從記數(shù)法到復(fù)數(shù)域：數(shù)系理論的歷史發(fā)展

1、.從記數(shù)法到復(fù)數(shù)域：數(shù)系理論的歷史開展引言數(shù)，是數(shù)學(xué)中的根本概念，也是人類文明的重要組成部分。數(shù)的概念的每一次擴(kuò)大都標(biāo)志著數(shù)學(xué)的宏大飛躍。一個(gè)時(shí)代人們對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用，以及數(shù)系理論的完善程度，反映了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)開展的程度。今天，我們所應(yīng)用的數(shù)系，已經(jīng)構(gòu)造的如此完備和縝密，以致于在科學(xué)技術(shù)和社會(huì)生活的一切領(lǐng)域中，它都成為根本的語言和不可或缺的工具。在我們得心應(yīng)手地享用這份人類文明的共同財(cái)富時(shí)，是否想到在數(shù)系形成和開展的歷史過程中，人類的智慧所經(jīng)歷的曲折和艱辛呢？一、記數(shù)法、位置制和零人類在進(jìn)化的蒙昧?xí)r期，就具有了一種“識(shí)數(shù)的才能，心理學(xué)家稱這種才能為“數(shù)覺perceptionofnumber。動(dòng)物

2、行為學(xué)家那么認(rèn)為，這種“數(shù)覺并非為人類所獨(dú)有。人類智慧的卓越之處在于他們創(chuàng)造了種種記數(shù)方法。?周易·系辭下?記載“上古結(jié)繩而治，后世圣人，易之以書契。東漢鄭玄稱：“事大，大結(jié)其繩；事小，小結(jié)其繩。結(jié)之多少，隨物眾寡。以結(jié)繩和書契記數(shù)的方法實(shí)際上普及世界各地，如希臘、波斯、羅馬、巴勒斯坦、伊斯蘭和中美洲國(guó)家都有文獻(xiàn)記載和實(shí)物標(biāo)本。直到1826年，英國(guó)財(cái)政部才決定停頓采用符契作為法定記數(shù)器。隨著人類社會(huì)的進(jìn)步，數(shù)的語言也在不斷開展和完善。數(shù)系開展的第一個(gè)里程碑出現(xiàn)了：位置制記數(shù)法。所謂位置制記數(shù)法，就是運(yùn)用少量的符號(hào)，通過它們不同個(gè)數(shù)的排列，以表示不同的數(shù)。引起歷史學(xué)家、數(shù)學(xué)史家興趣的是

3、，在自然環(huán)境和社會(huì)條件影響下，不同的文明創(chuàng)造了迥然不同的記數(shù)方法。如巴比倫的楔形數(shù)字系統(tǒng)、埃及象形數(shù)字系統(tǒng)、希臘人字母數(shù)字系統(tǒng)、瑪雅數(shù)字系統(tǒng)、印度阿拉伯?dāng)?shù)字系統(tǒng)和中國(guó)的算籌記數(shù)系統(tǒng)。最早開展的一類數(shù)系應(yīng)該是簡(jiǎn)單分群數(shù)系simplegroupingsystem，如在公元前3400年埃及象形文字中就有實(shí)例,它是10進(jìn)的，但卻不是位置的。在公元前3000到2019年之間，巴比倫人開展了60進(jìn)位的定位數(shù)系positionalnumeralsystem，它采用了位置制，卻不是10進(jìn)的。而最重要和最美妙的記數(shù)法那么是10進(jìn)位位置制記數(shù)法。法國(guó)著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯Laplace,17491827曾經(jīng)寫道：用十

4、個(gè)記號(hào)來表示一切的數(shù)，每個(gè)記號(hào)不但有絕對(duì)的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。這是一個(gè)深遠(yuǎn)而又重要的思想，它今天看來如此簡(jiǎn)單，以致我們無視了它的真正偉績(jī)。但恰恰是它的簡(jiǎn)單性以及對(duì)一切計(jì)算都提供了極大的方便，才使我們的算術(shù)在一切有用的創(chuàng)造中列在首位；而當(dāng)我們想到它竟逃過了古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼斯的天才思想的關(guān)注時(shí)，我們更感到這成就的偉大了。拉普拉斯的這段評(píng)論非常精彩，只可惜他張冠李戴，把這項(xiàng)創(chuàng)造歸之于印度。現(xiàn)已有充分而確鑿的史料證明，10進(jìn)位位置制記數(shù)法最先產(chǎn)生于中國(guó)。這一點(diǎn)也為西方的一些數(shù)學(xué)史家所主張。李約瑟就曾指出“在西方后來所習(xí)見的印度數(shù)字的背后，位置制已在中國(guó)存在

