碩士研究生入學(xué)考試大綱601數(shù)學(xué)分析

1、全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析考試大綱I 考查目標全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)專業(yè) 數(shù)學(xué)分析考試是為我校招收數(shù)學(xué)碩士生設(shè)置的具有選拔性質(zhì)的考試科目。其目的是科學(xué)、公平、有效地測試考生是否具備攻讀數(shù)學(xué)專業(yè)碩士所必須的基本素質(zhì)、一般能力和培養(yǎng)潛能，以利于選拔具有發(fā)展?jié)摿Φ膬?yōu)秀人才入學(xué)，為數(shù)學(xué)學(xué)科及社會的發(fā)展培養(yǎng)具有良好職業(yè)道德、法制觀念和國際視野、具有較強分析與解決問題能力的高層次、應(yīng)用型、復(fù)合型的數(shù)學(xué)專業(yè)人才。考試要求是測試考生掌握分析、表達與解決問題的一些基本能力和技能。具體來說就是：要求考生理解數(shù)學(xué)分析的基本概念和基本理論，掌握數(shù)學(xué)分析的基本思想和方法具有抽象思維能力、邏輯推理

2、能力、運算能力和綜合運用所學(xué)的知識分析問題和解決問題的能力。II 考試形式和試卷結(jié)構(gòu)一、 試卷滿分及考試時間試卷滿分為150分，考試時間180分鐘。二、 答題方式答題方式為閉卷、筆試。不得使用帶有公式和文本存儲功能的計算器。三、 試卷內(nèi)容與題型結(jié)構(gòu)一元函數(shù)微積分 約占 60%，多元函數(shù)微積分 約占 25%，無窮級數(shù) 約占 20有以下三種題型： 填空題或選擇題（20%）、計算題（30%）、綜合題（50%）III 考查內(nèi)容1、極限和函數(shù)的連續(xù)性 （1）熟練掌握數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念；理解無窮小量、無窮大量的概念及基本性質(zhì)。（2）掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則，能夠熟練運用迫斂性定理和兩個重要極限。

3、（3）熟練掌握：區(qū)間套定理，確界存在定理，單調(diào)有界原理，聚點定理，有限覆蓋定理，Cauchy收斂準則；并理解其相互關(guān)系。（4）熟練掌握函數(shù)連續(xù)性的概念及相關(guān)的不連續(xù)點類型。能夠熟練地運用函數(shù)連續(xù)的四則運算與復(fù)合運算性質(zhì)。（5）熟練掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)：有界性定理、最值定理、介值定理，一致連續(xù)性。（6）熟練掌握實數(shù)基本理論和性質(zhì)，會用實數(shù)理論及性質(zhì)表達和證明相關(guān)命題。2、一元函數(shù)微分學(xué)（1）理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念及其相互關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。（2）熟練掌握函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的運算法則，包括高階導(dǎo)數(shù)的運算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（3）熟

4、練掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和Cauchy中值定理以及Taylor展式。（4）能夠用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，最值和凹凸性。（5）掌握用洛必達法則求不定式極限的方法。3、一元函數(shù)積分學(xué)（1）理解不定積分的概念。掌握不定積分的基本公式，換元積分法和分部積分法，初等函數(shù)的積分。（2）掌握定積分的概念與性質(zhì)及可積條件與可積函數(shù)類。（3）熟練掌握微積分基本定理，定積分的換元積分法和分部積分法以及積分中值定理。（4）能用定積分計算：平面圖形的面積，平面曲線的弧長，旋轉(zhuǎn)體的體積與側(cè)面積，平行截面面積已知的立體體積及在物理上的應(yīng)用。（5）理解反常積分的概念。熟練掌握判斷反常積分收斂的

5、比較判別法，Abel判別法和 Dirichlet判別法。4、無窮級數(shù) （1）理解數(shù)項級數(shù)斂散性的概念，掌握數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)。（2）熟練掌握正項級數(shù)斂散的必要條件，比較判別法，比式判別法和根式判別法，積分判別法。（3）熟練掌握任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念及其相互關(guān)系。熟練掌握交錯級數(shù)的判別法。掌握絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)。（4）熟練掌握函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的概念以及判斷一致收斂性的Cauchy收斂準則， Weierstrass判別法，Abel判別法和Dirichlet判別法。（5）掌握冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間的概念。（6）熟練掌握冪級數(shù)的性質(zhì)。能夠?qū)⒑瘮?shù)展開為冪級數(shù)。理解余項公式。（7）掌

6、握傅里葉級數(shù)的概念與性質(zhì)，掌握傅里葉級數(shù)展開的方法。5、多元函數(shù)微分學(xué)與積分學(xué)（1）理解多元函數(shù)極限與連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分，方向?qū)?shù)和梯度。（2）掌握隱函數(shù)存在定理，隱函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)方法。（3）會求多元函數(shù)的極值和條件極值，了解偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用。（4）熟練掌握重積分、兩類曲線積分和兩類曲面積分的計算。（5）熟練掌握Gauss公式、Green公式及Stoks公式。6、含參變量積分（1）掌握含參變量正常積分、含參變量反常積分和歐拉積分的概念與性質(zhì)及一致收斂的判別法。（2）熟練掌握變上限積分及其性質(zhì)。IV. 題型示例及參考答案1填空題（30分）：（1）極限

