高等數(shù)學(xué) 高斯公式（課堂PPT）

1、1高斯公式高斯公式物理意義物理意義-通量通量與與散度散度小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) flux divergence第六節(jié)第六節(jié) 高斯高斯 (Gauss)公式公式 通量通量與與散度散度 高斯高斯 Gauss,K.F. (17771855) 德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家2 格林公式格林公式把平面上的把平面上的閉曲線積分閉曲線積分與與本節(jié)的本節(jié)的高斯公式高斯公式表達(dá)了空間閉曲面表達(dá)了空間閉曲面上的上的曲面積分曲面積分與曲面所圍空間區(qū)域上的與曲面所圍空間區(qū)域上的它有明確的物理背景它有明確的物理背景三重積分三重積分的關(guān)系的關(guān)系.所圍區(qū)域的所圍區(qū)域的二重積分二重積分聯(lián)

2、系聯(lián)系起來起來. 通量與散度通量與散度. .高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度3一、高一、高 斯斯 公公 式式vzRyQxPd)( ,圍成圍成由分片光滑的閉曲面由分片光滑的閉曲面設(shè)空間閉區(qū)域設(shè)空間閉區(qū)域 上上在在、函函數(shù)數(shù) ),(),(),(zyxRzyxQzyxPSRQPd)coscoscos( yxRxzQzyPdddddd高斯公式稱為奧高公式高斯公式稱為奧高公式,或奧斯特洛格拉斯基或奧斯特洛格拉斯基公式公式.(俄俄)1801 1861具有具有則有公式則有公式一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,或或 高斯公式高斯公式的的整整個個邊邊界界曲曲面面的的是是這這里里 ,cos,c

3、os .),(cos處處的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦上上點點是是zyx 外側(cè)外側(cè), ,高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度4 證明思路證明思路vzRyQxPd)( yxRxzQzyPdddddd 分別證明以下三式分別證明以下三式,從而完成定理證明從而完成定理證明. yxzyxRvzRdd),(d zyzyxPvxPdd),(d xzzyxQvyQdd),(d只證其中第三式只證其中第三式,其它兩式可完全類似地證明其它兩式可完全類似地證明.高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度5xyzOxyzO證證),(:22yxzz :3 xyDyxyxzzyxz ),()

4、,(),(:21 設(shè)空間區(qū)域設(shè)空間區(qū)域母線平行于母線平行于z軸的柱面軸的柱面.),(:11yxzz vzRyQxPd)( yxRxzQzyPdddddd即邊界面即邊界面321, 由由三部分組成三部分組成:xyDxoy面上的投影域為面上的投影域為在在xyD(取下側(cè)取下側(cè))(取上側(cè)取上側(cè))(取外側(cè)取外側(cè))nn柱柱面面 坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸的的邊邊界界曲曲面面與與任任一一平平行行假假設(shè)設(shè)域域 .的的直直線線至至多多相相交交于于兩兩點點高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度n6xyzO xyDnnn由由三重積分三重積分的計算法的計算法 xyDyxyxzyxRyxzyxRdd),(,),(,12

5、vzRd ),(),(21dyxzyxzzzR yxxyDdd yxzyxRxyDyxzyxzdd),(),(),(21 yxzyxRvzRdd),(d投影法投影法( (先一后二法先一后二法) )高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度7xyzOxyDnnn 由由曲面積分曲面積分的計算法的計算法 yxzyxRdd),( 1 取取下下側(cè)側(cè),2 取取上上側(cè)側(cè),3 取取外外側(cè)側(cè) xyDyxyxzyxRdd),(,1 yxzyxRdd),( yxzyxRdd),( xyDyxyxzyxRdd),(,2 01 2 3 ),(:22yxzz ),(:11yxzz yxzyxRvzRdd),(d

6、yxzyxRdd),(321 yxzyxRdd),( 一投一投,二代二代,三定號三定號高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度8 xyDyxyxzyxRyxzyxRdd),(,),(,12 yxzyxRdd),( yxzyxRvzRdd),(d于是于是 xyDyxyxzyxRyxzyxRdd),(,),(,12 vzRd高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度9 zyzyxPvxPdd),(d同理同理 xzzyxQvyQdd),(d vzRyQxPd)( 合并以上三式得合并以上三式得自己證自己證 yxzyxRvzRdd),(d高斯公式高斯公式 yxRxzQzyPdddd

