概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-課程設(shè)計(jì)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程設(shè)計(jì)概率論的起源、發(fā)展和應(yīng)用作者： 摘要： 論文簡要介紹了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)科的起源和發(fā)展，以及概率論與理統(tǒng)計(jì)在生活中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，起源，發(fā)展，應(yīng)用1、引言 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，也是一門應(yīng)用性很強(qiáng)又頗具特色的數(shù)學(xué)學(xué)科。它在包括控制、通信、生物、物理、力學(xué)、金融、社會科學(xué)等工程技術(shù)領(lǐng)域以及科學(xué)研究、經(jīng)濟(jì)管理、企業(yè)管理、經(jīng)濟(jì)預(yù)測等眾多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用；它與其他數(shù)學(xué)分支有著緊密的聯(lián)系（如微積分、高等代數(shù)、測度論等），是近代數(shù)學(xué)的重要組成部分；它的方法和理論向各個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科、工程學(xué)科的滲透，是近代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的特征之一；它與基礎(chǔ)

2、學(xué)科相結(jié)合產(chǎn)生出了許多邊緣學(xué)科，如生物統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)物理、數(shù)學(xué)地質(zhì)等；它又是許多新興的重要學(xué)科的基礎(chǔ)，如信息論、控制論、可靠性理論、人工智能、信息編碼理論和數(shù)據(jù)挖掘等。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是工科大學(xué)的一門應(yīng)用性很強(qiáng)的必修基礎(chǔ)課。學(xué)習(xí)和掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本理論和基本方法并將其靈活應(yīng)用于科學(xué)研究和工程實(shí)際中，是社會發(fā)展對高素質(zhì)人才培養(yǎng)提出的必然要求。2、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的起源概率論的萌芽源于十七世紀(jì)保險(xiǎn)業(yè)的發(fā)展，但是真正引發(fā)數(shù)學(xué)家們思考的源泉，卻是賭博者的請求。十七世紀(jì)中葉，法國貴族德·美黑在骰子賭博中，有事急于抽身，須中途停止賭博，需要根據(jù)對勝負(fù)的預(yù)測把賭資進(jìn)行合理的分配，但不知用什么

3、樣的比例分配才算合理，于是就寫信向當(dāng)時(shí)法國的最高數(shù)學(xué)家帕斯卡請教。正是這封信使概率論在歷史的舞臺邁出了第一步。帕斯卡和當(dāng)時(shí)第一流的數(shù)學(xué)家費(fèi)爾瑪一起，研究了德·美黑提出的關(guān)于骰子賭博的問題。于是，一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支-概率論登上了歷史舞臺。三年后，也就是1657年，荷蘭著名的天文、物理兼數(shù)學(xué)家惠更斯企圖自己解決這一問題，結(jié)果寫成了論機(jī)會游戲的計(jì)算一書，這就是最早的概率論著作。為概率論確定嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)的是數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫。1933年，他發(fā)表了著名的概率論的基本概念，用公理化結(jié)構(gòu)，這個(gè)結(jié)構(gòu)明確定義了概率論發(fā)展史上的一個(gè)里程碑，為以后的概率論的迅速發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。3、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的發(fā)展數(shù)

4、理統(tǒng)計(jì)的發(fā)展大致可分為古典時(shí)期、近代時(shí)期和現(xiàn)代時(shí)期三個(gè)階段。古典時(shí)期（19世紀(jì)以前）這是描述性的統(tǒng)計(jì)學(xué)形成和發(fā)展階段，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的萌芽時(shí)期。在這一時(shí)期里，瑞土數(shù)學(xué)家貝努里（16541795年）較早地系統(tǒng)論證了大數(shù)定律。1763年，英國數(shù)學(xué)家貝葉斯提出了一種歸納推理的理論，后被發(fā)展為一種統(tǒng)計(jì)推斷方法貝葉斯方法，開創(chuàng)了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的先河。法國數(shù)學(xué)家棣莫佛（16671754）于1733年首次發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布的密度函數(shù)，并計(jì)算出該曲線在各種不同區(qū)間內(nèi)的概率，為整個(gè)大樣本理論奠定了基礎(chǔ)。1809年，德國數(shù)學(xué)家高斯（17771855）和法國數(shù)學(xué)家勒讓德（17521833）各自獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了最小二乘法，并應(yīng)用于觀測

