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文檔簡介
1、第十一章反常積分§1反常積分概念1.討論下列無窮積分是否收斂?若收斂,則求其值:(1)解:(2)解:(3)解:(4)解:(5)解:(6)解:(7)解:發(fā)散而發(fā)散發(fā)散(8)解:發(fā)散故發(fā)散2. 討論下列瑕積分是否收斂?若收斂,則求其值:(1)解:在上連續(xù),從而在上可積,為其瑕點(diǎn)由瑕積分定義,知顯然當(dāng)時(shí),上式收斂于,其瑕積分也收斂,其值為若,則上式發(fā)散,其瑕積分也發(fā)散(2)解:上式的極限不存在,故瑕積分發(fā)散(3)解:故瑕積分收斂,其值為4(4)解:故瑕積分收斂,其值為1(5)解:故瑕積分收斂,其值為-1(6)解:令 ,則故瑕積分收斂,其值為(7)解:故瑕積分收斂,其值為(8)解:上面極限式
2、發(fā)散,故瑕積分發(fā)散3. 舉例說明:瑕積分收斂時(shí),不一定收斂。解: 例如瑕積分,由頁例6結(jié)論,則瑕積分收斂中,則瑕積分發(fā)散4. 舉例說明:收斂且在上連續(xù)時(shí),不一定有解: 設(shè)則在連續(xù),且但在無界且不存在.5. 證明:收斂,且存在極限,則。證:反證法. 假設(shè),不妨設(shè). 由保號(hào)性,存在,當(dāng)時(shí),于是這與收斂相矛盾,所以.6. 證明:若在上可導(dǎo),且與都收斂,則證:因?yàn)槭諗浚詷O限存在,從而由第5題知,§2 無窮積分的性質(zhì)與收斂判斷1. 證明定理11.2及其推論1。(1)定理11.2(比較法則)設(shè)定義在上的兩個(gè)函數(shù)和都在任何有限區(qū)間上可積,且滿足:則當(dāng)收斂時(shí),必收斂(或當(dāng)發(fā)散時(shí),必發(fā)散)證:由定
3、理11.1,對(duì)有由不等式則無窮積分收斂(2)推論1:若和都在任何上可積,且則有(i)當(dāng)時(shí),與同斂態(tài); (ii)當(dāng)時(shí),由收斂可推知也收斂;(iii)當(dāng)時(shí),由發(fā)散可推知也發(fā)散證:當(dāng)時(shí)及時(shí),知的極限存在,為某一常數(shù)則有極限的定義知,對(duì),對(duì)有即由定理11.2的結(jié)論知與同斂態(tài);即(i)與(ii)成立又當(dāng)時(shí),由,取對(duì)于有,或又由定理11.2知,當(dāng)發(fā)散時(shí),也發(fā)散2. 設(shè)與是定義在上的函數(shù),對(duì)任何,它們?cè)谏峡煞e。證明:若與收斂,則與也都收斂。證:因?yàn)?,且收斂,所以收斂,從而收?由于,所以收斂3. 若是定義在上的三個(gè)連續(xù)函數(shù),且成立不等式,證明:(1) 若與都收斂,則也收斂;(2) 又若則證明: 因?yàn)榕c都收斂
4、,由無窮積分的Cauchy準(zhǔn)則,有,使得當(dāng)時(shí),有 與 .又由,有. 從而有即. 由Cauchy準(zhǔn)則,積分收斂; 由,得若,所以4.討論下列無窮積分的收斂性(1); 解:由柯西判別法知,收斂(2)解: 由柯西判別法的推論知,收斂(3)解:由于由柯西判別法的推論2,有發(fā)散 (4)解:因?yàn)?,所?收斂(5)解:當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),(6)解:,先考慮積分,故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),積分收斂再考慮積分,因?yàn)楣十?dāng)且僅當(dāng)時(shí),積分收斂綜上所述,當(dāng),時(shí),積分收斂,否則發(fā)散5.討論下列無窮積分絕對(duì)收斂還是條件收斂(1)令,而對(duì),而當(dāng)時(shí),單調(diào)趨于0故有狄利克雷判別法知收斂又而其中是發(fā)散的,發(fā)散,故發(fā)散,在是條件收斂,(2)解:由于而收
5、斂絕對(duì)收斂(3)解:由于,在上單調(diào)且當(dāng)時(shí)趨于0,由狄利克雷判別法知積分收斂。又而發(fā)散,收斂,故積分條件收斂.(4)解:在上單調(diào)遞減且當(dāng)時(shí),趨于0. 故由狄利克雷判別法知積分收斂.又而發(fā)散收斂從而積分條件收斂6.舉例說明:收斂時(shí)不一定收斂;絕對(duì)收斂時(shí),也不一定收斂。解:設(shè)則,收斂,但,發(fā)散.7.說明:若絕對(duì)收斂,且,則必定收斂。證:因,故存在,當(dāng)時(shí),于是.由比較判別法,知收斂.8. 證明:若是上的單調(diào)函數(shù),且收斂,則,且證:設(shè)在上單調(diào)無界(不妨設(shè)無上界),即對(duì)任何,存在,使得當(dāng)時(shí),. 于是這與收斂相矛盾, 從而在上單調(diào)有界,故存在極限. 由P.269習(xí)題5,知下面證明:,即. 不妨設(shè)在上,且單調(diào)
