概率論與數(shù)理統(tǒng)計復旦大學出社課后答案

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題及答案第一章1略.見教材習題參考答案.2.設A，B，C為三個事件，試用A，B，C的運算關系式表示下列事件：（1） A發(fā)生，B，C都不發(fā)生； （2） A，B，C都發(fā)生； （3） A，B，C至少有一個發(fā)生；（4） A，B，C都不發(fā)生； （5） A，B，C不都發(fā)生；（6） A，B，C至多有1個不發(fā)生； 【解】（1） （2） （3） (4) = (5) (6) =3.略.見教材習題參考答案4.設A，B為隨機事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（）.【解】 P（）=1-P（AB）=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.65.設A，B是兩事件，且P（A）=

2、0.6,P(B)=0.7,求：（1） 在什么條件下P（AB）取到最大值？（2） 在什么條件下P（AB）取到最小值？【解】（1） 當AB=A時，,取到最大值為0.6.（2） 當AB=時，,取到最小值為0.3.6.設A，B，C為三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件發(fā)生的概率.【解】 因為P（AB）=P（BC）=0，所以P(ABC)=0，由加法公式可得 =+-=7.從52張撲克牌中任意取出13張，問有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花的概率是多少？【解】 設表示“取出的13張牌中有5張黑桃，3張紅心，3

3、張方塊，2張梅花”，則樣本空間中樣本點總數(shù)為 , 中所含樣本點 ,所求概率為8.對一個五人學習小組考慮生日問題：（1） 求五個人的生日都在星期日的概率； （2） 求五個人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五個人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 設A1=五個人的生日都在星期日，基本事件總數(shù)為75，有利事件僅1個，故 P（A1）=（）5 （亦可用獨立性求解，下同）（2） 設A2=五個人生日都不在星期日，有利事件數(shù)為65，故P（A2）=()5(3) 設A3=五個人的生日不都在星期日P（A3）=1-P(A1)=1-()59.略.見教材習題參考答案.10.一批產(chǎn)品共N件，其中M件正品.從中隨機地

4、取出n件（n<N）.試求其中恰有m件（mM）正品（記為A）的概率.如果：（1） n件是同時取出的；（2） n件是無放回逐件取出的；（3） n件是有放回逐件取出的.【解】（1）n件是同時取出, 樣本空間中樣本點總數(shù)為, 中所含樣本點 ，所求概率為 ；(2) 由于是無放回逐件取出，可用排列法計算.樣本點總數(shù)有種，n次抽取中有m次為正品的組合數(shù)為種.對于固定的一種正品與次品的抽取次序，從M件正品中取m件的排列數(shù)有種，從N-M件次品中取n-m件的排列數(shù)為種，故由于無放回逐漸抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可寫成可以看出，用第二種方法簡便得多.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N種取法，故所

5、有可能的取法總數(shù)為種，n次抽取中有m次為正品的組合數(shù)為種，對于固定的一種正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M種取法，共有種取法，n-m次取得次品，每次都有N-M種取法，共有種取法，故此題也可用貝努里概型，共做了n重貝努里試驗，每次取得正品的概率為，則取得m件正品的概率為11.略.見教材習題參考答案.12. 50只鉚釘隨機地取來用在10個部件上，其中有3個鉚釘強度太弱.每個部件用3只鉚釘.若將3只強度太弱的鉚釘都裝在一個部件上，則這個部件強度就太弱.求發(fā)生一個部件強度太弱的概率是多少？【解】設A=發(fā)生一個部件強度太弱,樣本空間中樣本點總數(shù)為, 中所含樣本點 ，因此，所求概率為 13.一個袋內(nèi)

6、裝有大小相同的7個球，其中4個是白球，3個是黑球，從中一次抽取3個，計算至少有兩個是白球的概率.【解】 設Ai=恰有i個白球（i=2,3），顯然A2與A3互不相容. 樣本空間中樣本點總數(shù)為， 中所含樣本點數(shù)為 ，中所含樣本點數(shù)為 ，故 所求概率為 14.有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.7，在兩批種子中各隨機取一粒，求：（1） 兩粒都發(fā)芽的概率；（2） 至少有一粒發(fā)芽的概率；（3） 恰有一粒發(fā)芽的概率.【解】設Ai=第i批種子中的一粒發(fā)芽，（i=1,2）注意到相互獨立，所求概率為(1) (2) (3) 15.擲一枚均勻硬幣直到出現(xiàn)3次正面才停止.（1） 問正好在第6次停止的概率；（2）

