數(shù)值分析試題及答案匯總

1、1.數(shù)值分析試題填空題(2 0 X 2 )2設(shè)x=是精確值x*=的近似值，那么x有2有效數(shù)字。2.X3+ 1 ,假設(shè) f(x)=x 7f2 0,21,22,23,24,25,26,27,28=那么 f20,21,22,23,24,25,26,27=_J3.設(shè)，OOAX o _15。4. 非線性方程f(x)=0的迭代函數(shù)x= (x)在有解區(qū)間滿足| (x)| 1，計(jì)算時(shí)不會(huì)放大f(xi)的誤差。8. 要使 20的近似值的相對(duì)誤差小于 %，至少要取 4位有效數(shù)字。9. 對(duì)任意初始向量X(0)及任意向量g，線性方程組的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,)收斂于方程組的精確解x*的充分

2、必要條件是 (B)1。 牛頓下山法的下山條件為|f(xn+1)|f(xn)|。12. 線性方程組的松弛迭代法是通過逐漸減少殘差ri (i=0,1, ,n)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，其中的殘差r i = (bi-ai1 X1-ai2X2- -ainxn)/aii， (i=0,1, ,n)。13. 在非線性方程f(x)=0使用各種切線法迭代求解時(shí)，假設(shè)在迭代區(qū)間存在唯一解，且f(x)10.由以下數(shù)據(jù)所確定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)最高是x012y=f(x)-2-12的二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào)，那么初始點(diǎn)X0的選取依據(jù)為fx0f x0014. 使用迭代計(jì)算的步驟為建立迭代函數(shù)、選取初值、迭代計(jì)算。二、判斷題10 x 11、 假設(shè)A是

3、n階非奇異矩陣，那么線性方程組 AX = b 一定可以使用高斯消元法求解。 x 2、 解非線性方程fx=0的牛頓迭代法在單根x*附近是平方收斂的。3、假設(shè)A為n階方陣，且其元素滿足不等式na/c 、aiji 1,2,nj 1j i那么解線性方程組 AX = b的高斯一一塞德爾迭代法一定收斂。x 4、樣條插值一種分段插值。5、如果插值結(jié)點(diǎn)相同， 在滿足相同插值條件下所有的插值多項(xiàng)式是等價(jià)的。6、從實(shí)際問題的精確解到實(shí)際的計(jì)算結(jié)果間的誤差有模型誤差、觀測(cè)誤差、截?cái)嗾`差及舍入誤差。7、 解線性方程組的的平方根直接解法適用于任何線性方程組AX = b。 x 8、 迭代解法的舍入誤差估計(jì)要從第一步迭代計(jì)

4、算的舍入誤差開始估計(jì)，直到最后一步迭代計(jì)算的舍入誤差。x9、數(shù)值計(jì)算中的總誤差如果只考慮截?cái)嗾`差和舍入誤差，那么誤差的最正確分配原那么是截?cái)嗾`差=舍入誤差。10、插值計(jì)算中防止外插是為了減少舍入誤差。x三、計(jì)算題5 x 101、用列主元高斯消元法解線性方程組。X1 X2 X3 45x1 4 X2 3x3122X1X2 X3 11解答：1，5，2最大元5在第二行，交換第一與第二行:5xi 4 X2 3x3 12X1X2X342X1X2X311L 21 = 1/5=,l 31=2/5=方程化為：5 X1 4x2 3x3120.2x20.4 X31.62.6x20.2x315.8(,)最大元在第三行

5、，交換第二與第三行:5 X1 4x23x3122.6x20.2x315.0.2x20.4 X31.6L32=,方程化為:5 X1 4 X23x 3122.6x 20.2x315.0.38462x 30.38466回代得:X1X2X33.000055.999991.000102、用牛頓埃爾米特插值法求滿足以下表中插值條件的四次插值多項(xiàng)式P (x)，并寫4出其截?cái)嗾`差的表達(dá)式(設(shè)f(x)在插值區(qū)間上具有直到五階連續(xù)導(dǎo)數(shù))Xi0 112fx)1-13f (Xi )15解答:做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1F+2Fxi,xi+1,xi+2,xi+3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+40