5、數(shù)據(jù)的誤差分析。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論與應(yīng)用方面都作出了重要貢獻(xiàn)，他不僅將數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用到生物學(xué)，而且還應(yīng)用到教育學(xué)和心理學(xué)的研究。并且詳細(xì)地論證了數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用的廣泛性，他曾預(yù)言：“統(tǒng)計(jì)方法，可應(yīng)用于各種學(xué)科的各個(gè)部門?！?近代時(shí)期（19世紀(jì)末至1845年）數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主要分支建立，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的形成時(shí)期。上一世紀(jì)初，由于概率論的發(fā)展從理論上接近完備，加之工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)迫切需要，推動著這門學(xué)科的蓬勃發(fā)展。1889年，英國數(shù)學(xué)家皮爾遜（18571936）提出了矩估計(jì)法，次年又提出了頻率曲線的理論，并于1900年在德國數(shù)學(xué)家赫爾梅特在發(fā)現(xiàn) c 2分布的基礎(chǔ)上提出了c 2 檢驗(yàn)，這是數(shù)理統(tǒng)計(jì)發(fā)展史上出現(xiàn)的第一個(gè)小樣

6、本分布。1908年，英國的統(tǒng)計(jì)學(xué)家戈塞特（18761937）創(chuàng)立了小樣本檢驗(yàn)代替了大樣本檢驗(yàn)的理論和方法（即分布和檢驗(yàn)法），這為數(shù)理統(tǒng)計(jì)的另一分支多元分析奠定理論基礎(chǔ)。1912年，英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇(18901962)推廣了檢驗(yàn)法，同時(shí)發(fā)展了顯著性檢驗(yàn)及估計(jì)和方差分析等數(shù)理統(tǒng)計(jì)新分支。這樣，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一些重要分支如假設(shè)檢驗(yàn)、回歸分析、方差分析、正交設(shè)計(jì)等有了其決定其面貌的內(nèi)容和理論。數(shù)理統(tǒng)計(jì)成為應(yīng)用廣泛、方法獨(dú)特的一門數(shù)學(xué)學(xué)科?，F(xiàn)代時(shí)期（1945年以后），美籍羅馬尼亞數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家瓦你德（19021950）致力于用數(shù)學(xué)方法使統(tǒng)計(jì)學(xué)精確化、嚴(yán)密化，取得了很多重要成果。他發(fā)展了決策理論，提出了一般的判

7、別問題，創(chuàng)立了序貫分析理論，提出著名的序貫概率比檢法。瓦爾德的兩本著作序貫分析和統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)論，被認(rèn)為是數(shù)理發(fā)展史上的經(jīng)典之作。八九十年代，計(jì)算機(jī)的應(yīng)用推動了數(shù)理統(tǒng)計(jì)在理論研究和應(yīng)用方面不斷地向縱深發(fā)展，并產(chǎn)生一些新的分支和邊緣性的新學(xué)科，如最優(yōu)設(shè)計(jì)和非參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷等。當(dāng)前，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用范圍愈來愈廣泛，已滲透到許多科學(xué)領(lǐng)域，應(yīng)用到國民經(jīng)濟(jì)各個(gè)部門，成為科學(xué)研究不可缺少的工具。4、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在生活中的應(yīng)用1) 在求解最大經(jīng)濟(jì)利潤問題中的應(yīng)用a) 大數(shù)定律在保險(xiǎn)學(xué)中的應(yīng)用大數(shù)定律應(yīng)用在保險(xiǎn)學(xué)中，就是保險(xiǎn)的賠償遵從大數(shù)定律，即參加某項(xiàng)保險(xiǎn)的投保戶成千上萬，雖然每一戶情況各不相同，但對保險(xiǎn)公司

8、來說，平均每戶的賠償率幾乎恒等于一個(gè)常數(shù)。假如某保險(xiǎn)公司有10000個(gè)同階層的人參加人壽保險(xiǎn)，每人每年付120元保險(xiǎn)費(fèi)，在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0006，死亡時(shí)，其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1 0000元。試問：平均每戶支付賠償金59元至61元的概率是多少?保險(xiǎn)公司虧本的概率有多大?保險(xiǎn)公司每年在這項(xiàng)險(xiǎn)種中利潤大于40萬元的概率是多少?保險(xiǎn)公司虧本，也就是賠償金額大于10000×120=120(萬元)，即死亡人數(shù)大于120人的概率。死亡人數(shù)YB(10000，0006)，E(Y)=60，D(Y)=5964，由中心極限定理，Y近似服從正態(tài)分布N (60，5964)，則PY>1200，這

