橢圓及其性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)題型總結(jié)

1、橢圓知識(shí)清單1.橢圓的兩種定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，即點(diǎn)集M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|；（時(shí)為線段，無軌跡）。其中兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫焦點(diǎn)，定點(diǎn)間的距離叫焦距。平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)和一定直線的距離的比是小于1的正常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，即點(diǎn)集M=P| ，0e1的常數(shù)。（為拋物線；為雙曲線）（利用第二定義,可以實(shí)現(xiàn)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化，定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為準(zhǔn)線）.2 標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)：（ab0）；焦點(diǎn)F1（c，0）， F2（c，0）。其中（一個(gè)三角形）（2）焦點(diǎn)在y軸上，中心在原點(diǎn)：（

2、ab0）；焦點(diǎn)F1（0，c），F(xiàn)2（0，c）。其中注意：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有ab0，并且橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上；兩種標(biāo)準(zhǔn)方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A0，B0，AB），當(dāng)AB時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，AB時(shí)焦點(diǎn)在y軸上。3 參數(shù)方程：焦點(diǎn)在x軸， （為參數(shù)）4 一般方程：5.性質(zhì)：對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)：（ab0）有以下性質(zhì)：坐標(biāo)系下的性質(zhì)： 范圍：|x|a，|y|b； 對(duì)稱性：對(duì)稱軸方程為x=0，y=0，對(duì)稱中心為O（0，0）； 頂點(diǎn)：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），長(zhǎng)軸|A1A2|=2a，短軸|B1B2|=2b；（半長(zhǎng)軸長(zhǎng)，半短軸長(zhǎng)）

3、；橢圓的準(zhǔn)線方程：對(duì)于，左準(zhǔn)線；右準(zhǔn)線 對(duì)于，下準(zhǔn)線；上準(zhǔn)線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（焦參數(shù)）橢圓的準(zhǔn)線方程有兩條，這兩條準(zhǔn)線在橢圓外部，與短軸平行，且關(guān)于短軸對(duì)稱 焦半徑公式：P（x0，y0）為橢圓上任一點(diǎn)。|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0；|PF1|=a+ey0，|PF2|=a-ey0 ，左加右減，上減下加通徑：過橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長(zhǎng)軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓通徑，通徑最短=平面幾何性質(zhì)：離心率：e=（焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比）；越大越扁，是圓。焦準(zhǔn)距；準(zhǔn)線間距兩個(gè)最大角焦點(diǎn)在y軸上，中心在原點(diǎn)：（ab0）的性質(zhì)可類似的給出。6焦點(diǎn)三角形應(yīng)注意以下關(guān)系：(1) 定義：r1r22a

4、(2) 余弦定理：2r1r2cos(2c)2(3) 面積：r1r2 sin·2c| y0 |= c| y0 |= (其中P()為橢圓上一點(diǎn)，|PF1|r1，|PF2|r2，F(xiàn)1PF2)7.共焦點(diǎn)的橢圓系設(shè)法：把橢圓（ab0）的共焦點(diǎn)橢圓設(shè)為8.特別注意：橢圓方程中的a,b,c,e與坐標(biāo)系無關(guān),而焦點(diǎn)坐標(biāo),準(zhǔn)線方程,頂點(diǎn)坐標(biāo),與坐 標(biāo)系有關(guān).因此確定橢圓方程需要三個(gè)條件:兩個(gè)定形條件a,b,一個(gè)定位條件焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程.9.弦長(zhǎng)公式： （a,b,c為方程的系數(shù)考點(diǎn)解析考點(diǎn)一 橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 題型1:橢圓定義的運(yùn)用例1 .橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射

5、后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，點(diǎn)A、B是它的焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，焦距為2c，靜放在點(diǎn)A的小球（小球的半徑不計(jì)），從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的路程是（ ）OxyDPABCQA4aB2(ac)C2(a+c)D以上答案均有可能 例2.點(diǎn)P為為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，試求：取得最值時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)。題型2 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 例3.設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)距離為4，求此橢圓方程.考點(diǎn)二 橢圓的幾何性質(zhì) 題型1:求橢圓的離心率（或范圍）例4. 在中，若以為

6、焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率 題型2:橢圓的其他幾何性質(zhì)的運(yùn)用（范圍、對(duì)稱性等）例5. 已知實(shí)數(shù)滿足,求的最大值與最小值考點(diǎn)三 橢圓的最值問題題型1: 動(dòng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)涉及的距離、面積的最值例6.橢圓上的點(diǎn)到直線l:的距離的最小值為_題型2.1、的最值若A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)（異于焦點(diǎn)），P是C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是C的一個(gè)焦點(diǎn)，e是C的離心率，求的最小值。例7. 已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)A（2，1），F(xiàn)是橢圓C的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值。2、的最值若A為橢圓C內(nèi)一定點(diǎn)（異于焦點(diǎn)），P為C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是C的一個(gè)焦點(diǎn)，求的最值。例8 已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)A（2，1），F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，P是橢