6、11-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)()/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、對(duì)下面的線性方程組變化為等價(jià)的線性方程組，使之應(yīng)用雅克比迭代法和高斯 賽德爾迭代法均收斂，寫出變化后的線性方程組及雅克比迭代法和高斯一一賽德爾迭代法的迭代 公式，并簡(jiǎn)單說明收斂的理由。2x 1X2X41x 1X35 X46x 24X3X48X13 X2X 33解答：交換第二和第四個(gè)方程，使系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu):2x1X 2X 41X13x 2X 33X 24 X 3X48X1X 35 X46雅克比迭代

7、公式:2x1X 2X 41X13x 2X 33X 24 X 3X48X1X 35 X46?計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)根底(2)?數(shù)值分析試題f ( xk )1-(yk yk 1 )(C)hf(Xk 1 )1(yk 1 yk )hyk i(D)、單項(xiàng)選擇題每題3分，共 15分1.準(zhǔn)確值(A) x 10 s 1 tX*與其有t位有效數(shù)字的近似值x= a x 10+ -nxs(a 1 0)的絕對(duì)誤差 x10 s tx ().(B) x 10 s t(C) x 10s 1 t(D)2.以下矩陣是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的為()2100521012101410(A)(B)0121114100120012521042111421

8、1410(C)(D)21412141001213153.過(0 , 1),(2 , 4), (3 ,1點(diǎn)的分段線性插值函數(shù)P(x)=()3彳31 0x 10x 2xx2(A)2(B)23x102 x33x2 102x 333x 10 x2一 x1 0x2(C)2(D)23x102 x3x4 2x34.等距二點(diǎn)的求導(dǎo)公式是()11(yk yk 1 )f ( xk )(ykyk 1 )f (xk )(A)f ( Xk 1h1)-(ykyk 1 )(B)f (xk 1 )h(yk yk 1 )hhyp,yc分別為().y pykhf (xk , yk )y pyk hf (xk 1 , yk )(A

9、)(B)ycykhf (xk 1 , yk )ycyk hf ( Xk , y p )y pykf ( xk,yk )y pykhf ( xk , yk )(C)(D)ycykf ( xk,yp )ycykhf ( xk 1 , y p )那么5.解常微分方程初值問題的平均形式的改良?xì)W拉法公式是1_ y pyc 2二、填空題每題3分，共 15分6.設(shè)近似值X1,X2 滿足X1 =， X2=，那么X1X2=7. 三次樣條函數(shù)S(x)滿足：S(x)在區(qū)間a,b內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，S(xk)=yk(),k=0,1,2, ,n，且滿足S(x)在每個(gè)子區(qū)間 Xk,Xk+1 上是 .bnn8. 牛頓一科茨求積

10、公式f ( x) dxAk f ( xk )，貝UAk =.ak 0k 09. 解方程f(x)=0的簡(jiǎn)單迭代法的迭代函數(shù)(x)滿足在有根區(qū)間內(nèi) ，那么在有根區(qū)間內(nèi)任意取一點(diǎn)作為初始值，迭代解都收斂.10. 解常微分方程初值問題的改良?xì)W拉法預(yù)報(bào)一一校正公式是預(yù)報(bào)值：y k i yk hf ( Xk , yk )，校正值：yk+i=.三、計(jì)算題(每題15分，共60分)11. 用簡(jiǎn)單迭代法求線性方程組8x13x22X3204 X111X2X3336x13X212X336的X.取初始值(0,0,0)T,計(jì)算過程保存 4位小數(shù).12. 函數(shù)值 f(0)=6 , f(1)=10 , f(3)=46 , f

11、(4)=82 , f(6)=212，求函數(shù)的四階均差f(0,1,3,4,6)和二階均差 f(4, 1, 3).3 213. 將積分區(qū)間8等分，用梯形求積公式計(jì)算定積分1 x 2 dx ,計(jì)算過程保存4位小數(shù).114. 用牛頓法求115的近似值，取 x=10或11為初始值，計(jì)算過程保存 4位小數(shù).四、證明題(此題10分)15. 證明求常微分方程初值問題y f ( x, y)y( xo ) yo在等距節(jié)點(diǎn)a=X0X1Vx n = b處的數(shù)值解近似值的梯形公式為hy(xk+1) yk+1 =yk+ f(xk,yk)+f( x k+1 ,yk+1)2其中 h=x k+1 xk(k=0,1,2,n 1)

