高一數(shù)學(xué)必修二平面的基本性質(zhì)以及平行直線(xiàn)和異面直線(xiàn)

1、高一數(shù)學(xué)必修2 平面的基本性質(zhì)以及平行直線(xiàn)和異面直線(xiàn)一、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：1.認(rèn)真體會(huì)平面是無(wú)限延展的，它無(wú)大小之分，僅有位置上的區(qū)別；2.三個(gè)公理及三個(gè)推論在運(yùn)用上的各自分工；3.正確理解異面直線(xiàn)的概念，并能夠利用平移法作出異面直線(xiàn)所成的角；4.難點(diǎn)是養(yǎng)成良好的空間作圖習(xí)慣和思維方法，特別是集合符號(hào)的合理利用。二、知識(shí)精講：1.平面的概念：(1)平面是一個(gè)只描述不定義的基本概念。具體的例如：桌面、黑板面、平靜的水面，我們可以認(rèn)識(shí)到“平面”是絕對(duì)平坦，沒(méi)有厚度，沒(méi)有邊界無(wú)限延展的一個(gè)理想的幾何圖形。(2)記為：，平面ABCD或平面AC。(3)畫(huà)多個(gè)平面時(shí)，一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮住的線(xiàn)段要畫(huà)成虛線(xiàn)

2、或不畫(huà)。(4)圖形語(yǔ)言為：2. (1)公理1：圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言：(2)公理2：圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言：(3) 公理3：圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言：A、B、C不共線(xiàn)存在唯一平面使得3.推論：（推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)有且只有一個(gè)平面）已知：直線(xiàn)a、b且 求證：過(guò)a、b有且只有一個(gè)平面證法一：存在性在直線(xiàn)a、b上分別取不同于點(diǎn)P的點(diǎn)A、B，則點(diǎn)A、B、P是不共線(xiàn)的三點(diǎn)（否則與a、b是兩條相交直線(xiàn)矛盾）根據(jù)公理3，過(guò)A、B、P三點(diǎn)有一個(gè)平面，即同理，因此過(guò)直線(xiàn)a、b有平面唯一性經(jīng)過(guò)直線(xiàn)a、b的平面一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、P，根據(jù)公理3，經(jīng)過(guò)不共線(xiàn)的三點(diǎn)A、B、P的平面只有一個(gè)，經(jīng)過(guò)a、b的平面只有一個(gè)由、，可知經(jīng)過(guò)兩條

3、相交直線(xiàn)有且只有一個(gè)平面推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)有且只有一個(gè)平面已知：直線(xiàn)a、b且a/b求證：經(jīng)過(guò)a、b有且只有一個(gè)平面證明：存在性a/b，由平行線(xiàn)的定義，a、b在同一平面內(nèi)，過(guò)直線(xiàn)a、b有一個(gè)平面唯一性在直線(xiàn)b上任取一點(diǎn)B，則（否則與a/b矛盾），且B、a在過(guò)a、b的平面內(nèi)又由推論1，過(guò)點(diǎn)B和直線(xiàn)a的平面只有一個(gè)，過(guò)直線(xiàn)a、b的平面只有一個(gè)由、，可知經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)的平面有且只有一個(gè)4.空間兩直線(xiàn)的位置關(guān)系：名稱(chēng)含義符號(hào)表示圖示相交直線(xiàn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)平行直線(xiàn)在同一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)異面直線(xiàn)不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)且(2)兩條異面直線(xiàn)所成的角5.集合符號(hào)的利用：點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作

4、，否則點(diǎn)A在直線(xiàn)l上，記作，否則直線(xiàn)l在平面內(nèi)，記作，否則直線(xiàn)l1與l2相交于A點(diǎn)，記作三、典型范例1.平面的概念：例1.判斷下列說(shuō)法是否正確？并說(shuō)明理由：(1)平等四邊形是一個(gè)平面(2)任何一個(gè)平面圖形都是一個(gè)平面(3)在空間圖形中，原圖中的線(xiàn)都要畫(huà)成實(shí)線(xiàn)，后補(bǔ)畫(huà)的線(xiàn)都畫(huà)成虛線(xiàn)(4)用平行四邊形表示的平面，以四邊為邊界解：(1)不正確，平面是無(wú)限延展的，而平行四邊形是有限的，它只是平面的一部分(2)不正確，平面圖形和平面是完全不同的概念，平面圖形有的（如角）也可以無(wú)限延展，但不可能向四周無(wú)限延展(3)不正確，空間圖形中把被平面遮住的線(xiàn)段畫(huà)成虛線(xiàn)（無(wú)論原先有的還是后來(lái)畫(huà)的輔助線(xiàn)）(4)不正確，

