相似三角形全章復(fù)習(xí)與鞏固基礎(chǔ)知識講解

1、相似三角形全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)） 知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】（1）了解比例的基本性質(zhì)，了解線段的比、成比例線段的概念；（2）通過具體實(shí)例認(rèn)識圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，知道相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，周長的比等于對應(yīng)邊的比，面積的比等于對應(yīng)邊比的平方；（3）了解兩個(gè)三角形相似的概念，探索兩個(gè)三角形相似的條件；（4）通過典型實(shí)例觀察和認(rèn)識現(xiàn)實(shí)生活中物體的相似，利用圖形的相似解決一些實(shí)際問題( 如利用相似測量旗桿的高度)；（5）理解實(shí)數(shù)與向量相乘的定義及向量數(shù)乘的運(yùn)算律.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、比例線段及比例的性質(zhì)1.比例線段：（1）線段的比：如果選用同一長度單位量得兩條線段a，b

2、的長度分別是m，n，那么就說這兩條線段的比是a:b=m:n，或?qū)懗?其中a叫做比的前項(xiàng);b叫做比的后項(xiàng). （2）成比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段 （3）比例的項(xiàng)：已知四條線段，如果，那么，叫做組成比例的項(xiàng)，線段，d叫做比例外項(xiàng)，線段，叫做比例內(nèi)項(xiàng)，線段還叫做，的第四比例項(xiàng) （4）比例中項(xiàng)：如果作為比例線段的內(nèi)項(xiàng)是兩條相同的線段，即a:b=b:c或，那么線段叫做線段和的比例中項(xiàng) 要點(diǎn)詮釋：通常四條線段a,b,c,d的單位應(yīng)該一致，但有時(shí)為了計(jì)算方便，a,b的單位一致，c,d的單位一致也可以.2.比例的性質(zhì)(1)比例的基

3、本性質(zhì)：(2)反比性質(zhì)：(3)更比性質(zhì): 或(4)合比性質(zhì): (5)等比性質(zhì): 且3.平行線分線段成比例定理 （1）三角形一邊的平行線性質(zhì)定理: 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例. （2）三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論:平行于三角形一邊并且和其他兩邊相交的直線,所截得的三角形的三邊與原三角形三邊的對應(yīng)成比例. （3）三角形一邊的平行線判定定理：如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.（4）三角形一邊的平行線判定定理推論：如果一條直線截三角形兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直

4、線平行于三角形的第三邊.（5）平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應(yīng)線段成比例.（6）平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也相等.這幾個(gè)定理主要提出由平行線可得到比例式；反之,有比例可得到平行線.首先要弄清三個(gè)基本圖形： 這三個(gè)基本圖形的用途是: 1.由平行線產(chǎn)生比例式 基本圖形(1): 若l1/l2/l3，則或或或基本圖形(2): 若DE/BC，則或或或基本圖形(3): 若AC/BD，則或或或在這里必須注意正確找出對應(yīng)線段，不要弄錯位置. 2由比例式產(chǎn)生平行線段 基本圖形(2):若, , ,

5、, 之一成立，則DE/BC. 基本圖形(3):若, , , , , 之一成立，則AC/DB. 要點(diǎn)詮釋：（1）平行線等分線段定理是平行線分線段成比例定理的特例；（2）平行線分線段成比例沒有逆定理；（3）由于平行線分線段成比例定理中，平行線本身沒有參與作比例，因此，有關(guān)平行線段的計(jì)算問題通常轉(zhuǎn)化到“A”、“X”型中. A型 X型常用的比例式：.（4）判斷平行線的條件中，只能是被截的兩條直線的對應(yīng)線段成比例(被判斷的平行線本身不能參與作比例).4.三角形的重心三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.要點(diǎn)詮釋：（1）重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對邊中點(diǎn)的距離的二倍；（2）

6、重心的畫法：兩條中線的交點(diǎn).要點(diǎn)二、黃金分割1.黃金分割是指把一條線段(AB)分成兩條線段，使其中較大的線段(AC)是原線段(AB)與較小線段(BC)的比例中項(xiàng)(AC2AB·BC)，C點(diǎn)為黃金分割點(diǎn).2.黃金分割的求法代數(shù)求法： 已知：線段AB ，求作：線段AB的黃金分割點(diǎn)C. 分析：設(shè)C點(diǎn)為所求作的黃金分割點(diǎn)，則AC2AB·CB， 設(shè)AB，ACx，那么CBx， 由AC2AB·CB，得：x2·(x) 整理后，得：x2x 0， 根據(jù)求根公式，得：x (不合題意，舍去) 即ACAB0.618AB， 則C點(diǎn)可作. 黃金分割的幾何求法（尺規(guī)法）： 已知：線段AB