12、?計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)根底(2)?數(shù)值分析試題答案一、 單項(xiàng)選擇題(每題3分，共15分)I. A 2. B 3. A 4. B 5. D二、填空題(每題3分，共15分)6. x + x7. 3次多項(xiàng)式2 1h一8. b a9.(X) r110. y k+ 一 f (xk , yk ) f ( Xk 1 , y k 1 ) hf(xk + 1, y k 1 )2三、計(jì)算題(每題15分，共60分) 寫出迭代格式X1( ki)0 0.375x2(k)0.25x3(k)2.5X2(X3(k1)0.363 6X1( k) 0k1)0.5x1( k ) 0.25x20.090 9x(k )3(k)03X(O)=(0

13、,0,0)TX1(1)00.37500.250 2.52.5X2(1)0.363 600 0.090 9 033X3(1)0.5 00.25003 3得到x(1)= ：，3,3)TX1( 2)00.37530.253 2.52.875X2(2)0.363 62.500.090 93 32.363 7X3(2)0.5 2.50.25 30 31.000 0得到X( 2)=,7 ,0)TX1( 3)0 0.3752.363 70.25 12.53.136 4X2(3)0.363 62.875 00.090 9 132.045 6X3(3)0.5 2.8750.252.363 7030.971 6得

14、到 X(3)= 4 , 6,6)T.12.計(jì)算均差列給出.Xkf(Xk)一階均差二階均差三階均差四階均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/151f(0,1,3,4,6)=15f(4, 1, 3)=6x=，x =.813. f(x)= 1x2，h=20.25 分點(diǎn) x = , x = , x2 =, x =, X =，8函數(shù)值：f= 2 , f= 8 , f= 8 , f= 6 , f= 1 , f= 2 , f= 6 , f= 2 , f= 3 3f (x)dx1h-f ( xo )2f (X8 )2( f ( x 1 ) f ( X2 )f (

15、 X3 ) f ( X4 )f ( X5 ) f ( X6 ) f ( X7 ) (9 分)0.25= X 2+ 3+2 X 8+ 8+ 62+ 1+ 2+ 6+ 2)=X 5+2 X 3)= 114.設(shè)x為所求，即求 x2 - 115=0的正根.f(x)=x2 - 115 因?yàn)?f (x)=2 x , f (x)=2 , f(10) f (10)=(100- 115) X 20取 X0 = 11 有迭代公式f ( Xk )Xk2 115 Xk 115Xk+1 =xk -= Xk(k=0,1,2,)f ( Xk )2Xk2 2Xk1 11115 _ qX =32 2 1110.727 3X2=

16、2115210.727 33 10.723 8x =2115=82 10.723 8x* 8四、證明題(此題10分)15.在子區(qū)間x,x 上，對(duì)微分方程兩邊關(guān)于X積分，得k+1 kxk 1y(xk+1)- y(xk)= xkf ( x, y(x)dx用求積梯形公式，有hy(xk+1) y(x k)= - f ( x k , y( x k )f ( Xk1, y( Xk 1 )2將 y(Xk),y(Xk+1)用 yk,yk+1 替代，得到y(tǒng)(x) y =yk+1k+1 kh+f(x ,y)+f( X ,y )( k=0,1,21 ,n 1)k kk+1 k+1數(shù)值分析期末試題一、填空題(2102

17、0分)152(1)設(shè) A210，那么 A133822 X15x 2102.5(2)對(duì)于方程組，Jacobi迭代法的迭代矩陣是B J10x 14x 232 50Q *1 r(3) 3 x 的相對(duì)誤差約是X的相對(duì)誤差的倍。X Xf ( X )(4)求方程 X f ( X )根的牛頓迭代公式是n 1 n-Xnn1f ( X n )(5)設(shè) f ( x) x 3 x 1 ,那么差商 f 0,1,2,3 L o(6 )設(shè)n n矩陣G的特征值是 1 , 2 , n，那么矩陣G的譜半徑(G ) max i 。1 i n：1 2(7) A，那么條件數(shù)Co nd ( A)90 1(8) 為了提高數(shù)值計(jì)算精度，當(dāng)