5、了兩千年。不過，10進(jìn)位位置制記數(shù)法的產(chǎn)生不能單純地歸結(jié)為天才的智慧。記數(shù)法的進(jìn)步是與計(jì)算工具的改進(jìn)相聯(lián)絡(luò)的。研究說明，10進(jìn)位位置制記數(shù)之產(chǎn)生于中國(guó)，是與算籌的使用與籌算制度的演進(jìn)分不開的?！?作為記數(shù)法中的空位，在位置制記數(shù)的文明中是不可缺少的。早期的巴比倫楔形文字和宋代以前的中國(guó)籌算記數(shù)法，都是留出空位而沒有符號(hào)。印度人起初也是用空位表示零，后來記成點(diǎn)號(hào)“·，最后開展為圈號(hào)。印度數(shù)碼在公元8世紀(jì)傳入阿拉伯國(guó)家。13世紀(jì)初，意大利的商人斐波那契LeonadoFibonacci,1175-1250編著?算經(jīng)?LiberAbacci,1202，把包括零號(hào)在內(nèi)完好的印度數(shù)碼介紹到了歐洲

6、。印度數(shù)碼和10進(jìn)位位置制記數(shù)法被歐洲人普遍承受后，在歐洲的科學(xué)和文明的進(jìn)步中扮演了重要的角色。二、大數(shù)記法古代希臘人曾經(jīng)提出一個(gè)問題：他們認(rèn)為世界上的沙子是無窮的，即使不是無窮，也沒有一個(gè)可以寫出來的數(shù)超過沙子的數(shù)。阿基米德Archimedes,BC287-212的答復(fù)是：不。在?數(shù)沙術(shù)?中，阿基米德以萬myriad為根底，建立新的記數(shù)法，使得任何大的數(shù)都能表示出來。他的做法是：從1起到1億原文是萬萬，myriadmyriads,這里按照中文的習(xí)慣改稱為億叫做第1級(jí)數(shù)；以億108為第2級(jí)數(shù)的單位，從億到億億1082叫做第2級(jí)數(shù)；在以億億為單位，直到億億億1083叫做第3級(jí)數(shù)。直到第1億級(jí)數(shù)的

7、最后一數(shù)億億。阿基米德算出充滿宇宙的沙子的數(shù)目不過是1051,即使擴(kuò)大到“恒星宇宙，即以太陽到恒星的間隔 為半徑的天球，也不過只能包容1063個(gè)沙粒！同樣的問題也出如今中國(guó)古代。漢代以前，數(shù)皆10進(jìn)，以10萬位億。韋昭解?國(guó)語·鄭語?第十六：“計(jì)億事，材兆物，收經(jīng)入，行垓極。注稱“計(jì)，算也；材，裁也。賈唐說皆以萬萬為億，鄭后司農(nóng)云：十萬曰億，十億曰兆，從古數(shù)也。?數(shù)術(shù)記遺?中那么詳細(xì)記載了對(duì)大數(shù)的一整套命名和三種進(jìn)位方法。?數(shù)術(shù)記遺?稱：黃帝為法，數(shù)有十等，及其用也，乃有三焉。十等者億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載；三等者，謂上、中、下也。其下數(shù)者。十十變之，假設(shè)言十萬曰億，十

