD60° BAC120° 又 BAC+ABC+C180°(三角形內(nèi)角和定理)， ABC+C60° C30°綜上

8、，C的度數(shù)為60°或30°【總結(jié)升華】在解決無圖的幾何題的過程中，只有正確作出圖形才能解決問題這就要求解答者必須具備根據(jù)條件作出圖形的能力；要注意考慮圖形的完整性和其他各種可能性，雙解和多解問題也是我們在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)該注意的一個重要環(huán)節(jié)舉一反三【變式】已知：如圖，在ABC中，ABC345，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，BD、CE相交于H，則BHC的度數(shù)為 .【答案】135°.類型二、三角形的三邊關(guān)系及分類2.已知三角形的三邊長分別是3，8，,若的值為偶數(shù)，則的值有 ( ) A6個 B5個 C4個 D3個 【答案】D【解析】的取值范圍：，又為偶數(shù)，所以的值可以

9、是6, 8, 10，故的值有3個。【總結(jié)升華】不要忽略“x為偶數(shù)”這一條件.舉一反三【變式】三角形的三邊長為2，x-3，4，且都為整數(shù)，則共能組成 個不同的三角形.當(dāng)x為 時，所組成的三角形周長最大.【答案】三；8 (由三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，有4-2<x-3<4+2，解得5<x<9，因為x為整數(shù)，故x可取6，7，8；當(dāng)x=8時，組成的三角形周長最大為11).3.（2017春盱眙縣期中）四邊形ABCD是任意四邊形，AC與BD交點O求證：AC+BD（AB+BC+CD+DA）證明：在OAB中有OA+OBAB在OAD中有 ，在ODC中有 ，在 中有 ，O

10、A+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OBAB+BC+CD+DA即： ，即：AC+BD（AB+BC+CD+DA）【答案與解析】證明：在OAB中OA+OBAB在OAD中有OA+ODAD，在ODC中有OD+OCCD，在OBC中有OB+OCBC，OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OBAB+BC+CD+DA即2（AC+BD）AB+BC+CD+DA，即AC+BD（AB+BC+CD+DA）故答案為：OA+ODAD；ODOCCD；OBC；OB+OCBC；2（AC+BD）AB+BC+CD+DA【總結(jié)升華】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，即三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊4.在ABC

11、中，A+B=C，B=2A，（1）求A、B、C的度數(shù)；（2）ABC按角分類，屬于什么三角形？【思路點撥】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列方程組，直接求A、B、C的度數(shù)即可；有角的度數(shù)再根據(jù)三角形按角分類正確給與分類即可.【答案與解析】解：（1）根據(jù)題意得 （2）ABC按角分類，屬于直角三角形.【總結(jié)升華】幾何計算題中，如果依據(jù)題設(shè)和相關(guān)的幾何圖形的性質(zhì)列出方程（或方程組）求解的方法叫做方程的思想；求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°”這一隱含的條件舉一反三【變式】一個三角形的三個角的度數(shù)比是1：2：3，這個三角形中最小的一個角是 度，按角分類，這個三角形是 直角三角形【答案】30；直

12、角.30類型三、三角形的重要線段5. 如圖13，ABC中，A = 40°，B = 72°，CE平分ACB，CDAB于D，DFCE，求FCD的度數(shù).【思路點撥】由圖可知CDF是RtCDF的一個內(nèi)角，求CDF可先求出FCD，CDB為直角三角形，所以可以求出BCD，而FCD=BCEBCD.【答案與解析】在ABC中，A = 40°，B = 72°，由三角形的內(nèi)角和定理得：BCA=180°-72°-40°=68°又CE平分ACB， BCE=BCA=34°，在中，CDAB于D，B = 72° BCD= 90

13、°- 72°= 18° FCD=BCEBCD=34°-18°=16°. 即FCD =16°.【總結(jié)升華】這是三角形內(nèi)角和定理在直角三角形中的應(yīng)用，直角三角形兩個銳角互余，所以在直角三角形中，已知一個銳角的大小，就可以求出另一個銳角的度數(shù).舉一反三【變式】如圖14，ABC中，B34°，ACB104°，AD是BC邊上的高，AE是BAC的平分線，求DAE的度數(shù)【答案】DAE=35°類型四、全等三角形的性質(zhì)和判定6.已知，如圖，ABC中，D是BC中點，DEDF,試判斷BECF與EF的大小關(guān)系，并證明你的