18、正數(shù)x充分大時(shí)，應(yīng)將ln( x x 21)改寫為|n( x x 2 1)(9) n個(gè)求積節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精確度至少為n 1次。1 3(10 )擬合三點(diǎn)(X1 , f ( X1 )， ( x 2 , f ( x 2 )， ( x 3 , f ( x 3 )的水平直線是 yf ( X i )。3 i 12x證明:10 分)證明：方程組 X11使用Jacobi迭代法求解不收斂性。JacobiX1迭代法的迭代矩陣為0.50.50.50.5的特征多項(xiàng)式為0.50.50.5(21.25)的特征值為 11.25i廠1.25i，故(Bj )/1.25 1,因而迭代法不收斂性。三、(10分)定義內(nèi)積試

19、在H1Spa n 1, x解:(f , g)中尋求對(duì)于f ( x)dx 1 , ( 11xdx1f ( x ) g( x )dx:Jf x的最正確平方逼近元素x 2 dx1P( x ) ox dx 2，1 L法方程1122C0311C12235412解得C0C1。所求的最正確平方逼近兀素為151512p( x)4x , 0 x 1y( x)0.40860.39167 x 0.0857 x0.00833 x1515四、10分給定數(shù)據(jù)表x-2-1012y試用三次多項(xiàng)式以最小二乘法擬合所給數(shù)據(jù)解:y( x ) c 0ci x C2X2C3 x 31248501001111A1000,AtA01003

20、410 0340111103401301248AT y ( 2.9,4.2,7,14.4) T法方程At Ac At y的解為C00.4086 , C10.391675C20.0857 , C30.00833得到三次多項(xiàng)式誤差平方和為30.000194五.10分依據(jù)如下函數(shù)值表x0124f (x)19233建立不超過三次的Lagrange插值多項(xiàng)式，用它計(jì)算f 2.2，并在假設(shè)f 4 x 1下，估計(jì)計(jì)算誤差。解:先計(jì)算插值基函數(shù)l 0 ( x) ( x 1)( x 2)( x 4)(01)(0 2)( 04)l 1 ( x ) ( x 0)( x2)( x 4)(10)(1 2)(14)l 2

21、 ( x) ( x 0)( x 1)( x 4)(2 0)( 2 1)(2 4)l 3 ( x) ( x 0)( x 1)( x 2) (4 0)( 4 1)(4 2)所求Lagrange插值多項(xiàng)式 為1 x 32 x 2 -8 x33丄x31 x24X248123L 3 ( x ) f ( xi )l i ( x ) l 0 ( x ) 9l 1 ( x) 23l 2 ( x ) 3l 3 ( x )11 x 345X 21 x 1 從而i 0442f (2.2) L 3 (2.2)25.0683 。據(jù)誤差公式R3 ( x )f (4)( ) ( x X0 )( x x 1 4!估計(jì):IR3

22、( x )1 (2.2 0)(2.2 1)(2.24!六.10分用矩陣的直接三角分解法解方程組1 0 20 1 01240 1 0解設(shè)1 0 2 0 10101211ll12433132ll01034142由矩陣乘法可求出Uij 和 1ij1l211ll3132l41l42)(x x 2 )( xX 3 )及假設(shè)f ( 4 ) ( x )1得誤差12)(2.24)0.95040.03964!0 X151 x 233 x 3173 X471020uuu222324uu13334ul 431441011121l 431010 1解下三角方程組有 y15 ， y23 , y3得原方程組的解為七.(10分)試用Simpson6， y440u222u23u330u24u34u44y1y2y3y4。再解上三角方程組X1公式計(jì)算積分的近似值,并估計(jì)截?cái)嗾`差。解：12 e x dx1f ( 4)max1 x 217截?cái)嗾`差為(22 e x dx1(e614e52.0263(112 36X 8X 7 X 624)e xx 5(4) (1)198.431)52880(4 )max f ( x)10.06890八.10分用Newto