5、平面是沒(méi)有邊界的2.共點(diǎn)、共線(xiàn)、共面問(wèn)題：例2.四條直線(xiàn)兩兩相交且任何三條都不交于一點(diǎn)，則這四條直線(xiàn)共面分析：說(shuō)明四條直線(xiàn)共面，必須先找到一個(gè)平面，再想辦法說(shuō)明這四條直線(xiàn)都在這個(gè)平面內(nèi)已知：如圖a、b、c、d兩兩相交且任何三條不交于一點(diǎn)，求證：a、b、c、d共面證法一：，確定一個(gè)平面（推論2），即（公理1）同理共面點(diǎn)撥：證明直線(xiàn)（或點(diǎn)）共面，一般先由其中的一部分或點(diǎn)確定一個(gè)平面，再由公理1，公理3及其推論證明其余的直線(xiàn)或點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)例3.已知:四邊形ABCD，AB/CD，直線(xiàn)AB、BC、CD、DA交平面于E、G、F、H，求證：E、F、G、H四點(diǎn)共線(xiàn)證明：如圖916AB/CD，AB、CD確定

6、平面E、F、G、H分別在直線(xiàn)AB、CD、BC、AD上，E、F、G、H都在內(nèi)圖916又E、F、G、H都在內(nèi)，不是同一個(gè)平面且有交點(diǎn)，有且只有一條交線(xiàn)l，即E、F、G、H，即E、F、G、H共線(xiàn)點(diǎn)撥：公里2中兩個(gè)平面的交線(xiàn)是由這兩個(gè)平面中所有公共點(diǎn)組成的集合，因此公理2往往用來(lái)證明多點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，也常常用來(lái)證明像下例中的多線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題例4.如圖917，E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、AD、BC、CD上的點(diǎn)，且直線(xiàn)EF和GH交于一點(diǎn)，求證：EF、BD、GH交于一點(diǎn)證明：設(shè)EF，GH交于一點(diǎn)P，直線(xiàn)EF，則平面ABD直線(xiàn)GH，則平面CBD圖917平面平面CBD=直線(xiàn)BDEF、GH、BD三線(xiàn)共

7、點(diǎn)P例5.如圖918，在棱長(zhǎng)為的正方體中，M、N分別為的中點(diǎn)，過(guò)D、M、N的平面a與正方體的下底面相交于直線(xiàn)l(1)畫(huà)出直線(xiàn)l；(2)畫(huà)出a與正方體的各面的交線(xiàn)；(3)設(shè)，求的長(zhǎng)圖918解：(1)a與平面的交線(xiàn)為DM，DM與的交點(diǎn)為Q，則平面，連結(jié)QN，則QN即為l(2)設(shè)，連結(jié)MP，再連結(jié)DNa與正方體的四個(gè)面相交，交線(xiàn)為DM、MP、PN、ND(3)由M是中點(diǎn)得是中點(diǎn)3.兩條異面直線(xiàn)的證明，所成角的問(wèn)題：例6.已知且且c/a，求證：b、c是異面直線(xiàn)分析：b與c的位置關(guān)系只有三種，假設(shè)b、c不是異面直線(xiàn)即是相交的或平行的，勢(shì)必會(huì)推出已知或事實(shí)相矛盾的結(jié)果從而可證明b、c是異面的證明：假設(shè)b、c

8、不異面即b/c或(1)若b/c，又因?yàn)閏/a，a/b與矛盾(2)若，又因?yàn)閯ta與c相交與c/a矛盾綜上得b、c是異面直線(xiàn)點(diǎn)撥：證明兩條直線(xiàn)是異面直線(xiàn)的常用方法有(1)直接法：根據(jù)異面直線(xiàn)的定義或根據(jù)教材P14例3的結(jié)論來(lái)證明；(2)反證法：更為常用，因?yàn)闀?shū)寫(xiě)簡(jiǎn)明，條理性強(qiáng)例7.如圖925，在正方體中，E、F分別是棱的中點(diǎn)，求EF與所成角的大小分析：把EF平移到，再平移到AC，則所求角與有關(guān)，求出角，即可得EF與所成角解：連結(jié)和AC，圖925由定義所求角與有關(guān)連結(jié)得正三角形，即EF與AD1所成角為60°點(diǎn)撥：求兩條異面直線(xiàn)所成角的一般步驟為“作（或找）角求角”，具體為用平移法找或作出角

