空間向量的直角坐標(biāo)及其運(yùn)算打印

1、課 題：96空間向量的直角坐標(biāo)及其運(yùn)算 (一) 教學(xué)目的：掌握空間右手直角坐標(biāo)系的概念，會(huì)確定一些簡單幾何體（正方體、長方體）的頂點(diǎn)坐標(biāo)；掌握空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律；3.會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷兩個(gè)向量共線或垂直；4.會(huì)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決有關(guān)問題教學(xué)重點(diǎn)：空間右手直角坐標(biāo)系，向量的坐標(biāo)運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)：空間向量的坐標(biāo)的確定及運(yùn)算授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析：  本節(jié)有兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)：向量和點(diǎn)的直角坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)運(yùn)算、夾角和距離公式這一小節(jié)，我們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系下，使向量運(yùn)算完全坐標(biāo)化去掉基底，使空間一個(gè)向量對(duì)應(yīng)一個(gè)三維數(shù)組，這樣使向量運(yùn)算更加

2、方便在上一小節(jié)已學(xué)習(xí)向量運(yùn)算的基礎(chǔ)上，把向量運(yùn)算完全坐標(biāo)化，對(duì)學(xué)生已不會(huì)感到抽象和困難在第2個(gè)知識(shí)點(diǎn)中，我們給出空間解析幾何兩個(gè)最基本的公式：夾角和距離公式在這個(gè)知識(shí)點(diǎn)中，作為向量坐標(biāo)計(jì)算的例題，還順便證明了直線與平面垂直的“性質(zhì)定理”通過解一些立體幾何的應(yīng)用題，就可為學(xué)生今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間解析幾何、高維向量和矩陣打下基礎(chǔ) 要求學(xué)生理解空間向量坐標(biāo)的概念，掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，掌握兩點(diǎn)的距離公式掌握直線垂直于平面的性質(zhì)定理  教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入： 1平面向量的坐標(biāo)表示 分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底任作一個(gè)向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使得把叫

3、做向量的（直角）坐標(biāo)，記作其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)， 特別地，2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算若，則，若，則3 (¹)的充要條件是x1y2-x2y1=04平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩個(gè)非零向量，試用和的坐標(biāo)表示設(shè)是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，那么，所以又，所以這就是說：兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和5.平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式（1）設(shè)，則或（2）如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)6.向量垂直的判定設(shè)，則7.兩向量夾角的余弦（） cosa,b= cosq=8空間向量的基本定理：若是空間的一個(gè)基底，是空間任意一向量，存在

4、唯一的實(shí)數(shù)組使二、講解新課：1 空間直角坐標(biāo)系：（1）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長為，這個(gè)基底叫單位正交基底，用表示；（2）在空間選定一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸我們稱建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)叫原點(diǎn)，向量 都叫坐標(biāo)向量通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面，平面；（3）作空間直角坐標(biāo)系時(shí)，一般使（或），；（4）在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向軸的正方向，食指指向軸的正方向，如果中指指向軸的正方向，稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系規(guī)定立幾中建立的坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系2空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：如圖給

5、定空間直角坐標(biāo)系和向量，設(shè)為坐標(biāo)向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作 在空間直角坐標(biāo)系中，對(duì)空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)3空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：（1）若，則， ，（2）若，則一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)三、講解范例：例1 已知，求，解：，例2求點(diǎn)關(guān)于平面，平面及原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)解：在平面上的射影，在平面上的射影為， 點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于平面及原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為，例3在正方體中，分別是的中點(diǎn)，求證平面證明：

6、不妨設(shè)已知正方體的棱長為個(gè)單位長度，設(shè)，分別以為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系，則， ，又，所以，平面四、課堂練習(xí)：1已知ABCDA1B1C1D1是棱長為2的正方體，E、F分別是BB1和DC的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，試寫出圖中各點(diǎn)的坐標(biāo)分析：要求點(diǎn)E的坐標(biāo)，過點(diǎn)E與x軸、y軸垂直的平面已存在，只要過E作平面垂直于z軸交E點(diǎn)，此時(shí)|x|y|z|，當(dāng)?shù)姆较蚺cx軸正向相同時(shí)，x0，反之x0，同理確定y、z的符號(hào)，這樣可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，,D1(0,0,2)，E(

7、2,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)2已知a(2，3,5)，b(3,1，4)，求ab，ab，8a，ab解：ab（2，3,5）（3,1，4）（1，2,1），ab（2，3,5）（3,1，4）（5，4,9），8a8（2，3,5）（16，24,40），ab（2，3,5）（3,1，4）6（3）（20）293在正方體要ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為BB1、CD的中點(diǎn)，求證：D1F平面ADE證明：不妨設(shè)已知正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則又D1FAE，又ADAEA，D1F平面ADE本例中坐標(biāo)系的選取具有一般性，在今后會(huì)常用到，這樣選取可以使正方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)均為非負(fù)，且易確定原