8、億曰兆，十兆曰京也。中數(shù)者，萬萬變之，假設(shè)言萬萬曰億、萬萬億曰兆，萬萬兆曰京。上數(shù)者，數(shù)窮那么變，假設(shè)言萬萬曰億，億億曰兆，兆兆曰京也。從億至載，終于大衍。?數(shù)術(shù)記遺?中的“大數(shù)之法的數(shù)學(xué)意義并不僅僅在于它構(gòu)造了三種記數(shù)方法，更為重要的是它提醒了人們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)從有限走向無限的困難歷程?？陀^的需要和數(shù)學(xué)的開展都促使人們?nèi)フJ(rèn)識(shí)和把握越來越大的數(shù)。起初，對(duì)一些較大的數(shù)，人們還可以理解它，還可以利用已有的記數(shù)單位去表示它。但是，隨著人們認(rèn)識(shí)的開展，這些大數(shù)也在迅速的擴(kuò)張，原有的記數(shù)單位難以為用。人們不禁要問：數(shù)有窮乎？這是數(shù)系開展中的需要答復(fù)的重大命題。?數(shù)術(shù)記遺?中記載的徐岳和他的老師劉洪的對(duì)話，精

9、彩的說明了“數(shù)窮那么變的深化道理：徐岳問曰：數(shù)有窮乎？會(huì)稽劉洪答曰：吾曾游天目山中，見有隱者，世莫知其名，號(hào)曰天目先生，余亦以此意問之。先生曰：世人言三不能比兩，乃云捐悶與四維。數(shù)不識(shí)三，妄談知十。不辨積微之為量，詎曉百億于大千？黃帝為法，數(shù)有十等。從億至載，終于大衍。會(huì)稽問曰：先生之言，上數(shù)者數(shù)窮那么變，既云終于大衍，大衍有限，此何得無窮？先生答曰：數(shù)之為用，言重那么變，以小兼大，又加循環(huán)。循環(huán)之理，且有窮乎！天目先生的做法是借助“以小兼大的“循環(huán)之理，以有限來認(rèn)識(shí)無限，而指引這一途徑的重要思想是“言重那么變。即便是今日，“數(shù)窮那么變這一樸素的辯證思維所蘊(yùn)涵的深邃哲理仍值得人們深思。三、有理

10、數(shù)系位置制記數(shù)法的出現(xiàn)，標(biāo)志著人類掌握的數(shù)的語言，已從少量的文字個(gè)體，開展到了一個(gè)具有完善運(yùn)算規(guī)那么的數(shù)系。人類第一個(gè)認(rèn)識(shí)的數(shù)系，就是常說的“自然數(shù)系。但是，隨著人類認(rèn)識(shí)的開展，自然數(shù)系的缺陷也就逐漸顯露出來。首先，自然數(shù)系是一個(gè)離散的、而不是稠密的數(shù)系2，因此，作為量的表征，它只能限于去表示一個(gè)單位量的整數(shù)倍，而無法表示它的部分。同時(shí)，作為運(yùn)算的手段，在自然數(shù)系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它們的逆運(yùn)算。這些缺陷，由于分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)的出現(xiàn)而得以彌補(bǔ)。有趣的是這些分?jǐn)?shù)也都帶有強(qiáng)烈的地域特征。巴比倫的分?jǐn)?shù)是60進(jìn)位的，埃及采用的是單分?jǐn)?shù)unitfraction，阿拉伯的分?jǐn)?shù)更加復(fù)雜：?jiǎn)畏謹(jǐn)?shù)、

11、主分?jǐn)?shù)和復(fù)合分?jǐn)?shù)。這種繁復(fù)的分?jǐn)?shù)表示必然導(dǎo)致分?jǐn)?shù)運(yùn)算方法的繁雜，所以歐洲分?jǐn)?shù)理論長(zhǎng)期停滯不前，直到15世紀(jì)以后才逐步形成現(xiàn)代的分?jǐn)?shù)算法。與之形成鮮明對(duì)照的是中國(guó)古代在分?jǐn)?shù)理論上的卓越奉獻(xiàn)。原始的分?jǐn)?shù)概念來源于對(duì)量的分割。如?說文·八部?對(duì)“分的解釋：“分，別也。從八從刀，刀以分別物也。但是，?九章算術(shù)?中的分?jǐn)?shù)是從除法運(yùn)算引入的。其“合分術(shù)有云：“實(shí)如法而一。不滿法者，以法命之。這句話的今譯是：被除數(shù)除以除數(shù)。假如不能除盡，便定義了一個(gè)分?jǐn)?shù)。中國(guó)古代分?jǐn)?shù)理論的高明之處是它借助于“齊同術(shù)把握住了分?jǐn)?shù)算法的精華：通分。劉徽在?九章算術(shù)注?中所言：眾分錯(cuò)雜，非細(xì)不會(huì)。乘而散之，所以通之。通