14、結(jié)論.【思路點撥】因為D是BC的中點，按倍長中線法，倍長過中點的線段DF，使DGDF,證明EDGEDF，F(xiàn)DCGDB，這樣就把BE、CF與EF線段轉(zhuǎn)化到了BEG中，利用兩邊之和大于第三邊可證.【答案與解析】BECFEF；證明：延長FD到G，使DGDF,連結(jié)BG、EGD是BC中點BDCD又DEDF在EDG和EDF中EDGEDF（SAS）EGEF在FDC與GDB中FDCGDB(SAS)CFBGBGBEEGBECFEF【總結(jié)升華】有中點的時候作輔助線可考慮倍長中線法（或倍長過中點的線段）.舉一反三：【變式】（2017南充）如圖，ABC中，AB=AC，ADBC，CEAB，AE=CE求證：（1）AEFC

15、EB；（2）AF=2CD【答案】證明：（1）ADBC，CEAB，BCE+CFD=90°，BCE+B=90°，CFD=B，CFD=AFE，AFE=B在AEF與CEB中，AEFCEB（AAS）；（2）AB=AC，ADBC，BC=2CD，AEFCEB，AF=BC，AF=2CD類型五、用尺規(guī)作三角形7.已知：線段a，b求作：ABC，使AB=a，BC=b，AC=2a（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）【思路點撥】首先畫線段AC=2a，再以A為圓心，a長為半徑畫弧，再以C為圓心，b長為半徑畫弧，兩弧交于點B，連接AB、BC即可【答案與解析】解：如圖所示：，ABC即為所求【總結(jié)升華】此題

16、主要考查了作圖，關(guān)鍵是掌握作一條線段等于已知線段的方法；利用三角形全等判定定理”邊邊邊”解決本題舉一反三【變式】作圖題（尺規(guī)作圖，不寫作法，但保留作圖痕跡）如圖，已知，、求作AOB，使AOB=2+【答案】解：只要方法得當(dāng)，有作圖痕跡就給分，無作圖痕跡不給分【鞏固練習(xí)】一.選擇題1.如圖，在折紙活動中，小明制作了一張ABC紙片，點D、E分別是邊AB、AC上，將ABC沿著DE折疊壓平，A與A重合，若A75°，則12（）A150° B210° C105° D75°2. 如圖, 在AOB的兩邊上截取AO BO, CO DO, 連結(jié)AD、BC交于點P.

17、則下列結(jié)論正確的是( ) AODBOC； APCBPD； 點P在AOB的平分線上A. 只有 B. 只有C. 只有 D. 3. 如圖，三角形的角平分線、中線、高的畫法錯誤的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.34已知如圖，ADBC，ABBC，CDDE，CDED，AD2，BC3，則ADE的面積為（） A. 1 B. 2 C. 5 D. 無法確定 5.（2017南漳縣模擬）如圖，在RtABC中，BAC=90°，AB=AC，直角EPF的頂點P是BC的中點，將EPF繞頂點P旋轉(zhuǎn)，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F(xiàn)下列四個結(jié)論：AE=CF；PEF是等腰直角三角形；EF=AP；S四邊形AE

18、PF=SABC在EPF旋轉(zhuǎn)過程中，上述四個結(jié)論始終正確的有（ ）A B C D6. 如圖，ABBC于B，BEAC于E，12，D為AC上一點，ADAB，則（ ）A1EFD B FDBC CBFDFCD DBEEC7. 如圖，已知ABAC，PBPC，且點A、P、D、E在同一條直線上.下面的結(jié)論：EBEC；ADBC；EA平分BEC；PBCPCB.其中正確的有（ ） A.1個 B. 2個 C.3個 D. 4個8. 如圖所示的4×4正方形網(wǎng)格中，1+2+3+4+5+6+7=（）A330° B315° C310° D320°二.填空題9. 如圖，ABC中，

19、AD、CE是ABC的兩條高，BC5cm，AD3cm，CE4cm，則AB的長為_ 10. 如圖，已知點C是AOB平分線上的點，點P、P分別在OA、OB上，如果要得到OP=OP，需要添加以下條件中的某一個即可：OCP=OCP；OPC=OPC；PC=PC；PPOC請你寫出所有可能的結(jié)果的序號： 11. ABC中，BAC=100°，若DE、FG分別垂直平分AB和AC，則EAF= 12如圖所示，在ABC中，ABAC，點O在ABC內(nèi)，且OBCOCA，BOC110°，求A的度數(shù)為_13. 一個三角形的兩邊長分別為3和7，且第三邊長為整數(shù)，這樣的三角形的周長最小值是_14. 如圖所示，AD

20、，AE是三角形ABC的高和角平分線，B=36°，C=76°，則DAE的度數(shù) 15如圖，在ABC中，AD是A的外角平分線，P是AD上異于A的任意一點，設(shè)PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，則（m+n）與（b+c）的大小關(guān)系是 . 16.（2017蘆溪縣模擬）如圖，已知在ABC中，A=90°，AB=AC，CD平分ACB，DEBC于E，若BC=15cm，則DEB的周長為 cm三.解答題17（2017于洪區(qū)一模）如圖1，在ABC中，ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF（1）如果AB=AC，BAC=90°，當(dāng)