8、點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0,0)，x軸上的坐標(biāo)為(x,0,0)，y軸上的坐標(biāo)為(0,y,0)，z軸上的坐標(biāo)為(0,0,z).要使一向量a(x,y,z)與z軸垂直，只要z0即可事實(shí)上，要使向量a與哪一個(gè)坐標(biāo)軸垂直，只要向量a的相應(yīng)坐標(biāo)為0鞏固練習(xí)P39練習(xí)16五、小結(jié) ： 空間右手直角坐標(biāo)系的概念，會(huì)確定一些簡單幾何體的頂點(diǎn)坐標(biāo)； 掌握空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律；3. 會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷兩個(gè)向量共線或垂直；4. 會(huì)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決有關(guān)問題5用向量坐標(biāo)法證明或計(jì)算幾何問題的基本步驟：建系設(shè)坐標(biāo)向量點(diǎn)的坐標(biāo)化向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算 六、課后作業(yè)：七、板書設(shè)計(jì)（略）八、課后記：教學(xué)以單位正交基底建立直角坐標(biāo)系時(shí)

9、，根據(jù)前面向量分解定理，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)從一般到特殊的思想方法在解數(shù)學(xué)問題中的重要性；.點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)一般不同，只有表示向量的有向線段的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí).有向線段終點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相同.這一點(diǎn)務(wù)必向?qū)W生講清楚.；明確用向量坐標(biāo)法證明或計(jì)算幾何問題的基本步驟：建系設(shè)坐標(biāo)向量點(diǎn)的坐標(biāo)化向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算鞏固空間向量數(shù)量積的概念；2熟練應(yīng)用空間向量數(shù)量積解決立體幾何中的一些簡單問題教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用空間向量數(shù)量積解決問題教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用空間向量數(shù)量積解決問題 授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做

10、向量注：空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示2空間向量的運(yùn)算定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下;運(yùn)算律：加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：3平行六面體：平行四邊形ABCD平移向量到的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體，并記作：ABCD它的六個(gè)面都是平行四邊形，每個(gè)面的邊叫做平行六面體的棱4. 平面向量共線定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量由于任何一組平行向量都可以平移到同一條直線上，所以平行向量也叫做共線向量向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使

11、.要注意其中對(duì)向量的非零要求5 共線向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量平行于記作當(dāng)我們說向量、共線（或/）時(shí)，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線6 共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量、（），/的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使.推論：如果為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線，那么對(duì)于任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t滿足等式 其中向量叫做直線的方向向量.空間直線的向量參數(shù)表示式：或，中點(diǎn)公式 7向量與平面平行：已知平面和向量，作，如果直線平行于或在內(nèi)，那么我們說向量平行于平面，記作：通常我們把平行于同一平面的向量，

12、叫做共面向量說明：空間任意的兩向量都是共面的8共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)使推論：空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使 或?qū)臻g任一點(diǎn)，有或 上面式叫做平面的向量表達(dá)式9 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使若三向量不共面，我們把叫做空間的一個(gè)基底，叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底推論：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)，使10 空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互

13、相垂直，記作：.11向量的模：設(shè)，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：.12向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即已知向量和軸，是上與同方向的單位向量，作點(diǎn)在上的射影，作點(diǎn)在上的射影，則叫做向量在軸上或在上的正射影. 可以證明的長度13空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： （1）（2）（3）14空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：（1）（2）（交換律）（3）（分配律）二、講解范例：例1 已知線段在平面內(nèi)，線段，若，求間的距離解：（方法一）連結(jié)，在中，在中，所以，（方法二）： 又，又，所以 例2已知平行六面體中，求的長解： 所以，例3已知是邊長為的正三角形所在平面外一點(diǎn)，且，分別是，的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值分析：要求異面直線與所成角的余弦值，只要求與所成的角的余弦值，因此就要求以及，然后再用向量夾角公式求解解：設(shè)， ，所以，異面直線與所成角的余弦值為點(diǎn)評(píng)：設(shè)出空間的一個(gè)基底后，求數(shù)量積的時(shí)候目標(biāo)就更加明確了，只要將與都化為用基向量表示就可以了本題中與的夾角是異面直線與所成角的補(bǔ)角例4如圖長方體中，為與的交點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，又，求長方體的高分析：本題的關(guān)鍵是如何利用這個(gè)條件，在這里可利用 將其轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積問題解法一：， ，所求高解法二：設(shè)，則，則 0 即0，即所求高點(diǎn)評(píng)：本題從表面上看是求線段長度，但