12、之那么可并也。凡母互乘子謂之齊，群母相乘謂之同。同者，相與通同共一母也。齊者，子與母齊，勢(shì)不可失本數(shù)也。有了齊同術(shù)，就可將分?jǐn)?shù)化異類為同類，變相違為相通。劉徽深得其中奧秘，稱：“然那么齊同之術(shù)要矣。錯(cuò)綜度數(shù)，動(dòng)之斯諧，其猶佩觹解結(jié)，無往而不理焉。乘以散之，約以聚之，齊同以通之，此其算之綱紀(jì)乎。容易證明，分?jǐn)?shù)系是一個(gè)稠密的數(shù)系，它對(duì)于加、乘、除三種運(yùn)算是封閉的。為了使得減法運(yùn)算在數(shù)系內(nèi)也同行無阻，負(fù)數(shù)的出現(xiàn)就是必然的了。盈余與缺乏、收入與支出、增加與減少是負(fù)數(shù)概念在生活中的實(shí)例，教科書在向?qū)W生講授負(fù)數(shù)是也多循此途。這就產(chǎn)生一種誤解：似乎人類正是從這種具有相反意義的量的認(rèn)識(shí)而引進(jìn)了負(fù)數(shù)的。歷史的事

13、實(shí)說明：負(fù)數(shù)之所以最早為中算家所引進(jìn)，這是由中國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，算法高度興隆和籌算機(jī)械化的特點(diǎn)所決定的。負(fù)數(shù)的概念和算法首先出如今?九章算術(shù)?“方程章，因?yàn)閷?duì)“方程進(jìn)展兩行之間的加減消元時(shí)，就必須引入負(fù)數(shù)和建立正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法那么。劉徽的注釋深化的說明了這點(diǎn)：今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之。正算赤，負(fù)算黑，否那么以斜正為異。方程自有赤黑相取，左右數(shù)相推求之術(shù)。而其并減之勢(shì)不得廣通，故使赤黑相消奪之。故赤黑相雜足以定上下之程，減益雖殊足以通左右之?dāng)?shù)，差實(shí)雖分足以應(yīng)同異之率。然那么其正無入負(fù)之，負(fù)無入正之，其率不妄也。負(fù)數(shù)雖然通過阿拉伯人的著作傳到了歐洲，但16世紀(jì)和17世紀(jì)的大多數(shù)數(shù)學(xué)家并不成認(rèn)它

14、們是數(shù)，或者即使成認(rèn)了也并不認(rèn)為它們是方程的根。如丘凱NicolasChuquet，1445-1500和斯蒂費(fèi)爾Stifel,1486-1567都把負(fù)數(shù)說成是荒唐的數(shù)，是“無稽之零下。卡丹Cardan,1501-1576把負(fù)數(shù)作為方程的根，但認(rèn)為它們是不可能的解，僅僅是一些記號(hào)；他把負(fù)根稱作是虛有的。韋達(dá)Vieta,1540-1630完全不要負(fù)數(shù)，巴斯卡Pascal,1623-1662那么認(rèn)為從0減去4純粹是胡說。負(fù)數(shù)是人類第一次越過正數(shù)域的范圍，前此種種的經(jīng)歷，在負(fù)數(shù)面前全然無用。在數(shù)系開展的歷史進(jìn)程中，現(xiàn)實(shí)經(jīng)歷有時(shí)不僅無用，反而會(huì)成為一種阻礙。我們將會(huì)看到，負(fù)數(shù)并不是惟一的例子。四、實(shí)數(shù)理

15、論的完善無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，擊碎了Pythagoras學(xué)派“萬物皆數(shù)的美夢(mèng)。同時(shí)暴露出有理數(shù)系的缺陷：一條直線上的有理數(shù)盡管是“稠密，但是它卻漏出了許多“孔隙，而且這種“孔隙多的“不可勝數(shù)。這樣，古希臘人把有理數(shù)視為是連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想，就徹底的破滅了。它的破滅，在以后兩千多年時(shí)間內(nèi)，對(duì)數(shù)學(xué)的開展，起到了深遠(yuǎn)的影響。不可通約的本質(zhì)是什么？長(zhǎng)期以來眾說紛紜。兩個(gè)不可通約量的比值也因其得不到正確的解釋，而被認(rèn)為是不可理喻的數(shù)。15世紀(jì)達(dá)芬奇LeonardodaVinci,1452-1519把它們稱為是“無理的數(shù)irrationalnumber，開普勒J(rèn).Kepler,1571-1630稱它們