7、圓上動(dòng)點(diǎn)，求的最大值與最小值。3、的最值若A為橢圓C外一定點(diǎn)，為C的一條準(zhǔn)線，P為C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P到的距離為d，求的最小值。例9. 已知橢圓外一點(diǎn)A（5，6），為橢圓的左準(zhǔn)線，P為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到的距離為d，求的最小值。4、橢圓上定長(zhǎng)動(dòng)弦中點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的最值例10. 定長(zhǎng)為的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在橢圓上移動(dòng)，求AB的中點(diǎn)M到橢圓右準(zhǔn)線的最短距離?？键c(diǎn)四 直線與橢圓相交問題題型1 直線與橢圓相交求弦長(zhǎng)(1) 常用分析一元二次方程解的情況，僅有還不夠，且用數(shù)形結(jié)合的思想。(2) 弦的中點(diǎn)，弦長(zhǎng)等，利用根與系數(shù)的關(guān)系式，但>0這一制約條件不同意。 （a,b,c為方程的系數(shù)）例11.已知直

8、線過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，斜率為2，與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)。題型2“點(diǎn)差法”解題?！霸O(shè)而不求”的思想。當(dāng)涉及至平行法的中點(diǎn)軌跡，過定點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡，過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦所在直線方程，用“點(diǎn)差法”來求解。步驟：1.設(shè)A(x1,y1) B(x2,y2)分別代入橢圓方程；2.設(shè)為AB的中點(diǎn)。兩式相減，3.得出注：一般的，對(duì)橢圓上弦及中點(diǎn)，有例12.已知橢圓， 求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程考點(diǎn)五.軌跡問題這一問題難，但是解決法非常多，有如下幾種。1.直接法：根據(jù)條件，建立坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)(x，y)，直接列出動(dòng)點(diǎn)所應(yīng)滿足的方程。2.代入法：一個(gè)是動(dòng)點(diǎn)Q(x0,y0)在已知曲線F(x,y)=0，上

9、運(yùn)動(dòng)，而動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與Q點(diǎn)滿足某種關(guān)系，要求P點(diǎn)的軌跡。其關(guān)鍵是列出P、Q兩點(diǎn)的關(guān)系式3.定義法：通過對(duì)軌跡點(diǎn)的分析，發(fā)現(xiàn)與某個(gè)圓錐曲線的定義相符，則通過這個(gè)定義求出方程。4.參數(shù)法：在x，y間的方程F(x,y)=0難以直接求得時(shí)，往往用(t為參數(shù))來反映x，y之間的關(guān)系。常用的參數(shù)有斜率k與角等。例13：的一邊的的頂點(diǎn)是B(0,6)和C(0,-6)，另兩邊斜率的乘積是，求頂點(diǎn)A的軌跡方程：考點(diǎn)六 綜合性問題，與平面向量結(jié)合（2011四川卷理）（本小題滿分12分） 橢圓有兩頂點(diǎn)A(-1，0)、B(1，0)，過其焦點(diǎn)F(0，1)的直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P直線AC與直線BD

10、交于點(diǎn)Q (I)當(dāng)|CD | = 時(shí)，求直線l的方程； (II)當(dāng)點(diǎn)P異于A、B兩點(diǎn)時(shí)，求證： 為定值。 解：由已知可得橢圓方程為，設(shè)的方程為為的斜率則的方程為或?yàn)樗螅ǎ┊?dāng)直線與軸垂直時(shí)與題意不符設(shè)直線的方程為，所以點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)，由（）知，直線的方程為，直線的方程為將兩直線方程聯(lián)立，消去得因?yàn)?，所以與異號(hào) 又與異號(hào)，與同號(hào)，解得因此點(diǎn)坐標(biāo)為，故為定值（2013四川卷理）（本小題滿分12分）已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)（）求橢圓的離心率；（）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)的軌跡方程解：(1)由橢圓定義知，2a|PF1|PF2|，所以.又由已知，c1.所以橢圓C的離心率.(2)由(1)知，橢圓C的方程為y21.設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)(1)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l與橢圓C交于(0,1)，(0，1)兩點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.(2)當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為ykx2.因?yàn)镸，N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，kx12)，(x2，kx22)，則|AM|2(1k2)x12，|AN|2(1k2)x22.又|AQ|2x2(y2)2(1k2)x2.由，得，即.將ykx2代入y21中，得(2k21)x28kx60.由(8k)24×(2k21)×60，得k2.由