7、 問正好在第6次停止的情況下，第5次也是出現(xiàn)正面的概率.【解】（1） 設表示“正好在第6次停止”，表示“第5次出現(xiàn)正面”，事件發(fā)生意味著“前5次中恰好出現(xiàn)兩次正面，且第六次出現(xiàn)正面”，事件發(fā)生意味著“前4次中恰好出現(xiàn)1次正面，且第五、六次出現(xiàn)正面”，由伯努利概型公式可知，所求概率為（1） (2) 16.甲、乙兩個籃球運動員，投籃命中率分別為0.7及0.6，每人各投了3次，求二人進球數(shù)相等的概率.【解】 設Ai=甲進i球，i=0,1,2,3,Bi=乙進i球,i=0,1,2,3,三次投籃可以看做是3重伯努利試驗，由伯努利概型公式可知，所求概率為 =0.3207617從5雙不同的鞋子中任取4只，求這

8、4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率.【解】 設 表示“4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙”，從5雙不同的鞋子中任取4只，取法總數(shù)為, 表示“4只鞋子中沒有配對的鞋子”，中所含基本事件數(shù)為, 所求概率為 18.某地某天下雪的概率為0.3，下雨的概率為0.5，既下雪又下雨的概率為0.1,求：（1） 在下雨條件下下雪的概率；（2） 這天下雨或下雪的概率.【解】 設A=下雨，B=下雪.（1） （2） 19.已知一個家庭有3個小孩，且其中一個為女孩，求至少有一個男孩的概率（小孩為男為女是等可能的）.【解】 設A=其中一個為女孩，B=至少有一個男孩，樣本點總數(shù)為23=8，故或在縮減樣本空間中求，此時樣本

9、點總數(shù)為7.20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，現(xiàn)隨機地挑選一人，此人恰為色盲，問此人是男人的概率（假設男人和女人各占人數(shù)的一半）.【解】 設A=此人是男人， B=此人是色盲，則=此人是女人，顯然，是樣本空間的一個劃分，且,由貝葉斯公式得 21.兩人約定上午9001000在公園會面，求一人要等另一人半小時以上的概率. 題21圖 題22圖【解】設兩人到達時刻分別為,則，可知樣本空間是“邊長為60的正方形區(qū)域”，設表示 “一人要等另一人半小時以上”，等價于，如圖陰影部分所示.由幾何概型的概率公式可得22.從（0，1）中隨機地取兩個數(shù)，求：（1） 兩個數(shù)之和小于的概率；（2） 兩個數(shù)之積小

10、于的概率.【解】設兩數(shù)分別為,則,可知樣本空間是“邊長為1的正方形區(qū)域”. (1)設表示 “兩個數(shù)之和小于”，等價于,如圖陰影部分所示.由幾何概型的概率公式可得 (2) 設表示 “兩個數(shù)之積小于”，等價于,如圖陰影部分所示.由幾何概型的概率公式可得 23.設P（）=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5，求P（BA）【解】 24.在一個盒中裝有15個乒乓球，其中有9個新球，在第一次比賽中任意取出3個球，比賽后放回原盒中；第二次比賽同樣任意取出3個球，求第二次取出的3個球均為新球的概率.【解】 設Ai=第一次取出的3個球中有i個新球，i=0,1,2,3.B=第二次取出的3球均為新球。顯然，是

11、樣本空間的一個劃分。由全概率公式，有25. 按以往概率論考試結(jié)果分析，努力學習的學生有90%的可能考試及格，不努力學習的學生有90%的可能考試不及格.據(jù)調(diào)查，學生中有80%的人是努力學習的，試問：（1）考試及格的學生有多大可能是不努力學習的人？（2）考試不及格的學生有多大可能是努力學習的人？【解】設A=被調(diào)查學生是努力學習的，則=被調(diào)查學生是不努力學習的，顯然，是樣本空間的一個劃分，由題意知P（A）=0.8，P（）=0.2，又設B=被調(diào)查學生考試及格.由題意知P（B|A）=0.9，P（|）=0.9，故由貝葉斯公式知（1） 即考試及格的學生中不努力學習的學生僅占2.702%(2) 即考試不及格的

12、學生中努力學習的學生占30.77%.26. 將兩信息分別編碼為A和B傳遞出來，接收站收到時，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01.信息A與B傳遞的頻繁程度為21.若接收站收到的信息是A，試問原發(fā)信息是A的概率是多少？【解】 設A=原發(fā)信息是A， C=收到信息是A，則則=原發(fā)信息是B，=收到信息是B由貝葉斯公式，得 27.在已有兩個球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若發(fā)現(xiàn)這球為白球，試求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的顏色只有黑、白兩種）【解】設Ai=箱中原有i個白球（i=0,1,2），顯然，是樣本空間的一個劃分。由題設條件知P（Ai）=,i=0,1

