南昌大學(xué)第五屆05、06級(jí)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)類(lèi)試題及答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上序號(hào)： 姓名： _ 學(xué)院: 專(zhuān)業(yè)： 學(xué)號(hào)： 考試日期： 2008年9月21日 題號(hào)一二三四五六七八九十總分累分人 簽名題分2110121012101213 100得分注: 本卷共九頁(yè), 八道大題, 考試時(shí)間為8:3011:30.一、計(jì)算題(每題7分，共21分) 得分評(píng)閱人 1、；2、求維空間中半徑為的球體的體積，即求維球體的體積；3、求。 南昌大學(xué)第五屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽（數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)類(lèi)2005、2006級(jí)）試卷二、證明題（10分）得分評(píng)閱人 設(shè)在a,b上連續(xù)，且對(duì)每個(gè)a,b，有界，則a,b中必存在一個(gè)小區(qū)間使在其上一致有界。三、證明題（12分）得分評(píng)閱人 設(shè)集合S=。證明：(

2、1) 集合S沒(méi)有最大數(shù)和最小數(shù)；(2) 集合S在Q內(nèi)沒(méi)有上確界與下確界。四、證明題（10分）得分評(píng)閱人 給定平面上的一個(gè)三角形，求證在任意方向上都存在一條直線，能將三角形分成面積相等的兩部分。五、證明題（12分）得分評(píng)閱人 設(shè)是定義在有界實(shí)數(shù)集E上的實(shí)函數(shù)，對(duì)于E中的任一收斂數(shù)列，也是一收斂數(shù)列，求證在E上一致連續(xù)。六、計(jì)算題（10分）得分評(píng)閱人 假設(shè)函數(shù)在區(qū)間a,b可微，但不是常數(shù)，且有=0，則在a,b中至少存在一點(diǎn)，使得。七、證明題（12分）得分評(píng)閱人 設(shè)。已知時(shí)，有，且。求證級(jí)數(shù)的收斂半徑為1。八、計(jì)算題（13分）得分評(píng)閱人 計(jì)算 南昌大學(xué)第五屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽（數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)類(lèi)2005、2006

3、級(jí)）試卷答案和評(píng)分細(xì)則一、1因?yàn)?= =-1 所以 2.設(shè)球體的體積為，則令，即可將原積分化為單位上的積分，得，其中表示時(shí)維球體的體積。 于是 = = =(令) =2 =。由，可得=。因此，。 3，單調(diào)遞減，且關(guān)于一直趨于0，的部分和一致有界，由狄立克萊判別法，在一致收斂。 所以，=。 二、證明：反證，假設(shè)區(qū)間a,b中不存在小區(qū)間使在其上一致有界，記區(qū)間a,b為。則，存在自然數(shù)及，使|>。 現(xiàn)在取，則存自然數(shù)及，使|>1。由于在區(qū)間連續(xù)，存在，使得，有|>1?，F(xiàn)在取，則存自然數(shù)及，使|>2。由于在區(qū)間連續(xù)，存在，使得，有|>2，.,這樣可得到區(qū)間序列以及自然數(shù)序列

4、，使得：(1)，(2)，。 所以存在，使得，這和條件：對(duì)每個(gè)a,b，有界矛盾。所以，區(qū)間a,b中存在小區(qū)間使在其上一致有界。三、證明：(1)反證：假設(shè)為最大數(shù)，則。顯然，。 由于。所以當(dāng)充分大時(shí)，。于是， 而且，故。所以由上面的不等式可知：。這與為最大數(shù)矛盾。所以中沒(méi)有最大數(shù)。同理，中沒(méi)有最小數(shù)。 (2)反證：假設(shè)在中有上確界，設(shè)為，則。由上確界的定義可知：。 由(1)的證明可知：不成立。因此，。由于，因此，其中為互質(zhì)的整數(shù)。于是，?？芍瑸?的倍數(shù)，設(shè)。于是?？芍?，也為3的倍數(shù)。這與為互質(zhì)的整數(shù)矛盾。故不成立，即在中沒(méi)有上確界。同理，在中沒(méi)有下確界。 四、證明：設(shè)三角形的面積為，設(shè)為任一給定

5、的方向，將三角形放置于矩形中，并且使。以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，以表示平行于軸且在軸上的截距為的直線截三角形左邊所得到的面積。由于，所以為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。 設(shè)，且設(shè)。則易知：。由介值定理，存在，使得。于是，過(guò)且平行于軸的直線即為所求。 五、證明：反證：假設(shè)在E上不一致連續(xù)。則，：，使得?，F(xiàn)在取，則存在：，使得。而E為有界數(shù)列，所以存在一個(gè)收斂的子列。不妨，設(shè)。則由可知：。 所以，都是收斂的數(shù)列。將數(shù)列記為，則數(shù)列為收斂的數(shù)列，故為收斂的數(shù)列，但是，。這和為收斂的數(shù)列矛盾。所以在E上一致連續(xù)。 六、證明：用表示在a,b上的上確界，則>0，并且 ，。 其中。下面證明上面兩個(gè)不等式的等號(hào)不能恒成立。事實(shí)上，若，且。則函數(shù)在的左、右導(dǎo)數(shù)分別為：，。由>0，可推得不存在。這和條件矛盾。 因?yàn)樵趨^(qū)間a,b連續(xù)，且上面的兩個(gè)不等式不能恒成立，因此，即。 由確界的定義可知：在a,b中至少存在一點(diǎn)，使得. 七、證明：設(shè)分別為級(jí)數(shù)的收斂半徑。由于當(dāng)時(shí)，可知當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。故。 又，所以當(dāng)充分大時(shí)，。因此，于是當(dāng)取值使級(jí)數(shù)收斂，必使級(jí)數(shù)也收斂。故。 而=+， 由知=1，即=1。此說(shuō)明。所以。 八、解：令=。則=。所以=(+) =- (*) 對(duì)于固定的，由(-)=+=()<0,可知為