9、. 認(rèn)定此角（或其補(bǔ)角）即為所要求的角解三角形求角例8.已知空間四邊形ABCD中，各邊長(zhǎng)均為a，且對(duì)角線(xiàn)ADBC=a，如圖926，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，連結(jié)AF、CE求異面直線(xiàn)AF與CE所成角解：連結(jié)FD，取FD的中點(diǎn)O，連結(jié)EO，OC，E、O分別為AD、FD的中點(diǎn)，EO/AF，則或其補(bǔ)角即為所求的角在CEO中，圖926， AF與CE所成角為 點(diǎn)撥：由于作角的關(guān)鍵是平移直線(xiàn)，而移法可能不同，有時(shí)移一條，有時(shí)要移兩條，因此作出的角的位置也不盡相同，有時(shí)所求角是作出的角的補(bǔ)角，因此求異面直線(xiàn)所成角的具體做法較多四、課后鞏固訓(xùn)練：<一>選擇題：1.一條直線(xiàn)和兩條異面直線(xiàn)中的一條平

10、行，則它與另一條直線(xiàn)的位置關(guān)系是（）A.平行或異面B.平行或相交C.相交或異面D.互相垂直2.異面直線(xiàn)a、b分別在平面和內(nèi)，且，那么直線(xiàn)c一定（）A.與a、b都相交 B.只能與a、b中的一條相交C.至少與a、b中的一條相交 D.與a、b都不相交3.下面有四個(gè)命題若兩條直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩條直線(xiàn)互相平行；若兩條直線(xiàn)都和另一條直線(xiàn)相交且垂直，則這兩條直線(xiàn)互相平行；若兩條直線(xiàn)都和另一條直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩條直線(xiàn)平行；若兩條直線(xiàn)和另一條直線(xiàn)相交所成的角相等，則這兩條直線(xiàn)互相平行，其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.34.在正方體中與成45°角的棱有A.2條B.3條C.6條D.

11、8條5.“”是“”的A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件6.分別和兩條異面直線(xiàn)都相交的兩條直線(xiàn)一定是（）A.異面直線(xiàn)B.相交直線(xiàn)C.不相交直線(xiàn)D.不平行直線(xiàn)7.對(duì)于已知直線(xiàn)a，如果直線(xiàn)b同時(shí)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：(1)與a是異面直線(xiàn)；(2)與a所成的角為定值；(3)與a的距離為定值d，那么這樣的直線(xiàn)b有（）A.1條B.2條C.3條D.無(wú)數(shù)條8.如圖9219，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC1、AD的中點(diǎn)，那么異面直線(xiàn)OE和FD1所成角的余弦值等于（）圖9219A.B.C.D.<二>填空題：9.已知異面直線(xiàn)a、b所成的角是

12、80°，P為空間一定點(diǎn)，則過(guò)P且與a、b所成角都是50°的直線(xiàn)有_條10.在空間四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)ACBD2a，M、N分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，若，則AC與BD所成角為_(kāi)，MN與AC所成角為_(kāi)11.在空間四邊形ABCD中，ABCD8，M、N分別是邊BD、AC的中點(diǎn)，若異面直線(xiàn)AB與CD成角為60°，則MN的長(zhǎng)為_(kāi)12.下列四個(gè)命題：垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行；一條直線(xiàn)垂直于兩條平行線(xiàn)中的一條，也垂直于另一條；經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與這條直線(xiàn)垂直；已知，若，則其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)<三>解答題：13.如圖9221，空間四邊形ABCD中，四

13、條邊AB、BC、CD、DA及對(duì)角線(xiàn)AC、BD均相等，E為AD的中點(diǎn)，求AB與CE所成的角圖922114.如圖9223的長(zhǎng)方體中，AB=BC=2a，AA1=a，E、F分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)求：(1)EF和AD1所成的角；(2)A1D1和B1C1間距離；(3)AC1與B1C所成的角圖922315.如圖9224在空間四邊形ABCD中，AB=BD=AD=2，延長(zhǎng)BC到E使CE=BC，F(xiàn)為BD中點(diǎn)，求：異面直線(xiàn)AF與DE的距離和所成角圖9224參考答案<一>選擇題：1.C 2.C 3.A 4.D 5.D 6.D 7.D 8.B<二>填空題：9. 3 10. 90°，45° 11.4或