燃料最優(yōu)控制問(wèn)題探究

1、燃料最優(yōu)控制問(wèn)題探究0 引言隨著社會(huì)科技的不斷發(fā)展，人們的生活水平、生活質(zhì)量有了質(zhì)的飛躍。但是，這些都對(duì)能源提出了更高的要求，科學(xué)技術(shù)的發(fā)展也離不開能源的支持。就目前探明的能源情況來(lái)看，現(xiàn)有能源最多能夠滿足我國(guó)幾十年的使用。為了國(guó)家的長(zhǎng)久發(fā)展，尋找新能源迫在眉睫，同時(shí)，節(jié)約能源也同樣重要。因此，能源的利用效率就非常重要，這就必須要考慮到能源的最優(yōu)化實(shí)現(xiàn)，尤其是燃料的最優(yōu)化實(shí)現(xiàn)。在實(shí)際工程中，常常需要考慮使控制過(guò)程中的能量消耗最小，從而達(dá)到節(jié)約燃料、提高續(xù)航和安全的目標(biāo)。例如，在航空航天領(lǐng)域中，航天器大多采用燃料燃燒所產(chǎn)生的發(fā)動(dòng)機(jī)推力或力矩來(lái)進(jìn)行控制的，從節(jié)約燃料、節(jié)省成本和延長(zhǎng)續(xù)航時(shí)間角度考慮

2、，實(shí)現(xiàn)燃料消耗最小非常重要。此外，燃料消耗是衛(wèi)星相對(duì)軌道轉(zhuǎn)移任務(wù)中最為關(guān)注的問(wèn)題，因?yàn)樗苯記Q定了衛(wèi)星的使用壽命。在其他諸如燃料電池轎車動(dòng)力系統(tǒng)、發(fā)動(dòng)機(jī)燃料最優(yōu)控制系統(tǒng)等問(wèn)題中，燃料最優(yōu)控制也是十分重要的。1 燃料最優(yōu)控制問(wèn)題描述設(shè)燃料消耗率以非負(fù)量表示，則控制過(guò)程中的燃料消耗總量為(1)一般地說(shuō)，燃料消耗率與控制向量（推力或力矩）有確定關(guān)系，即。下面考慮關(guān)系式(2)它的物理意義是，當(dāng)推力或力矩增加時(shí)，燃料消耗成比例地增加，其比例系數(shù)為。發(fā)動(dòng)機(jī)推力或力矩不能任意大而受限制，即(3)為了保證控制過(guò)程中燃料最省，控制的性能指標(biāo)可以選為消耗燃料總量(4)但是，在研究燃料最優(yōu)控制問(wèn)題時(shí)，還應(yīng)該同時(shí)考慮

3、過(guò)渡過(guò)程時(shí)間。因?yàn)槟┲禃r(shí)刻自由，從燃料消耗最優(yōu)出發(fā)，就可能導(dǎo)致過(guò)長(zhǎng)的時(shí)間；而強(qiáng)調(diào)時(shí)間，又有可能使燃料過(guò)多消耗。所以，考慮燃料消耗的快速控制問(wèn)題的性能指標(biāo)時(shí)，一種較好的選擇是采用時(shí)間加權(quán)性能指標(biāo)，即(5)式中，是大于零的加權(quán)系數(shù)，它體現(xiàn)了對(duì)時(shí)間的重視程度。當(dāng)時(shí)，不計(jì)及時(shí)間，只考慮燃料消耗；當(dāng)時(shí)，不計(jì)及燃料消耗，只考慮時(shí)間最快。式(5)為性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題稱為燃料消耗的快速控制問(wèn)題，又稱時(shí)間-燃料最優(yōu)控制問(wèn)題。因?yàn)槿剂献顑?yōu)控制問(wèn)題的性能指標(biāo)比較復(fù)雜，多以燃料最優(yōu)控制的理論研究也比較困難。本文僅以二次積分模型為例來(lái)說(shuō)明燃料最優(yōu)控制問(wèn)題。2 燃料最優(yōu)控制理論綜述1) 二次積分模型二次積分模型的狀態(tài)

4、方程為(6)控制受限(7)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為(8)末值狀態(tài)為(9)性能指標(biāo)為(10)要求在狀態(tài)方程的約束下，尋求滿足式(7)的最優(yōu)控制,使系統(tǒng)從轉(zhuǎn)移到,同時(shí)使取最小值。由于控制受到約束，且性能指標(biāo)中的被積函數(shù)不滿足可微條件，因此不能用變分法求解該問(wèn)題，只能用極小值原理來(lái)求解。系統(tǒng)是能控的，最優(yōu)控制問(wèn)題的解存在。2) 極小值原理對(duì)于如下時(shí)變系統(tǒng)、積分型性能指標(biāo)、末端固定、自由和控制受約束的最優(yōu)控制問(wèn)題：(11)式中，為系統(tǒng)狀態(tài)向量；，為系統(tǒng)控制向量；為容許控制；是在內(nèi)取值的任何分段連續(xù)函數(shù)；末態(tài)固定；末端時(shí)刻自由。假設(shè)函數(shù)在任意有界集上對(duì)變量滿足李卜希茨條件：當(dāng)為有界集時(shí)，存在一常數(shù),使得只要，對(duì)