6、減少. 因收斂,由無窮積分的柯西準(zhǔn)則,使得當(dāng)時(shí),有,于是,即9. 若在上一致連續(xù),收斂,則證:因在上一致連續(xù),(不妨設(shè)),使得當(dāng)且時(shí),有.又因收斂,由無窮積分的柯西準(zhǔn)則,對(duì)上述,使得當(dāng)時(shí),有.現(xiàn)在對(duì)任何,取,使得,且,于是從而,所以.10.利用狄利克雷判別法證明阿貝爾判別法證:阿貝爾判別法是指:若收斂,在上單調(diào)有界,則收斂收斂,則令在上有界在上單調(diào)有界,則必有極限存在,設(shè),則設(shè)則由狄利克雷判別法知,收斂.即由已知收斂,從而收斂§3瑕積分的性質(zhì)與收斂判別1. 寫出性質(zhì)3的證明(性質(zhì)3: 設(shè)函數(shù)的瑕積分為,在的任一內(nèi)閉區(qū)間上可積,則當(dāng)收斂時(shí),也必定收斂,并有)證:瑕積分在瑕點(diǎn)處收斂,則由
7、柯西準(zhǔn)則有對(duì),當(dāng),總有又在的任一內(nèi)閉區(qū)間上可積,再利用定積分的絕對(duì)不等式又有再由柯西準(zhǔn)則(充分性)知收斂.又因令便得到2. 寫出定理11.6及推論1的證明(定理11.6(比較法則)設(shè)定義在上的兩個(gè)函數(shù)與,瑕點(diǎn)同為,在任何上都可積,且滿足則當(dāng)收斂時(shí),必定收斂(或者當(dāng)發(fā)散時(shí),亦必發(fā)散).推論1:又若,且,則有(i)當(dāng)時(shí),與同斂態(tài);(ii) 當(dāng)時(shí),由收斂可推知也收斂;(iii) 當(dāng)時(shí), 由發(fā)散可推知也發(fā)散.)證:定理11.6 若(瑕點(diǎn)為)收斂. 由定理11.5瑕積分收斂的充要條件:對(duì),只要,總有,由不等式,有再由定理11.5知必定收斂(同理可證發(fā)散).推論1當(dāng)及時(shí),知的極限存在,為某一常數(shù).則又極限
8、定義知,對(duì),當(dāng)時(shí),總有. 即.由定理11.6結(jié)論,當(dāng)時(shí),與同斂態(tài).當(dāng)時(shí), 由收斂可推知也收斂.當(dāng)時(shí),由,取, 當(dāng)時(shí),總有或.由定理11.6結(jié)論,當(dāng)發(fā)散可知,也發(fā)散.3. 討論下列瑕積分的收斂性(1)解:是瑕點(diǎn), 由定理11.6的推論3,有其中,故積分發(fā)散(2)是瑕點(diǎn),由于,而, 故積分發(fā)散(3)解:是瑕點(diǎn),則.由于,則. 由定理11.6的推論3,積分發(fā)散,從而積分發(fā)散.(4)解,故不是瑕點(diǎn),因而只有為瑕點(diǎn).又,由于,由定理11.6的推論3知,積分收斂(5)解:為瑕點(diǎn).,其中,瑕積分分散.(6); 解:為瑕點(diǎn).其中,故當(dāng)時(shí),積分收斂;時(shí)積分發(fā)散.(7)解:此瑕積分的瑕點(diǎn)為.由定理11推論2知,此
9、時(shí),當(dāng)時(shí),絕對(duì)收斂.又,有.當(dāng)時(shí),則,即時(shí),由推論2的(ii)知積分發(fā)散.當(dāng)時(shí),由狄利克雷判別法知為條件收斂.(8)解:由知,收斂,又由知,收斂,由以上兩個(gè)結(jié)果知,收斂.4. 計(jì)算下列瑕積分的值(其中為正整數(shù))(1); 解:當(dāng)時(shí)有設(shè)當(dāng)時(shí)有(2);解:令,則于是因此,而故5.證明收斂,且 (提示利用,并將它們相加)證:,所以瑕積分收斂.為了求,考慮積分,同理可證,此積分收斂.令,則有 (令)其中, (令)6.利用上題結(jié)果證明:(1)證:令則(2)證: (令)總練習(xí)題1.證明下列不等式:(1);證:令則(2);證:由于從而可知等式兩邊的兩個(gè)積分都收斂.故有(1)式結(jié)論有:對(duì)右端第二個(gè)積分,令,則有
10、2.證明下列不等式:(1);證:又(2)證:又 3.計(jì)算下列反常積分的值:(1)解:(2)解:(3)解:(令)(4)解:令,則(由上題結(jié)論)4.討論反常積分,取何值時(shí)絕對(duì)收斂或條件收斂解:設(shè),先討論積分,當(dāng)時(shí),有從而是正常積分. 當(dāng)時(shí)瑕點(diǎn).由于故當(dāng)時(shí)絕對(duì)收斂;當(dāng)時(shí)發(fā)散.對(duì)于積分為無窮限上非正常積分.當(dāng)時(shí),令,則,且有柯西準(zhǔn)則知, 當(dāng)時(shí),發(fā)散;當(dāng)時(shí),由狄利克雷判別法知,積分收斂.但由于不絕對(duì)收斂再由可知,當(dāng)時(shí)積分條件收斂;當(dāng)時(shí)由于,從而積分絕對(duì)收斂.綜上所述,有下面結(jié)果:當(dāng)時(shí),非正常積分條件收斂 .當(dāng)時(shí),絕對(duì)收斂;當(dāng)或時(shí)發(fā)散.5.證明:設(shè)在上連續(xù),(1) 若,則;證:令則令有于是其中介于之間,令得(2)若收斂,則;證:由于積分收斂,故對(duì),有令,則,有6.證明下述命題:(1) 設(shè)為上非負(fù)連續(xù)函數(shù),若收斂,則也收斂證:取則由收斂可知,也收斂,而收
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