7、dd高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度10高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度若區(qū)域若區(qū)域的邊界曲面的邊界曲面 與任一平行于坐標(biāo)軸與任一平行于坐標(biāo)軸的直線的交點多于兩點時的直線的交點多于兩點時,可以引進(jìn)幾張輔助的可以引進(jìn)幾張輔助的曲面把曲面把分為有限個閉區(qū)域分為有限個閉區(qū)域,使得每個閉區(qū)域滿使得每個閉區(qū)域滿足假設(shè)條件足假設(shè)條件,并注意到沿輔助曲面相反兩側(cè)的兩并注意到沿輔助曲面相反兩側(cè)的兩個曲面積分的絕對值相等而符號相反個曲面積分的絕對值相等而符號相反,相加時正相加時正好抵消好抵消.因此因此,高斯公式對這樣的閉區(qū)域仍是正高斯公式對這樣的閉區(qū)域仍是正確的確的.11

8、vzRyQxPd)( 由兩類曲面積分之間的關(guān)系知由兩類曲面積分之間的關(guān)系知 SRQPd)coscoscos(高斯公式為計算高斯公式為計算(閉閉)曲面積分提供了曲面積分提供了它能簡化曲面積分的計算它能簡化曲面積分的計算.一個新途徑一個新途徑,表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度高斯高斯Gauss公式的實質(zhì)公式的實質(zhì)12xyzO解解 333,zRyQxP zyxzyxIddd)(3222 dddsin322rrr,32xxP rrRdsindd320004

9、球球 例例 ,dddddd333yxzxzyzyxI計算計算的的為為球球面面2222Rzyx ,32yyQ 23zzR 5512R 外側(cè)外側(cè). . yxRxzQzyPddddddvzRyQxPd)( 因因是閉曲面是閉曲面,可可利用利用高斯公式高斯公式計算計算.高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度13使用使用Guass公式時易出的差錯公式時易出的差錯: :(1) 搞不清搞不清是對什么變量求偏導(dǎo)是對什么變量求偏導(dǎo);RQP,(2) 不滿足高斯公式的條件不滿足高斯公式的條件, 用公式計算用公式計算;(3) 忽略了忽略了 的取向的取向,注意是注意是取閉曲面的取閉曲面的外側(cè)外側(cè). . vz

10、RyQxPd)( 高斯公式高斯公式 yxRxzQzyPdddddd高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度14有時可作有時可作輔助面輔助面,(將輔助面上的積分減去將輔助面上的積分減去).化為閉曲面的曲面積分化為閉曲面的曲面積分, 然后利用然后利用高斯公式高斯公式.對有的對有的 非閉曲面非閉曲面的曲面積分的曲面積分,高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度15 coscoscos、,d)coscoscos(222Szyx )0(0222 hhzzzyx及及介于平面介于平面錐面錐面例例 計算曲面積分計算曲面積分之間之間下側(cè)下側(cè). .的法向量的方向余弦的法向量的方向余弦.處處

11、在在是是),(zyx 為為其中其中 高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度部分的部分的解解 空間曲面空間曲面在在xOy面上的面上的,xyD曲面曲面 不是不是 為利用高斯公式為利用高斯公式.投影域為投影域為xyzOnxyD h)(,:2221hyxhz ,1取取上上側(cè)側(cè) 1 .1 圍成空間區(qū)域圍成空間區(qū)域 上上在在 補補構(gòu)成構(gòu)成封閉曲面封閉曲面, ,使用使用高斯公式高斯公式.封閉曲面封閉曲面, 1 n16)ddd(2 vzvyvx vzyxd)(2由對稱性由對稱性Szyxd)coscoscos(2221 0 ,),( 222hzzyxzyx zDyxddzzzhd220 vzd2z

12、zhd203 42h 0 0 SRQPvzRyQxPd)coscoscos(d)(zzhd20 高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度1 n nxyzOhxyD先二后一法先二后一法17 1d)coscoscos(222 Szyx xyDyxhdd24h 故所求積分為故所求積分為 Szyxd)coscoscos(222.214h 1cos, 0cos, 0cos 1d2 Sz)( ,:2221hyxhz 11 4421hh 高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度1 n nxyzOhxyD4211h yxyxSdddd001d 18利用利用高斯公式高斯公式計算三重積分計

13、算三重積分vzxyzxyId)( 提示提示zRyQxP ,由于由于, 0 QP則則zxyzxyzR 222121xzyzxyzR ,的的邊邊界界面面 取取以及以及是由平面是由平面其中其中1, 0, 0, 0 zzyx .122圍圍在在第第一一掛掛限限內(nèi)內(nèi)的的立立體體圓圓柱柱面面 yx高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度考慮到考慮到選取相當(dāng)自由，選取相當(dāng)自由，19vzxyzxyId)( 由高斯公式由高斯公式 外外 yxzyxxyzdd)(212)(外外的的側(cè)側(cè)面面由由 ),(0:1下下底底面面 z 故故 10220d)cos(sin21cossind .2411 )(軸的柱面軸的