5、于任意，有則對(duì)于最優(yōu)解和，以及相應(yīng)的最優(yōu)軌線，必存在非零的維向量函數(shù)，使得及滿足下述正則方程(12)(13)式中哈密頓函數(shù)(14)及滿足邊界條件(15)(16)哈密頓函數(shù)相對(duì)最優(yōu)控制取絕對(duì)極小值(17)在最優(yōu)軌線末端哈密頓函數(shù)應(yīng)滿足(18)3) 問(wèn)題求解根據(jù)極小值原理，燃料最優(yōu)控制問(wèn)題最優(yōu)解的必要條件為正則方程令哈密頓函數(shù)為(19)則有(20)邊界條件(21)極小值條件(22)函數(shù)變化率(23)由式(22)知，哈密頓函數(shù)對(duì)最優(yōu)控制軌線取極小值，等價(jià)于下列函數(shù)(24)對(duì)最優(yōu)控制取極小值。其中，與的關(guān)系如下圖1所示。圖1 與的關(guān)系圖即(25)由式(25)可知，最優(yōu)控制軌線的完全確定，取決于的性質(zhì)。

6、根據(jù)性質(zhì)的不同，燃料最優(yōu)控制問(wèn)題可以分為正常與奇異兩種情況。(1) 正常情況若在時(shí)間區(qū)間上，只在有限點(diǎn)上成立，則最優(yōu)控制可取-1,0,+1 三個(gè)值，且在這三個(gè)值上轉(zhuǎn)換。(2) 奇異情況若在時(shí)間區(qū)間上，至少存在一段時(shí)間間隔，在其上有，則屬于奇異情況。此時(shí)，最優(yōu)控制軌線由正?；《魏推娈惢《蝺刹糠纸M成。3 實(shí)踐有限推力軌道轉(zhuǎn)移燃料最優(yōu)控制有限推力下最小燃料消耗軌道轉(zhuǎn)移問(wèn)題的最優(yōu)控制問(wèn)題模型可描述如下(26)式中，為發(fā)動(dòng)機(jī)推力的最大幅值，控制為推力在軌道坐標(biāo)系中方向分量。衛(wèi)星的軌道運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的狀態(tài)常用一種稱為MEE的軌道根數(shù)和質(zhì)量來(lái)表示。對(duì)于軌道轉(zhuǎn)移任務(wù)，要求初始軌道和目標(biāo)軌道是不同的，因而最優(yōu)控制是

7、非空的。問(wèn)題滿足的初值邊界條件用MEE可描述為(27)而終端邊界條件則為(28)為使問(wèn)題便于解決，作以下假設(shè)(1)系統(tǒng)模型的狀態(tài)始終滿足路徑約束(29)即衛(wèi)星在橢圓域內(nèi)飛行，在地心坐標(biāo)系下位置向量幅值始終大于地球半徑，為無(wú)燃料的衛(wèi)星質(zhì)量。(2)最終飛行時(shí)間要嚴(yán)格大于最短軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間。(3)衛(wèi)星在終端時(shí)質(zhì)量滿足且是自由的。問(wèn)題滿足可控性條件，在滿足假設(shè)(1)(3)及非空最優(yōu)控制約束的條件下，存在時(shí)間固定時(shí)的燃料最優(yōu)可行解。解 燃料最優(yōu)的性能指標(biāo)取為L(zhǎng)agrange型，應(yīng)用極小值原理，系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)為(30)式中，為大于0的常數(shù)，通常取為1；3為Hamiltonian提升；分別為狀態(tài)對(duì)應(yīng)的協(xié)狀態(tài)。根據(jù)極小值原理可知不同時(shí)為0時(shí)，應(yīng)用Cauchy-Schwarz不等式，令,取，則式(30)有(31)則當(dāng)時(shí)式(31)取等號(hào)。因此令，當(dāng)不為0時(shí)，最小函數(shù)的解可寫成(32)定義切換函數(shù)(33)則當(dāng)時(shí)，最優(yōu)控制為(34)其中,而當(dāng)時(shí)，則有(35)由上述分析可知，最優(yōu)控制函數(shù)是由Bang