常用相關分析方法及其計算

1、、常用相關分析方法及其計算在教育與心理研究實踐中，常用的相關分析方法有積差相關法、等級相關法、 質量相關法，分述如下。（一）積差相關系數(shù)1.積差相關系數(shù)又稱積矩相關系數(shù)，是英國統(tǒng)計學家皮爾遜（ Pearsor）提 出的一種計算相關系數(shù)的方法，故也稱皮爾遜相關。這是一種求直線相關的基本 方法。積差相關系數(shù)記作以丫，其計算公式為n _(2-20)(2-21)% (Xi -X)(yi 一丫)i =1 rXY 二 n_ n_x (Xi -X)2. ' (yi -丫)2 i 4, i 4式中Xi、yi、X、Y、n的意義均同前所述若記x =4X , y = yi Y ,則(2-20)式成為'

2、;、xy nSXS丫式中 三仝稱為協(xié)方差，三”的絕對值大小直觀地反映了兩列變量的一致性程 度。然而，由于X變量與Y變量具有不同測量單位，不能直接用它們的協(xié)方差 Ly來表示兩列變量的一致性，所以將各變量的離均差分別用各自的標準差n除，使之成為沒有實際單位的標準分數(shù)，然后再求其協(xié)方差。即：1 xy1xy=x () ( y )nSXSY nSXSY 1 一 Zx ZY（2-22）n這樣，兩列具有不同測兩單位的變量的一致性就可以測量計算。計算積差相關系數(shù)要求變量符合以下條件：（1）兩列變量都是等距的或等比 的測量數(shù)據(jù)；（2）兩列變量所來自的總體必須是正態(tài)的或近似正態(tài)的對稱單峰分 布；（3）兩列變量必須

3、具備對應關系。2.積差相關系數(shù)的計算利用公式（2-20）計算相關系數(shù)，應先求兩列變量各自的平均數(shù)與標準差，再 求離中差的乘積之和。在統(tǒng)計實踐中，為方便使用數(shù)據(jù)庫的數(shù)據(jù)格式，并利于計算機計算，一般會將（2-20）式改寫為利用原始數(shù)據(jù)直接計算rXY的公式即:(2-23)_n' Xi yi - %Xi " VXY；n- Xi2-r)2 .n-y2. y)2（二）等級相關在教育與心理研究實踐中，只要條件許可，人們都樂于使用積差相關系數(shù)來 度量兩列變量之間的相關程度，但有時我們得到的數(shù)據(jù)不能滿足積差相關系數(shù)的 計算條件，此時就應使用其他相關系數(shù)。等級相關也是一種相關分析方法。當測量得到

4、的數(shù)據(jù)不是等距或等比數(shù)據(jù)，而是具有等級順序的測量數(shù)據(jù)，或者得到的數(shù)據(jù)是等距或等比的測量數(shù)據(jù)， 但其 所來自的總體分布不是正態(tài)的，出現(xiàn)上述兩種情況中的任何一種， 都不能計算積 差相關系數(shù)。這時要求兩列變量或多列變量的相關，就要用等級相關的方法。1.斯皮爾曼（Spearman等級相關斯皮爾曼等級相關系數(shù)用R表示，它適用于兩列具有等級順序的測量數(shù)據(jù)， 或總體為非正態(tài)的等距、等比數(shù)據(jù)。斯皮爾曼等級相關的基本公式如下:(2-24)6、D2R = 1 -2n(n -1)式中:D = Rx -Ry對偶等級之差;5對偶數(shù)據(jù)個數(shù)。如不用對偶等級之差，而使用原始等級序數(shù)計算，則可用下式(2-25)寸 3 4 Rx

