運(yùn)用整體思想巧解高考數(shù)列題 專題輔導(dǎo) 不分版本

1、運(yùn)用整體思想巧解高考數(shù)列題陸海泉 歷年高考數(shù)學(xué)試題中，往往會(huì)出現(xiàn)一些用常規(guī)方法難以解決的等差、等比數(shù)列題，對(duì)于這些問題，可以通過研究其整體結(jié)構(gòu)，巧妙的解決問題，下面給出幾種整體處理的方法供參考。一、整體固定 例1. （1996年全國高考題）等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則前3m項(xiàng)和為（ ） A. 130B. 170 C. 210D. 260 分析：利用等差數(shù)列求和公式列出關(guān)于首項(xiàng)a1和公差d的方程組，不僅解出的a1、d都與m有關(guān)，而且運(yùn)算也比較麻煩。倘若將此數(shù)列的前3m項(xiàng)平均分成三段，每段m項(xiàng)的和固定為一個(gè)字母，則其解法十分靈巧簡(jiǎn)便。 解：在數(shù)列an中，設(shè) ； ； ； 則。

2、 又由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：仍成等差數(shù)列，即。 所以。 所以。故選C。二、整體變形 例2. （1997年江西會(huì)考）已知數(shù)列an的通項(xiàng)，求此數(shù)列前n項(xiàng)和Sn。 分析：即求和。因，既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列，故無公式可直接應(yīng)用?，F(xiàn)將兩邊同乘以x，整體變形為后，兩式相減即可求出Sn（解略）。 點(diǎn)評(píng)：（1）課本中等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)就是用的“整體固定”的方法；等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)就是用的“整體變形”的方法。 （2）已知an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，求形如數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和?？偪梢杂蒙鲜稣w變形的方法轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和。三、整體代換 例3. （1994年上海題）已知等差數(shù)列an中，a164

3、1，那么S31_。 分析：欲求S31，須知首項(xiàng)a1和公差d，但由這一個(gè)條件求不出和d。怎么辦？將作整體代換。問題便迎刃而解。 解：因?yàn)?所以 四、整體轉(zhuǎn)化 例4. 數(shù)列an前n項(xiàng)和記為Sn，已知，求證數(shù)列bn：，是等比數(shù)列。 分析：欲知。故實(shí)施Sn向an的整體轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵。 證明：知， 因?yàn)椋?所以， 所以。 所以。 又由。 所以數(shù)列an是首項(xiàng)，且公比的等比數(shù)列。 所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列。 點(diǎn)評(píng)：數(shù)列中是實(shí)施相互轉(zhuǎn)化的常用關(guān)系式。練習(xí) 1. 在等差數(shù)列中，求的值。 2. 在數(shù)列，前n項(xiàng)的和。 3. （2001年全國題）設(shè)an是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)和為12，前三項(xiàng)積為48，則它的首項(xiàng)是（ ） A. 1B. 2 C. 4D. 16 4. （1992年全國）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知，（1）求公