21、點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為 ，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為 ；當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖3，中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（2）如果ABAC，BAC是銳角，點D在線段BC上，當(dāng)ACB滿足什么條件時，CFBC（點C、F不重合），并說明理由 18如圖所示，已知D是AB上一點，E是AC上的一點，BE、CD相交于點F，A62°，ACD15°，ABE20°.(1)求BDC的度數(shù)；(2)求BFD的度數(shù)；(3)試說明BFCA.19. 如圖所示，ABC中，D，E在BC上，且DEEC，過D作DFBA，交AE于點F，DFA

22、C，求證：AE平分BAC20已知：a，以及線段b，c（bc）求作：三角形ABC，使得BAC=a，AB=c，BAC的平分線AD=b 【答案與解析】一.選擇題1. 【答案】A；【解析】ADE是ABC翻折變換而成，AEDAED，ADEADE，AA75°，AEDADEAEDADE180°75°105°，12360°2×105°150°2. 【答案】D；【解析】可由SAS證，由和AAS證，SSS證.3. 【答案】D； 【解析】三角形的中線是三角形的一個頂點與對邊中點連接的線段；三角形的角平分線是指三角形內(nèi)角的平分線與對邊交點

23、連接的線段；三角形的高是指從三角形的一個頂點向?qū)呑鞔咕€，連接頂點與垂足之間的線段4. 【答案】A； 【解析】因為知道AD的長，所以只要求出AD邊上的高，就可以求出ADE的面積過D作BC的垂線交BC于G，過E作AD的垂線交AD的延長線于F，構(gòu)造出RtEDFRtCDG，求出GC的長，即為EF的長，然后利用三角形的面積公式解答即可5. 【答案】D；【解析】解：AB=AC，BAC=90°，直角EPF的頂點P是BC的中點，APBC，AP=BC=PC，BAP=CAP=45°=CAPF+FPC=90°，APF+APE=90°，F(xiàn)PC=EPA，在AEP與CPF中，AP

24、ECPF（ASA）AE=CF；EP=PF，故正確；ABC是等腰直角三角形，P是BC的中點，AP=BC，EF不是ABC的中位線，EFAP，故錯誤；AEPCPF，SAEP=SCPF（全等三角形的面積相等），又S四邊形AEPF=SAEP+SAFP，S四邊形AEPF=SAPC=SABC，即S四邊形AEPF=SABC故正確故選D6. 【答案】B ；【解析】證ADFABF，則ABFADFACB，所以FDBC.7. 【答案】D；8. 【答案】B；【解析】由圖中可知：4=×90°=45°，1和7的余角所在的三角形全等1+7=90°同理2+6=90°，3+5=9

25、0°4=45°1+2+3+4+5+6+7=3×90°+45°=315°二.填空題9. 【答案】；【解析】(提示：在ABC中，2SABCBC×ADAB×CE)10.【答案】； 【解析】OCP=OCP，符合ASA，可得二三角形全等，從而得到 OP=OP；OPC=OPC；符合AAS，可得二三角形全等，從而得到 OP=OP；PPOC，符合ASA，可得二三角形全等，從而得到 OP=OP； 中給的條件是邊邊角，全等三角形判定中沒有這個定理故填11. 【答案】20°； 【解析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出B+C=80

26、76;，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出BAE+CAF=B+C，然后便不難求出EAF12【答案】40°；【解析】ABAC，所以ABCACB， 又OBCOCA， ABCACB2（OBCOCB）， BOC110°，OBCOCB70°， ABCACB140°， A180°（ABCACB）40°13.【答案】15；【解析】提示：由三角形三邊關(guān)系知x可以取5，6，7，8，9，所以三角形的周長最小值為1514.【答案】20°；【解析】解：B=36°，C=76°，BAC=180°BC=68°，AE是角

27、平分線，EAC=BAC=34°AD是高，C=76°，DAC=90°C=14°，DAE=EACDAC=34°14°=20° 15【答案】m+nb+c；【解析】在BA的延長線上取點E，使AE=AC，連接ED，EP，AD是A的外角平分線，CAD=EAD，在ACP和AEP中，ACPAEP（SAS），PE=PC，在PBE中，PB+PEAB+AE，PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，m+nb+c16.【答案】15；【解析】解：CD平分ACBACD=ECDDEBC于EDEC=A=90°CD=CDACDECDAC=EC，AD=EDA=90°，AB=ACB=45°BE=DEDEB的周長為：DE+BE+BD=AD+BD+BE=AB+BE=AC+BE=EC+BE=BC=15cm三.解答題17.【解析】證明：（1）正方形ADEF中，AD=AF，