16、是“不可名狀的數(shù)。這些“無理而又“不可名狀的數(shù)，找到雖然在后來的運(yùn)算中漸漸被使用，但是它們終究是不是實(shí)實(shí)在在的數(shù)，卻一直是個(gè)困擾人的問題。中國(guó)古代數(shù)學(xué)在處理開方問題時(shí)，也不可防止地碰到無理根數(shù)。對(duì)于這種“開之不盡的數(shù)，?九章算術(shù)?直截了當(dāng)?shù)亍耙悦婷枰猿惺?，劉徽注釋中的“求其微?shù)，實(shí)際上是用10進(jìn)小數(shù)來無限逼近無理數(shù)。這本是一條完成實(shí)數(shù)系統(tǒng)的正確道路，只是劉徽的思想遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了他的時(shí)代，而未能引起后人的重視。不過，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)關(guān)注的是數(shù)量的計(jì)算，對(duì)數(shù)的本質(zhì)并沒有太大的興趣。李而擅長(zhǎng)究根問底的希臘人就無法邁過這道坎了。既然不能抑制它，那就只好回避它。此后的希臘數(shù)學(xué)家，如歐多克斯Eudoxus、歐

17、幾里得Euclid在他們的幾何學(xué)里，都嚴(yán)格防止把數(shù)與幾何量等同起來。歐多克斯的比例論見?幾何本來?第5卷，使幾何學(xué)在邏輯上繞過了不可公度的障礙，但就在這以后的漫長(zhǎng)時(shí)期中，形成了幾何與算術(shù)的顯著別離。17、18世紀(jì)微積分的開展幾乎吸引了所有數(shù)學(xué)家的注意力，恰恰是人們對(duì)微積分根底的關(guān)注，使得實(shí)數(shù)域的連續(xù)性問題再次突顯出來。因?yàn)?，微積分是建立在極限運(yùn)算根底上的變量數(shù)學(xué)，而極限運(yùn)算，需要一個(gè)封閉的數(shù)域。無理數(shù)正是實(shí)數(shù)域連續(xù)性的關(guān)鍵。無理數(shù)是什么？法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西A.Cauchy,1789-1875給出了答復(fù)：無理數(shù)是有理數(shù)序列的極限。然而按照柯西的極限定義，所謂有理數(shù)序列的極限，意即預(yù)先存在一個(gè)確定的數(shù)

18、，使它與序列中各數(shù)的差值，當(dāng)序列趨于無窮時(shí)，可以任意小。但是，這個(gè)預(yù)先存在的“數(shù)，又從何而來呢？在柯西看來，有理序列的極限，似乎是先驗(yàn)地存在的。這說明，柯西盡管是那個(gè)時(shí)代大分析學(xué)家，但仍未能擺脫兩千多年來以幾何直覺為立論根底的傳統(tǒng)觀念的影響。變量數(shù)學(xué)獨(dú)立建造完備數(shù)域的歷史任務(wù)，終于在19世紀(jì)后半葉，由維爾斯特拉斯Weierstrass,1815-1897、戴德金R.Dedekind1831-1916、康托G.Cantor,1845-1918等人加以完成了。1872年，是近代數(shù)學(xué)史上最值得紀(jì)念的一年。這一年，克萊因F.Kline,1849-1925提出了著名的“埃爾朗根綱領(lǐng)ErlangerPro