13、,2.又設B=抽出一球為白球.由貝葉斯公式知28.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時，一個合格品被誤認為是次品的概率為0.02，一個次品被誤認為是合格品的概率為0.05，求在被檢查后認為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率.【解】 設A=產(chǎn)品確為合格品，B=產(chǎn)品被認為是合格品由貝葉斯公式得 29.某保險公司把被保險人分為三類：“謹慎的”，“一般的”，“冒失的”.統(tǒng)計資料表明，上述三種人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15和0.30；如果“謹慎的”被保險人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，現(xiàn)知某被保險人在一年內(nèi)出了事故，則他是“謹慎的”的概率是多少？【解】 設A=該客

14、戶是“謹慎的”，B=該客戶是“一般的”，C=該客戶是“冒失的”，D=該客戶在一年內(nèi)出了事故則由貝葉斯公式得 30.加工某一零件需要經(jīng)過四道工序，設第一、二、三、四道工序的次品率分別為0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互獨立的，求加工出來的零件的次品率.【解】設Ai=第i道工序出次品（i=1,2,3,4）. 31.設每次射擊的命中率為0.2，問至少必須進行多少次獨立射擊才能使至少擊中一次的概率不小于0.9?【解】設表示“進行n次獨立射擊至少擊中一次”，則表示“進行n次獨立射擊一次都沒擊中”。由題意知即 ，解不等式得 n11，故至少必須進行11次獨立射擊.32.證明：若P（A

15、B）=P(A)，則A，B相互獨立.【證】 即亦即 因此 故A與B相互獨立.33.三人獨立地破譯一個密碼，他們能破譯的概率分別為，求將此密碼破譯出的概率.【解】 設Ai=第i人能破譯（i=1,2,3），則 34.甲、乙、丙三人獨立地向同一飛機射擊，設擊中的概率分別是0.4,0.5,0.7，若只有一人擊中，則飛機被擊落的概率為0.2；若有兩人擊中，則飛機被擊落的概率為0.6；若三人都擊中，則飛機一定被擊落，求：飛機被擊落的概率.【解】設A=飛機被擊落，Bi=恰有i人擊中飛機，i=0,1,2,3由全概率公式，得=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3

16、+0.6×0.5×0.7) ×0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7) ×0.6+（0.4×0.5×0.7）×1=0.45835.一架升降機開始時有6位乘客，并等可能地停于十層樓的每一層.試求下列事件的概率：（1） A=“某指定的一層有兩位乘客離開”；（2） B=“沒有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開”；（3） C=“恰有兩位乘客在同一層離開”；（4） D=“至少有兩位乘客在同一層離開”.【解】 由于每位乘客均可在10層樓中

17、的任一層離開，故所有可能結(jié)果為106種.（1） ，也可由6重貝努里模型：（2） 6個人在十層中任意六層離開，故（3） 由于沒有規(guī)定在哪一層離開，故可在十層中的任一層離開，有種可能結(jié)果，再從六人中選二人在該層離開，有種離開方式.其余4人中不能再有兩人同時離開的情況，因此可包含以下三種離開方式：4人中有3個人在同一層離開，另一人在其余8層中任一層離開，共有種可能結(jié)果；4人同時離開，有種可能結(jié)果；4個人在不同樓層離開，有種可能結(jié)果，故（4） D=.故36. n個朋友隨機地圍繞圓桌而坐，求下列事件的概率：（1） 甲、乙兩人坐在一起，且乙坐在甲的左邊的概率；（2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3）

18、如果n個人并排坐在長桌的一邊，求上述事件的概率.【解】 n個朋友隨機地圍繞圓桌而坐，基本事件總數(shù)為（1） 設表示“甲、乙兩人坐在一起，且乙坐在甲的左邊”，則所含基本事件數(shù)為，于是(2) 設表示“甲、乙、丙三人坐在一起”，則所含基本事件數(shù)為，于是(3) 如果n個人并排坐在長桌的一邊，基本事件總數(shù)為，所含基本事件數(shù)為， 所含基本事件數(shù)為 ，于是37.將線段0，a任意折成三折，試求這三折線段能構(gòu)成三角形的概率【解】 設這三段長分別為.則樣本空間為由，即 所構(gòu)成的圖形，有利事件集（三角形的兩邊之和大于第三邊）為由構(gòu)成的圖形，即 如圖陰影部分所示，故所求概率為.38. 某人有n把鑰匙，其中只有一把能開他