9、說明，保險(xiǎn)公司虧本的概率幾乎等于0。如果保險(xiǎn)公司每年的利潤大于40萬元，即賠償人數(shù)小于80人。則PY<80=09952。可見，保險(xiǎn)公司每年利潤大干40萬元的概率接近100。在保險(xiǎn)市場的競爭過程中，在保證相同收益的前提下有兩個(gè)策略可以采用，一是降低保險(xiǎn)費(fèi)，另一個(gè)是提高賠償金，而采用提高賠償金比降低保險(xiǎn)費(fèi)更能吸引投保戶。b) 利用隨機(jī)變量函數(shù)期望求解最大利潤某公司經(jīng)銷某種原料,根據(jù)歷史資料:這種原料的市場需求量 (單位:噸) 服從 上的均勻分布,每售出 噸該原料，公司可獲利千元;若積壓1 噸，則公司損失 千元，問公司應(yīng)該組織多少貨源，可使期望的利潤最大? 分析:此問題的解決先是建立利潤與需求

10、量的函數(shù)，然后求利潤的期望，從而得到利潤關(guān)于貨源的函數(shù)，最后利用求極值的方法得到答案。解:設(shè)公司組織該貨源噸，則顯然應(yīng)該有，又記為在噸貨源的條件下的利潤，則利潤為需求量的函數(shù)，即，由題設(shè)條件知： 當(dāng)時(shí)，則此噸貨源全部售出，共獲利：當(dāng)時(shí)，則售出 噸(獲利),噸積壓獲利( ),所以共獲利，由此得從而得 上述計(jì)算表明 是的二次函數(shù)，用通常求極值的方法可以求得噸時(shí),能夠使得期望的利潤達(dá)到最大。2) 在經(jīng)濟(jì)預(yù)測中的應(yīng)用在實(shí)際經(jīng)營中,許多量之間存在某種密切聯(lián)系,根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)原理,可以根據(jù)往年資料或市場信息,通過對社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象之間客觀存在的因果關(guān)系及其變化趨勢進(jìn)行線性回歸分析預(yù)測,從而得出未來的數(shù)量狀況。下

11、面以一元線性回歸分析為例探討一下線性回歸分析在經(jīng)濟(jì)預(yù)測中的應(yīng)用。合金的強(qiáng)度 與合金中碳的含量 有關(guān),為了生產(chǎn)強(qiáng)度滿足用戶需要的合金,在冶煉時(shí)要控制碳的含量?，F(xiàn)調(diào)查收集了12組數(shù)據(jù),見下表,試建立適當(dāng)?shù)木€性回歸模型并進(jìn)行檢驗(yàn)。如果在冶煉過程中通過化驗(yàn)得知了碳的含量為0.16 ,根據(jù)模型預(yù)測這爐合金的強(qiáng)度。序號序號10.1042.070.1649.020.1143.080.1753.030.1245.090.1850.040.1345.0100.2055.050.1445.0110.2155.0 0.1547.5100.2360.0解：第一步,建立線性回歸模型已知一元線性回歸模型為，根據(jù)公式及表中的數(shù)據(jù)得: , ,從而所求的回歸模型第二步,檢驗(yàn)線性關(guān)系的顯著性現(xiàn)在用 檢驗(yàn)法,經(jīng)計(jì)算得 ,取顯著性水平 ,則 ,由于 ,因此在顯著性水平下回歸方差是顯著的。第三步,預(yù)測將 代入回歸模型,則得到預(yù)測值為 在顯著性水平下,得 的概率0.95的預(yù)測區(qū)間為,即有的把握認(rèn)為,碳的含量為時(shí),合金的強(qiáng)度介于之間。5、結(jié)束語通過以上介紹及討論我們簡要了解了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)科的起源和發(fā)展，以及概率論與理統(tǒng)計(jì)在生活中的廣泛應(yīng)用。學(xué)習(xí)和掌握概率論與數(shù)理