19、gramm，維爾斯特拉斯給出了處處連續(xù)但處處不可微函數(shù)的著名例子。也正是在這一年，實(shí)數(shù)的三大派理論：戴德金“分割理論；康托的“根本序列理論，以及維爾斯特拉斯的“有界單調(diào)序列理論，同時(shí)在德國(guó)出現(xiàn)了。努力建立實(shí)數(shù)的目的，是為了給出一個(gè)形式化的邏輯定義，它既不依賴幾何的含義，又防止用極限來定義無理數(shù)的邏輯錯(cuò)誤。有了這些定義做根底，微積分中關(guān)于極限的根本定理的推導(dǎo)，才不會(huì)有理論上的循環(huán)。導(dǎo)數(shù)和積分從而可以直接在這些定義上建立起來，免去任何與感性認(rèn)識(shí)聯(lián)絡(luò)的性質(zhì)。幾何概念是不能給出充清楚白和準(zhǔn)確的，這在微積分開展的漫長(zhǎng)歲月的過程中已經(jīng)被證明。因此，必要的嚴(yán)格性只有通過數(shù)的概念，并且在割斷數(shù)的概念與幾何量觀

20、念的聯(lián)絡(luò)之后才能完全到達(dá)。這里，戴德金的工作受到了崇高的評(píng)價(jià)，這是因?yàn)?，由“戴德金分割定義的實(shí)數(shù)，是完全不依賴于空間與時(shí)間直觀的人類智慧的創(chuàng)造物。實(shí)數(shù)的三大派理論本質(zhì)上是對(duì)無理數(shù)給出嚴(yán)格定義，從而建立了完備的實(shí)數(shù)域。實(shí)數(shù)域的構(gòu)造成功，使得兩千多年來存在于算術(shù)與幾何之間的鴻溝得以完全填平，無理數(shù)不再是“無理的數(shù)了，古希臘人的算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想，也終于在嚴(yán)格的科學(xué)意義下得以實(shí)現(xiàn)。五、復(fù)數(shù)的擴(kuò)張復(fù)數(shù)概念的進(jìn)化是數(shù)學(xué)史中最奇特的一章，那就是數(shù)系的歷史開展完全沒有按照教科書所描繪的邏輯連續(xù)性。人們沒有等待實(shí)數(shù)的邏輯根底建立之后，才去嘗試新的征程。在數(shù)系擴(kuò)張的歷史過程中，往往許多中間地帶尚未得到完全認(rèn)識(shí)，而

21、天才的直覺隨著英勇者的步伐已經(jīng)到達(dá)了遙遠(yuǎn)的前哨陣地。1545年，此時(shí)的歐洲人尚未完全理解負(fù)數(shù)、無理數(shù)，然而他們智力又面臨一個(gè)新的“怪物的挑戰(zhàn)。例如卡丹在所著?重要的藝術(shù)?1545中提出一個(gè)問題：把10分成兩部分，使其乘積為40。這需要解方程x10-x=40，他求得的根是和，然后說“不管會(huì)受到多大的良心責(zé)備，把和相乘，得到2515=40。于是他說，“算術(shù)就是這樣神妙地搞下去，它的目的，正如常言所說，是有精致又不中用的。笛卡爾Descartes,1596-1650也拋棄復(fù)根，并造出了“虛數(shù)imaginarynumber這個(gè)名稱。對(duì)復(fù)數(shù)的模糊認(rèn)識(shí)，萊布尼茲Leibniz,1646-1716的說法最有

22、代表性：“圣靈在分析的奇觀中找到了超凡的顯示，這就是那個(gè)理想世界的端兆，那個(gè)介于存在與不存在之間的兩棲物，那個(gè)我們稱之為虛的1的平方根。直到18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們對(duì)復(fù)數(shù)才稍稍建立了一些信心。因?yàn)?，不管什么地方，在?shù)學(xué)的推理中間步驟中用了復(fù)數(shù)，結(jié)果都被證明是正確的。特別是1799年，高斯Gauss,1777-1855關(guān)于“代數(shù)根本定理的證明必須依賴對(duì)復(fù)數(shù)的成認(rèn)，從而使復(fù)數(shù)的地位得到了近一步的穩(wěn)固。當(dāng)然，這并不是說人們對(duì)“復(fù)數(shù)的顧慮完全消除了。甚至在1831年，棣莫甘DeMorgan,1806-1871在他的著作?論數(shù)學(xué)的研究和困難?中仍然認(rèn)為：已經(jīng)證明了記號(hào)是沒有意義的，或者甚至是自相矛盾或荒唐可笑