14、柱面母線平行于母線平行于z,)( 1:2構(gòu)成構(gòu)成上上和上面和上面 z1 )(21yx 21 yxdd I極坐標(biāo)極坐標(biāo), 0 QP222121xzyzxyzR xyDxy高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度20 被積函數(shù)中有抽象函數(shù)被積函數(shù)中有抽象函數(shù),故無法直接計算故無法直接計算. 如直接計算如直接計算分析分析 用用高斯公式高斯公式.例例,dd1dd1dd333yxzzyfyxzyzyfzzyxI 是錐面是錐面22zyx 4222 zyx所圍立體的表面所圍立體的表面1222 zyx計算設(shè)計算設(shè)f(u)是有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)是有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),計算計算和球面和球面及及外側(cè)外側(cè). .高斯高斯(

15、Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度xyzO21解解 由于由于,3xP ,32xxP ,3122yzyfzyQ 2231zzyfzzR 故由故由高斯公式高斯公式vzyxId)(3222 dddsin34rrrr d214 ).22(593 40dsin = 20d3 球球,13yzyfzQ ,13zzyfyR 高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度xyzO22xyzO解解( (如圖如圖) )221xzy yxyzxzyzyxyIdd4dd)1(2dd)18(2 )31(01 yxyz是是曲曲線線其其中中 .2 恒恒大大于于計算曲面積分計算曲面積分繞繞y軸旋轉(zhuǎn)曲面方程為軸旋轉(zhuǎn)

16、曲面方程為一周所成的曲面一周所成的曲面, 它的法向量與它的法向量與y軸正向的夾角軸正向的夾角 01xyz繞繞y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度n23xyzOzyxzRyQxPddd1 zyxyyyddd)4418(yxyzxzyzyxyIdd4dd)1(2dd)18(2 欲欲求求 vd:1 補補取右側(cè)取右側(cè). 11 I221xzy 有有nn, 3 y 高斯公式高斯公式 3120202ddd y xzDxzyzx3122ddd222)2(: zxDzx柱坐標(biāo)柱坐標(biāo)高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度 203d)2(2 .2 24 32 )32(2

17、34yxyzxzyzyxyIdd4dd)1(2dd)18(12 求求, 3:1 y 補補取右側(cè)取右側(cè) 1 zxDxzdd162)2(16 2 222)2(: zxDzx00zxDxzdd)1( 23故故高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度 21 11 I251. 通量通量為向量場為向量場 設(shè)有一向量場設(shè)有一向量場kzyxRjzyxQizyxPA),(),(),( 則稱沿場中則稱沿場中有向曲面有向曲面某一側(cè)的曲面積分某一側(cè)的曲面積分:通量通量. . flux divergence穿過曲面穿過曲面這一側(cè)的這一側(cè)的),(zyxA高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度二、

18、物理意義二、物理意義 通量通量與與散度散度上式即為通量的計算公式上式即為通量的計算公式 yxRxzQzyPdddddd 262. .散度散度設(shè)有向量場設(shè)有向量場),(zyxA為場中任一點為場中任一點,),(zyxP在在P點的某鄰域內(nèi)作一包含點的某鄰域內(nèi)作一包含P點在其內(nèi)的閉曲面點在其內(nèi)的閉曲面,它所圍成的小區(qū)域及其體積記為它所圍成的小區(qū)域及其體積記為,V 以以表示表示從從內(nèi)穿出的通量內(nèi)穿出的通量,若當(dāng)若當(dāng), 0V V 即即縮成縮成P點時點時, 極限極限 VV 0lim0limVPdydzQdzdxRdxdyV 高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度記為記為,div A散度散度.

19、.存在存在,則該極限值就稱為向量場則該極限值就稱為向量場在在P點處的點處的A即即 Adiv0limVPdydzQdzdxRdxdyV 27散度的計算公式散度的計算公式kzyxRjzyxQizyxPA),(),(),( 設(shè)設(shè)RQP,均可導(dǎo)均可導(dǎo),),(zyxA在在則則點處的散度為點處的散度為zRyQxPA div vzRyQxPd)( 高斯公式高斯公式 yxRxzQzyPddddddAdiv.的的邊邊界界曲曲面面是是空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域其其中中 散度：散度：單位時間單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量的平單位時間單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量的平均值。均值。28例例 向量場向量場kzxjyeixyAz)1ln(22 ).(div)0 , 1 , 1( AP的散度的散度在點在點解解,),(2xyzyxP ,),(zyezyxQ )1ln(),(2zxzyxR PxP PyQ PzR Adiv2)( PzRyQxP, 12 Py2, 1 Pze0122 PzxzzRyQxPA div高斯高斯(Gauss)公式公式 通量與散度通量與散度29設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),ln222zyxu ).()grad(div u則則2221zyx 解解222lnzyxu )ln(2122