5、RY-(n 1)n -1 n(n 1)式中:RxX變量的等級;RyY變量的等級；n對偶數(shù)據(jù)個數(shù)。（2-25）式要求z Rx =£ Ry , z rX =£ R2 ,從而保證SX2 = S2。在觀測變量 中沒有相同等級出現(xiàn)時可以保證這一條件。 但是，在教育與心理研究實踐中，搜 集到的觀測變量經(jīng)常出現(xiàn)相同等級。在這種情況下，£ Rx =£ Ry的條件仍可得到保證，但z rX =£ r2的條件則不能得到滿足。在有相同等級出現(xiàn)的情況下，Z R2隨相同等級數(shù)目的逐漸增多而有規(guī)律地減少，其減少的規(guī)律如下：t(t2-1)c =12其中：c差數(shù)值(幾個相同等級

6、出現(xiàn)的Z R2與沒有相同等級出現(xiàn)的工R2之差)；t某一等級的相同數(shù)。當一列變量中有多個相同等級出現(xiàn)時，他們的差數(shù)值為:、 t 、: t(t2 -1)G= 12(2-26)從而，在出現(xiàn)相同等級情況下，計算斯皮爾曼等級相關系數(shù)的公式為: " x2 八 y2-工 D2rRc -2x2 '、 y2式中:“ x2n(n2 -1) t(t2 -1).1212'22孝 y2(n -1) < t(t -1).1212 'n對偶數(shù)據(jù)個數(shù)。t各列變量相同等級數(shù)；D對偶等級差數(shù)；2.肯德爾W系數(shù)(肯德爾和諧系數(shù))肯德爾W系數(shù)又稱肯德爾和諧系數(shù)，是表示多列等級變量相關程度的一種

7、 方法，它適用于兩列以上等級變量。肯德爾和諧系數(shù)用W表示，其公式為W 二SSR(2-27)Kn(n3 -n)12式中：SIR的離差平方和；2SSRi(Ri -R)='、d2 C R)2 Ri等級變量的列數(shù)或評價者數(shù)目; 被評價對象數(shù)目。肯德爾W系數(shù)基于這么一種思想：當K個評價者對幾件事物進行等級評定,2K , 3K ,，nK ,，如果K個評價者的意見完全一致,則n個R分別為K ,6 K(n 1)R='22SSRi = " (R -R) =K n(n 1)(2n 1) n(n 1)2 = 1223K (n -n),此時的W =1 ;若如果K個評價者的意見完全不一致，則S

8、% = 0 ,此時的W = 0 ;如果K個評價者的意見存在一定的關系, 但又不是完全一致,則S&i # 0。因此，肯德爾W系數(shù)的變化范圍為0 MW E1 ,當我們得到一個不等于0的肯德爾W系 數(shù)，它僅表明了相關程度，由于 W-0,對相關的方向尚需從實際資料中分析得 出。（三）質量相關在教育與心理研究實踐中，我們常將一列變量按事物的某一屬性劃分種類， 而另一列變量則為等比或等距的測量數(shù)據(jù)，這種情況下求得的相關，稱為質量相 關。1 .點雙列相關點雙列相關適用于雙列變量中一列為來自正態(tài)總體的等距或等比的測量數(shù) 據(jù)；另一列為二分稱名變量，即按事物的某一性質只能分為兩類互相獨立的變量， 如男與女、文盲與非文盲等。點雙列相關的計算公式為pb =X p XqSx(2-29)式中:p二分稱名變量中取某一值的變量比例;q二分稱名變量中取另一值的變量比例;Xp等距（比）變量中與p對應的那部分數(shù)據(jù)的平均值;Xq等距（比）變量中與q對應的那部分數(shù)據(jù)的平均值；SX全部等距（比）變量的標準差。點雙列相關在教育與心理統(tǒng)計研究中作為選擇題的區(qū)分度指標。2 .雙列相關雙列相關系數(shù)適用于兩列變量均為來自正態(tài)總體的等距（比）變量；而其中一列被認為地劃分為兩個類別的數(shù)據(jù)。雙列相關系數(shù)的計算公式為(2-30)Xp - Xq pq二SxvXp等距（比）變