23、的。然而，通過這些記號(hào)，代數(shù)中極其有用的一部分便建立起來的，它依賴于一件必須用經(jīng)歷來檢驗(yàn)的事實(shí)，即代數(shù)的一般規(guī)那么可以應(yīng)用于這些式子復(fù)數(shù)。我們知道，18世紀(jì)是數(shù)學(xué)史上的“英雄世紀(jì)，人們的熱情是如何發(fā)揮微積分的威力，去擴(kuò)大數(shù)學(xué)的領(lǐng)地，沒有人會(huì)對(duì)實(shí)數(shù)系和復(fù)數(shù)系的邏輯根底而操心。既然復(fù)數(shù)至少在運(yùn)算法那么上還是直觀可靠的，那又何必去自找費(fèi)事呢？1797年，挪威的韋塞爾C.Wessel,1745-1818寫了一篇論文“關(guān)于方向的分析表示，試圖利用向量來表示復(fù)數(shù)，遺憾的是這篇文章的重大價(jià)值直到1897年譯成法文后，才被人們重視。瑞士人阿甘達(dá)J.Argand,1768-1822給出復(fù)數(shù)的一個(gè)略微不同的幾何解

24、釋。他注意到負(fù)數(shù)是正數(shù)的一個(gè)擴(kuò)張，它是將方向和大小結(jié)合起來得出的，他的思路是：能否利用新增添某種新的概念來擴(kuò)張實(shí)數(shù)系？在使人們承受復(fù)數(shù)方面，高斯的工作更為有效。他不僅將a+bi表示為復(fù)平面上的一點(diǎn)a,b，而且闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法和乘法。他還說，假如1,1和原來不稱為正、負(fù)和虛單位，而稱為直、反和側(cè)單位，那么人們對(duì)這些數(shù)就可能不會(huì)產(chǎn)生種種陰暗神秘的印象。他說幾何表示可以使人們對(duì)虛數(shù)真正有一個(gè)新的看法，他引進(jìn)術(shù)語“復(fù)數(shù)complexnumber以與虛數(shù)相對(duì)立，并用i代替。課本、報(bào)刊雜志中的成語、名言警句等俯首皆是,但學(xué)生寫作文運(yùn)用到文章中的甚少,即使運(yùn)用也很難做到恰如其分。為什么?還是沒有徹底“記

25、死的緣故。要解決這個(gè)問題,方法很簡(jiǎn)單,每天花3-5分鐘左右的時(shí)間記一條成語、一那么名言警句即可?？梢詫懺诤蠛诎宓摹胺e累專欄上每日一換,可以在每天課前的3分鐘讓學(xué)生輪流講解,也可讓學(xué)生個(gè)人搜集,每天往筆記本上抄寫,老師定期檢查等等。這樣,一年就可記300多條成語、300多那么名言警句,日積月累,終究會(huì)成為一筆不小的財(cái)富。這些成語典故“貯藏在學(xué)生腦中,自然會(huì)出口成章,寫作時(shí)便會(huì)隨心所欲地“提取出來,使文章增色添輝。在澄清復(fù)數(shù)概念的工作中，愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈米爾頓Hamilton,18051865是非常重要的。哈米爾頓所關(guān)心的是算術(shù)的邏輯，并不滿足于幾何直觀。他指出：復(fù)數(shù)a+bi不是23意義上的一個(gè)真正的和，加號(hào)的使用是歷史的偶爾，而bi不能加到a上去。復(fù)數(shù)a+bi只不過是實(shí)數(shù)的有序數(shù)對(duì)a，b，并給出了有序數(shù)對(duì)的四那么運(yùn)算，同時(shí)，這些運(yùn)算滿足結(jié)合律、交換率和分配率。在這樣的觀點(diǎn)下，不僅復(fù)數(shù)被邏輯地建立在實(shí)數(shù)的根底上，而且至今還有點(diǎn)神秘的也完全消除了。家庭是幼兒語言活動(dòng)的重要環(huán)境，為了與家長(zhǎng)配合做好幼兒閱讀訓(xùn)練工作，孩子一入園就召開家長(zhǎng)會(huì)，給家長(zhǎng)提出早期抓好幼兒閱讀的要求。我把幼兒在園里的閱讀活動(dòng)及閱讀情況及時(shí)傳遞給家長(zhǎng)，要求孩子回家向家