7、；極限 。（2）函數(shù)的間斷點是 ，該間斷點的類型是第二類間斷點。（3）已知函數(shù)可導(dǎo)，且，則 ；若取。則21 。（4）改變積分的積分次序為。其極坐標形式為。（5）級數(shù)的和函數(shù)是，及收斂區(qū)間為。2敘述的描述，證明數(shù)列發(fā)散。（6分）【解】的描述：，使得對，成立。數(shù)列發(fā)散：對任意實數(shù)，取，則可以取，則有，故數(shù)列發(fā)散。3證明數(shù)列收斂，若及其極限為，進一步證明。（8分）【證明】利用二項展開式，將表示為，比較與相應(yīng)各項，注意到，得到，即數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，又，當時，。恒有，則有，即數(shù)列有界，根據(jù)數(shù)列收斂準則，數(shù)列收斂。若記，對任意，總是存在，使得則有，利用夾逼定理，我們得證證畢。4設(shè)函數(shù)定義在上，在每一個有

8、限區(qū)間內(nèi)有界并滿足。試證明：.（10分）【證明】由題設(shè)條件知，對，（），當時，成立 （1）任取，記，則顯然，于是，由（1）式，有 （2）根據(jù)在上的有界性，有，及，于是，當時，成立， （3）又 （4） 現(xiàn)在取，則當時，）2）（3）同時成立，由（4）我們得到。5.設(shè)函數(shù)在區(qū)間只有可去間斷點，令，證明為連續(xù)函數(shù)。（6分）【證明】記的間斷點全體為，記，由題設(shè)，在上處處有定義。由，對任意，存在，當。且時，總有 （1）對任意，考慮到開鄰域的開集性質(zhì)，存在，則對任意且，（1）成立，令，取極限得到，也即即對任意，成立，則，證明在處連續(xù)，由于的任意性，證明為連續(xù)函數(shù)。6.已知在區(qū)間內(nèi)具有單調(diào)的導(dǎo)數(shù)，證明的導(dǎo)函數(shù)

9、在區(qū)間內(nèi)連續(xù)。（6分）【證明】不妨設(shè)在內(nèi)單調(diào)遞增，對任意，在在的左半鄰域中，單調(diào)遞增且以為其上界，在的右半鄰域中，單調(diào)遞增且以為下屆，則由單調(diào)有界定理，極限和存在，由單側(cè)導(dǎo)數(shù)的定義。知道，因為存在，其左右極限相等，故而得到。則在連續(xù)，由的任意性，得證在區(qū)間內(nèi)連續(xù)。7.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上二階可導(dǎo)且，試證明：存在點，使得。（8分）【證明】取，由題設(shè)，得到下列Taylor展式：， （1）， （2）由（1）和（2），并注意到題設(shè)條件得到，記，則。8.證明;閉區(qū)間的全體聚點的集合是本身（8分）【證明】（1）設(shè)，若，則對的任意鄰域，取，則，即中含有的無數(shù)個點，即為的聚點。若，取，則，在內(nèi)含有的無窮多個點，則為

10、的據(jù)點。同理可證也是的聚點。（2）設(shè)為的聚點，且，則或，不妨設(shè)為，則取，則且，則在中不含的點，與聚點相矛盾，故綜合（1）和（2）證得。9.設(shè)和均為定義在上的有界函數(shù)，若已知僅在上有限個點處成立，則當在上可積時，在上也可積，且。（8分）【證明】設(shè)和僅在個點上取值不同，記，。對，存在，使當時，有，令，則當時，有 （1）當時，則中至多有項不為0，故從（1）式得到，由此證得在上可積且。101.設(shè)在上連續(xù)，且，證明：。（8分）【證明】對任意，由，存在，當，有，且在，f注意到的連續(xù)性，得知在閉區(qū)間上連續(xù)有界，故令則得到，即。11.已知曲線，其中，試求：（1）該曲線的弧長；（2）曲線所圍圖形的面積；（3）曲

11、線繞極軸旋轉(zhuǎn)所成立體的曲面面積（12分）?！窘狻浚?）由題設(shè)可知曲線關(guān)于極軸對稱，故，所以；（2）曲線所圍圖形面積為。（3）曲面面積。12.已知級數(shù)收斂，且級數(shù)絕對收斂，證明級數(shù)收斂。（8分）【證明】因為級數(shù)收斂，根據(jù)Cauchy收斂準則，對，存在，使得當，對任意自然數(shù)，都有 （1）由于絕對收斂，對上述，存在，使得當，對任意自然數(shù)，成立 （2）由根據(jù)收斂的定義。級數(shù)的部分和有界，即有界，也即。利用Abel變換得到，當時，對任意自然數(shù)。有。根據(jù)Cauchy收斂準則，級數(shù)收斂。13.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，證明：（1）在上收斂；（2）在上一致收斂的充要條件是什么？證明之。（8分）【證明】（1）直接計算

12、得到，由此證明數(shù)列在上收斂；（2）上述數(shù)列在上一致收斂的充要條件是。必要性“由的連續(xù)性，故其在上有界，又函數(shù)數(shù)列一致收斂且在該區(qū)間上連續(xù)，則其極限函數(shù)在該區(qū)間上也連續(xù)，故。充分性“設(shè)，因為，導(dǎo)數(shù)數(shù)列的極限函數(shù)，考慮到在處連續(xù)，所以對，存在（不妨設(shè)），當時，由此我們得到：當時，當時，顯然。綜上所述，在上一致收斂。14.已知為區(qū)間上可積函數(shù)，且其Fuier級數(shù)在上一致收斂于，證明成立Parseval等式：。（8分）【證明】由題設(shè)，所以（這里用到了收斂的一致性質(zhì)，即和運算于積分運算可交換次序）。15.已知一元函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，令，試證明（1）是否連續(xù)？(2) 是否一致連續(xù)？（8分）【證明】（1）由題設(shè)，對，連續(xù)，即對，存在，當，恒有，故對任意，對任意，取，則當（此時滿足），得知在點處連續(xù)，由的任意性，得到在上處