極坐標(biāo)與參數(shù)方程的主要知識(shí)點(diǎn)

1、極坐標(biāo)與參數(shù)方程的主要知識(shí)點(diǎn)1、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系的互化設(shè)M為平面上的一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)為式成立：Xy2、直線的參數(shù)方程：X (y y°) k(xy 一.，、一_2223、圓的參數(shù)方程：(x a) (y b) r(x, y),極坐標(biāo)(，)，由下圖可知下面的關(guān)系2或 tansinXo) (xcos、 y y0x x0xo)tsin cos可編輯x4、橢圓的參數(shù)方程：中心在坐標(biāo)原點(diǎn)焦點(diǎn)在X軸上：y5、雙曲線的參數(shù)方程:xy2,2ab2x6、拋物線的參考方程：y22px(p0)：(0) 的作用(0)y7、設(shè)點(diǎn)p(x,y)事平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換下，點(diǎn)p(x,y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)p

2、9;(x',y'),稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮變換。相關(guān)公式:1、點(diǎn)P(Xo,yo)到直線L:AxByC0(A2B20）的距離公式:2、sin()sin()2、輔助角公式:asin常用:sinsin,A2B2sinsincoscoscoscossinsinbcoscos3coscos3、兩點(diǎn)間的距離公式:a2b2?sin(2sin(-)32sin(一)6Pi(x,yi),Pzd,y)P1P24(X1X2)2(y1y2)2)(其中tanb)a在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)AB=例2.例3.例4.極坐標(biāo)與參數(shù)方程學(xué)案A和點(diǎn)B的極坐標(biāo)分別為已知直線的極坐標(biāo)方程為？sin(已知曲線

3、Ci,Ci的極坐標(biāo)方程為cos3,Ci與Ci的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為把下列的參數(shù)方程化為普通方程:x(1)y-sin22sin(為參數(shù))cos(2,)和(3,0),O為極點(diǎn)，則3求點(diǎn)A(2,7)到這條直線的距離。44cos(0,0(2)2sons(為參數(shù))x(3)烏2(t為參數(shù))(4)4k1k：(k為參數(shù))4k21k2例5.已知點(diǎn)P(x,y)是圓x2y26x4y120的動(dòng)點(diǎn)，求:(1) x2y2的最值；(2) xy的最值；(3)求點(diǎn)P到直線xy10的距離d的最值。x4costx8cos例6.已知曲線Ci：(t為參數(shù))，C2:(為參數(shù))；y3sinty3sin(1) 化Ci,C2的方程為普通方程，并分別

4、說(shuō)明他們表示什么曲線；(2) 若C1上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t,Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線2x32tC3:2t。為參數(shù))距離的最小值。x4cos例7.(本題10分)在直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐y3sin標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中.曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin(-)5&.(1)分別把曲線G與C2化成普通方程和直角坐標(biāo)方程；并說(shuō)明它們分別表示什么曲線.(2)在曲線G上求一點(diǎn)Q,使點(diǎn)Q到曲線Q的距離最小，并求出最小距離.例8.已知曲線C的極坐標(biāo)方程為4sin ,以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系,x直線l的參數(shù)方程為2t,(t

5、為參數(shù))，求直線l被曲線C截得的線段的長(zhǎng)度例9.（2013年全國(guó)二卷）選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程fx=2cost已知?jiǎng)狱c(diǎn)P,Q都在曲線C：ly=25int（t為參數(shù)）上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t=a與t=2a（0<a<2兀）M為PQ的中點(diǎn)。（I） 求M的軌跡的參數(shù)方程：（II） 將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為a的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).例10.（2013年全國(guó)一卷）選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線Ci的參數(shù)方程為x45cost（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為y=5+5sint極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為p=2sin（I）把Ci的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程

6、；（II）求Ci與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)（p>0,0<0<2兀）例11. （2013年全國(guó)北京卷） 在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)（2,一）到直線psin上2的距離等于6一拋物線的參數(shù)方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式有四種，故對(duì)應(yīng)參數(shù)方程也有四種形式.下面僅介紹x22py(p0)及y22Px(p0)兩種情形.(1)對(duì)于拋物線x22py(p0),其參數(shù)方程為x2Pt；設(shè)拋物線x22pyy2pt，上動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(2pt,2pt2),O為拋物線的頂點(diǎn)，顯然6mt,即t的2Pt幾何意義為過(guò)拋物線頂點(diǎn)O的動(dòng)弦OP的斜率.2(2)同理，以可拋物線y22px(p0),其參數(shù)方程為x2Pt，設(shè)拋物線y2pt,x22p

7、y上動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(2pt：2pt),。為拋物線的頂點(diǎn)，可得3至1t工，t的幾何意義是過(guò)拋物線的頂點(diǎn)O的動(dòng)弦OP的斜2ptt6率的倒數(shù).OB ,求線段AB中例12.已知AB為拋物線x24y上兩點(diǎn)，且OA點(diǎn)的軌跡方程.解析：設(shè)koAt,OBOAkoB1,據(jù)t的幾何意義，可得A(4t,4t2),B士？.tt2x設(shè)線段中點(diǎn)P(x, y),則y4t4t2,4t22 t21t2消去參數(shù)t得P點(diǎn)的軌跡方程為x22(y4).【解析】解：解：將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為x2y24y0,即 x? (y 2)24,它表示以（0,2）為圓心，2為半徑圓,4分直線方程I的普通方程為y晶x1,8分1圓C的圓心到直線I的距離d,10分214分故直線I被曲線C截得的線段長(zhǎng)度為25（孑4行.可編輯【解析】.'j!3rwww.zxxK.conn/ttxPL(I)依題意有P(2cosb,20no),fi(2cos2aT2sin2a),因此M(cwa+cos2a,Sina+sin2a).U的軌跡的參數(shù)方程為卜