19、的門.他逐個將它們?nèi)ピ囬_（抽樣是無放回的）.證明試開k次（k=1,2,n）才能把門打開的概率與k無關.【證】 （考慮次序）基本事件總數(shù)為 ， “試開k次（k=1,2,n）才把門打開”，意味著“第次打開門之前，在不能打開門的把鑰匙中選則了次”， 共有種選擇方法，因此 由計算結(jié)果可以看出“概率與k無關”。39.把一個表面涂有顏色的立方體等分為一千個小立方體，在這些小立方體中，隨機地取出一個，試求它有i面涂有顏色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）.【解】 設Ai=小立方體有i面涂有顏色，i=0,1,2,3. 在1千個小立方體中，只有位于原立方體的角上的小立方體是三面有色的，這樣的小立方體共有8個

20、.只有位于原立方體的棱上（除去八個角外）的小立方體是兩面涂色的，這樣的小立方體共有12×8=96個.同理，原立方體的六個面上（除去棱）的小立方體是一面涂色的，共有8×8×6=384個.其余1000-（8+96+384）=512個內(nèi)部的小立方體是無色的，故所求概率為,.40.對任意的隨機事件A，B，C，試證P（AB）+P（AC）-P（BC）P(A).【證】 41.將3個球隨機地放入4個杯子中去，求杯中球的最大個數(shù)分別為1，2，3的概率.【解】 設=杯中球的最大個數(shù)為i,i=1,2,3.將3個球隨機放入4個杯子中，全部可能放法有43種，杯中球的最大個數(shù)為1時，每個杯中

21、最多放一球，故而杯中球的最大個數(shù)為3，即三個球全放入一個杯中，故因此 或 42.將一枚均勻硬幣擲2n次，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.【解】擲2n次硬幣，可能結(jié)果：A=正面次數(shù)多于反面次數(shù)，B=正面次數(shù)少于反面次數(shù)，C=正面次數(shù)等于反面次數(shù)，易知A，B，C是樣本空間的一個劃分，故由于硬幣是均勻的,考慮到對稱性，故P（A）=P（B）.所以在2n重貝努里試驗中正面出現(xiàn)n次的概率為 故 43.證明“確定的原則”（Sure-thing）：若P（A|C）P(B|C),P(A|)P(B|)，則P（A）P(B).【證】由P（A|C）P(B|C),得即有 同理由 得 故 44.一列火車共有n節(jié)車廂，有k(

22、kn)個旅客上火車并隨意地選擇車廂.求每一節(jié)車廂內(nèi)至少有一個旅客的概率.【解】 設Ai=第i節(jié)車廂是空的，（i=1,n）,則其中i1,i2,in-1是1，2，n中的任n-1個.顯然n節(jié)車廂全空的概率是零，于是 故所求概率為45.設隨機試驗中，某一事件A出現(xiàn)的概率為>0.試證明：不論>0如何小，只要不斷地獨立地重復做此試驗，則A遲早會出現(xiàn)的概率為1.【證】在n重獨立試驗中,事件都不發(fā)生概率為： 由于為隨機事件發(fā)生的概率,而題目給定>0,因此其定義域為假設n足夠大,即，在 上,由極限定義可得即假設n足夠大,n次獨立試驗中都不發(fā)生的概率為時, 因而在n足夠大時, 至少發(fā)生一次的概率

23、為 。 證畢。46.袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國徽）.在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國徽.試問這只硬幣是正品的概率是多少？【解】設A=投擲硬幣r次都得到國徽B=這只硬幣為正品由題知 則由貝葉斯公式知 47.求n重貝努里試驗中A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率.【解】 設在一次試驗中A出現(xiàn)的概率為p.則由.，得所求概率為若要計算在n重貝努里試驗中A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率，則只要將兩式相加，即得.48.某人向同一目標獨立重復射擊每次射擊命中目標的概率為，求此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率?！窘狻?根據(jù)獨立重復的伯努利試驗，前3次射擊中1次成功2次失敗其概率為，再加上第4次射擊命中目標，其概率為，根據(jù)獨立性，所求概率為.49. 設是隨機事件, 互不相容，,，求.【解】因為互不相容，所以,當然,于是.50.設A，B是任意兩個隨機事件，求P（+B