7、， 求作：線段AB的黃金分割點(diǎn)C. 作法：如圖： (1)過B點(diǎn)作BDAB，使BDAB. (2)連結(jié)AD，在AD上截取DEDB. (3)在AB上截取ACAE. 則點(diǎn)C就是所求的黃金分割點(diǎn). 證明：ACAEADAB 而ADACC點(diǎn)是線段AB的黃金分割點(diǎn).要點(diǎn)詮釋：一條線段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn).這種分割之所以被人們稱為黃金分割，是因?yàn)辄S金分割存在美學(xué)規(guī)律和具有實(shí)用價(jià)值.德國著名天文學(xué)家開普勒 (Kepler，15711630)把這種分割稱為“神圣的比例”，說它是幾何中的瑰寶，大家也可以看一下課外的閱讀材料，體會一下黃金分割中所蘊(yùn)含的美學(xué). 要點(diǎn)三、相似三角形1.相似多邊形(1)相似多邊形的特征：相似多邊

8、形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.(2)相似多邊形的識別：如果兩個(gè)多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)多邊形相似.(3)相似比：我們把相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比.(4)相似多邊形的性質(zhì)相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等相似多邊形的周長比等于相似比相似多邊形的面積比等于相似比的平方2.相似三角形（1）相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.（2）相似三角形的表示方法：用“”表示，讀作相似于.如：ABC和DEF相似，可以寫成ABCDEF，也可以寫成DEFABC，讀作ABC相似于DEF.（3）相似三角形的性質(zhì)： 相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.相似三角形對應(yīng)邊上的高的

9、比相等，對應(yīng)邊上的中線的比相等，對應(yīng)角的角平分線的比相等，都等于相似比.相似三角形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.要點(diǎn)詮釋：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的.（4）相似三角形的判定：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似； 如果兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似； 如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似. 如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊的比對應(yīng)相等，那

10、么這兩個(gè)直角三角形相似.（5）相似三角形應(yīng)用舉例相似三角形的知識在實(shí)際生產(chǎn)和生活中有著廣泛的應(yīng)用，可以解決一些不能直接測量的物體的長度問題，加深學(xué)生對相似三角形的理解和認(rèn)識.要點(diǎn)詮釋：要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對應(yīng)角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.要點(diǎn)四、實(shí)數(shù)與向量相乘1.實(shí)數(shù)與向量相乘的意義一般的，設(shè)為正整數(shù)，為向量，我們用表示個(gè)相加；用表示個(gè)相加.又當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，表示與同向且長度為的向量.要點(diǎn)詮釋：設(shè)P為一個(gè)正數(shù)，P就是將的長度進(jìn)行放縮，而方向保持不變；P也就是將的長度進(jìn)行放縮，但方向相反.2.向量數(shù)乘的定義一般地，實(shí)數(shù)與

11、向量的相乘所得的積是一個(gè)向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（1）如果時(shí)，則：的長度：；的方向：當(dāng)時(shí)，與同方向；當(dāng)時(shí)，與反方向；（2）如果時(shí)，則：，的方向任意.實(shí)數(shù)與向量相乘，叫做向量的數(shù)乘.要點(diǎn)詮釋：（1）向量數(shù)乘結(jié)果是一個(gè)與已知向量平行（或共線）的向量；（2）實(shí)數(shù)與向量不能進(jìn)行加減運(yùn)算；（3）表示向量的數(shù)乘運(yùn)算，書寫時(shí)應(yīng)把實(shí)數(shù)寫在向量前面且省略乘號，注意不要將表示向量的箭頭寫在數(shù)字上面；（4）向量的數(shù)乘體現(xiàn)幾何圖形中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.3.實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算律設(shè)為實(shí)數(shù)，則：（1）（結(jié)合律）； （2）（向量的數(shù)乘對于實(shí)數(shù)加法的分配律）； （3） （向量的數(shù)乘對于向量加法的分配律）4.平行

12、向量定理（1）單位向量：長度為1的向量叫做單位向量.要點(diǎn)詮釋：任意非零向量與它同方向的單位向量的關(guān)系：，.（2）平行向量定理：如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)，使.要點(diǎn)詮釋：（1）定理中，的符號由與同向還是反向來確定.（2）定理中的“”不能去掉，因?yàn)槿簦赜?，此時(shí)可以取任意實(shí)數(shù)，使得成立.（3）向量平行的判定定理：是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則向量與非零向量平行.（4）向量平行的性質(zhì)定理：若向量與非零向量平行，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使. （5）A、B、C三點(diǎn)的共線若存在實(shí)數(shù)，使 . 要點(diǎn)五、向量的線性運(yùn)算1.向量的線性運(yùn)算定義向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘以及它們的混合運(yùn)算叫做向

13、量的線性運(yùn)算. 要點(diǎn)詮釋：（1）如果沒有括號，那么運(yùn)算的順序是先將實(shí)數(shù)與向量相乘，再進(jìn)行向量的加減.（2）如果有括號，則先做括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行2.向量的分解平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線（或不平行）的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，使得.要點(diǎn)詮釋： （1）同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線（或不平行）向量叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.一組基底中，必不含有零向量 (2) 一個(gè)平面向量用一組基底表示為形式，叫做向量的分解，當(dāng)相互垂直時(shí)，就稱為向量的正分解. (3) 以平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量為一組基底，該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可表示成這組基底

14、的線性組合，基底不同，表示也不同3.用向量方法解決平面幾何問題（1）利用已知向量表示未知向量用已知向量來表示另外一些向量，除利用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理，因此在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，利用三角形中位線、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解（2）用向量方法研究平面幾何的問題的“三步曲”：建立平面幾何與向量的聯(lián)系，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.通過向量運(yùn)算，研究幾何元素的關(guān)系.把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.【典型例題】類型一、比例線段1. 已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28,

15、求3a-2b+c的值. 【答案與解析】 a:b:c=3:5:7， 設(shè)a=3k, b=5k, c=7k 2a+3b-c=28， 6k+15k-7k=28，k=2， 3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12. 【總結(jié)升華】題目中已知三個(gè)量a,b,c的比例關(guān)系和有關(guān)a,b,c的等式,我們可以利用這個(gè)等量關(guān)系,通過設(shè)參數(shù)k, 轉(zhuǎn)化成關(guān)于k的一元方程,求出k后,問題得解. 舉一反三：【變式】已知： ，求 的值.【答案】根據(jù)等比性質(zhì)：由 得.2如圖,在ABCD中,E為AB中點(diǎn),EF,AC相交于G,求. 【答案與解析】分別延長FE,CB相交于H,(構(gòu)造出了基本圖形) 在ABCD中,ADBC, E為AB

16、中點(diǎn)，AE=BE， AD/BC，AFE=H.在AEF和BEH中：AEFBEH(AAS) AF=BH， ，設(shè)AF=k, 則FD=3k，AD=4k，BH=AF=k，BC=AD=4K，CH=5K， AD/BC，即AF/HC. 【總結(jié)升華】欲求,就需要有平行線,并使已知條件得以利用,雖然題目中有平行線,但無基本圖形,不能使 已知條件發(fā)揮作用,需通過添加輔助線來尋找解題途徑,構(gòu)造基本圖形.此題還有其他輔助線的作法,例如分別延長EF,CD相交于M.或取AC中點(diǎn)N,連結(jié)EN. 請同學(xué)們思考,這兩種方法構(gòu)造了哪些基本圖形,如何求出. 舉一反三：【變式】如圖，在是兩條中線，則（ ）A12 B23 C13 D14

17、【答案】由題意可知，為的中位線，則CEDCAB，故選D類型二、相似三角形3如圖，在ABC中，C90°，將ABC沿直線MN翻折后，頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)D處，已知MNAB，MC6，NC，則四邊形MABN的面積是（ ）A B C D【答案】C；【解析】由MC6，NC，C90°得SCMN=，再由翻折前后CMNDMN得對應(yīng)高相等；由MNAB得CMNCAB且相似比為1:2，故兩者的面積比為1:4，從而得SCMN：S四邊形MABN=1:3，故選C.【總結(jié)升華】本題綜合考查了直角三角形的面積算法、翻折的性質(zhì)、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似圖形的面積比等于相似比的平方等一些類

18、知識點(diǎn).知識點(diǎn)豐富；考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識來解決問題的能力.難度較大.舉一反三：【變式】如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B與CD的中點(diǎn)重合，若AB=2，BC=3，則FC與DG的面積之比為（ ）A.9：4 B.3：2 C.4：3 D.16：9【答案】D.設(shè)CF=x，則BF=3-x，由折疊得F=BF=3-x,在RtFC中，由由勾股定理得CF2+C2=F2，x2+12=(3-x)2,解得x=,由已知可證RtFCRtDG，所以SFC與SDG的面積比為（：1）2=.類型三、實(shí)數(shù)與向量相乘4已知下列命題：； ； ；其中正確命題序號是_.【答案】、 .【解析】掌握平面向量數(shù)量積的含義，平面數(shù)量積的運(yùn)算律不同于實(shí)數(shù)的運(yùn)算律.【總結(jié)升華】應(yīng)用向量的運(yùn)算性質(zhì).類型四、向量的線性運(yùn)算5如圖，已知口ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)F，設(shè)，。分別求向量、關(guān)于、的分解式。 【答案與解析】連結(jié)AC，交BD于O，則O為AC的中點(diǎn)，在ABC中，BO，AE分別為AC與BC邊上的中線， F為ABC的重心 ， 【總結(jié)升華】應(yīng)用向量的線性運(yùn)算即可求向量的分解式.類型五、相似與其它知識綜合問題6如圖1，在ABC中，D、E、F分別為三邊的中點(diǎn)，G點(diǎn)在邊AB上