第七講含絕對值的方程及不等式

1、第七講 含絕對值的方程及不等式從數(shù)軸上看，一個(gè)數(shù)的絕對值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離但除零以外，任一個(gè)絕對值都是表示兩個(gè)不同數(shù)的絕對值即一個(gè)數(shù)與它相反數(shù)的絕對值是一樣的由于這個(gè)性質(zhì)，所以含有絕對值的方程與不等式的求解過程又出現(xiàn)了一些新特點(diǎn)本講主要介紹方程與不等式中含有絕對值的處理方法 一個(gè)實(shí)數(shù)a的絕對值記作a，指的是由a所唯一確定的非負(fù)實(shí)數(shù)：含絕對值的不等式的性質(zhì)： (2)a-ba+ba+b；(3)a-ba-ba+b由于絕對值的定義，所以含有絕對值的代數(shù)式無法進(jìn)行統(tǒng)一的代數(shù)運(yùn)算通常的手法是分別按照絕對值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式取值的正、負(fù)情況，脫去絕時(shí)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為不含絕對值的代數(shù)式進(jìn)行運(yùn)算，即含有

2、絕對值的方程與不等式的求解，常用分類討論法在進(jìn)行分類討論時(shí)，要注意所劃分的類別之間應(yīng)該不重、不漏下面結(jié)合例題予以分析例1 解方程x-2+2x+1=7分析 解含有絕對值符號(hào)的方程的關(guān)鍵是去絕對值符號(hào)，這可用“零掉絕對值符號(hào)再求解解(1)當(dāng)x2時(shí)，原方程化為(x-2)+(2x+1)=7，-(x-2)+(2x+1)=7應(yīng)舍去-(x-2)-(2x+1)=7說明 若在x的某個(gè)范圍內(nèi)求解方程時(shí)，若求出的未知數(shù)的值不屬于此范圍內(nèi)，則這樣的解不是方程的解，應(yīng)舍去例2 求方程x-2x+1=3的不同的解的個(gè)數(shù)為只含有一個(gè)絕對值符號(hào)的方程然后再去掉外層的絕對值符號(hào)求解x-(2x+1)=3，即 1+x=3，所以 x=

3、2或x=-4 x+(2x+1)=3，即 3x+1=3，的個(gè)數(shù)為2 例3 若關(guān)于x的方程x-2-1=a有三個(gè)整數(shù)解則a的值是多少？解 若a0，原方程無解，所以a0由絕對值的定義可知x-2-1=±a，所以 x-2=1±a(1)若a1，則x-2=1-a0，無解x-2=1a，x只能有兩個(gè)解x=3+a和x=1-a(2)若0a1，則由x-2=1+a，求得x=1-a或x=3+a；由x-2=1-a，求得x=1+a或x=3-a原方程的解為x=3+a，3-a，1+a，1-a，為使方程有三個(gè)整數(shù)解，a必為整數(shù)，所以a只能取0或1當(dāng)a=0時(shí)，原方程的解為x=3，1，只有兩個(gè)解，與題設(shè)不符，所以a0

4、當(dāng)a=1時(shí)，原方程的解為x=4，0，2，有三個(gè)解綜上可知，a=1例4 已知方程x=ax+1有一負(fù)根，且無正根，求a的取值范圍解 設(shè)x為方程的負(fù)根，則-x=ax+1，即所以應(yīng)有a-1反之，a-1時(shí)，原方程有負(fù)根設(shè)方程有正根x，則x=ax1，即所以a1反之，a1時(shí)，原方程有正根綜上可知，若使原方程有一負(fù)根且無正根，必須a1例5 設(shè)求x+y分析 從絕對值的意義知兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)和為零時(shí)，這兩個(gè)實(shí)數(shù)必須都為零解 由題設(shè)有把代入得解之得y=-3，所以x=4故有x+y=4-3=1例6 解方程組分析與解 由得x-y=1或x-y=-1，即x=y+1或x=y-1與結(jié)合有下面兩個(gè)方程組解()：把x=y+1代入x+2y

5、=3得y+1+2y=3組()的解為同理，解()有故原方程組的解為例7 解方程組解 由得x+y=x-y+2因?yàn)閤-y0，所以x+y0，所以x+y=x+y 把代入有x+y=x+2，所以y=2將之代入有x-2=x，所以x-2=x， 或 x-2=-x 無解，所以只有解得x=1故為原方程組的解說明 本題若按通常的解法，區(qū)分x+y0和x+y0兩種情形，把方程分成兩個(gè)不同的方程x+y=x+2和-(x+y)=x+2，對方程也做類似處理的話，將很麻煩上面的解法充分利用了絕對值的定義和性質(zhì)，從方程中發(fā)現(xiàn)必有x+y0，因而可以立刻消去方程中的絕對值符號(hào)，從而簡化了解題過程例8 解不等式x-5-2x+31 x5，x5

6、-(x-5)-(2x+3)1，-(x-5)-(2x+3)1，(3)當(dāng)x5時(shí)，原不等式化為x-5-(2x+3)1，解之得x-9，結(jié)合x5，故x5是原不等式的解的解 例9 解不等式13x-52分析與解 此不等式實(shí)際上是解 對3x-51：對3x-52：所以與的公共解應(yīng)為例 10 解不等式x+3-x-33解 從里往外去絕對值符號(hào)，將數(shù)軸分為x-3，-3x3，x3三段來討論，于是原不等式化為如下三個(gè)不等式組即 x-3即 x3說明 本題也可以由外向內(nèi)去絕對值符號(hào)，由絕對值的意義，解下面兩個(gè)不等式分別解出和即可，請同學(xué)們自己完成這個(gè)解法例11 當(dāng)a取哪些值時(shí)，方程x+2+x-1=a有解？解法1 (1)當(dāng)x-2時(shí)，x+2+x-1=-2x-1-2(-2)-1=3(2)當(dāng)-2x1時(shí)，x+2+x-1=x+2-x+1=3(3)當(dāng)x1時(shí)，x+2+x-1=2x+12·1+1=3所以，只有當(dāng)a3時(shí)，原方程有解解法2 按照絕對值的性質(zhì)a-ba+b，故x+2+x-1(x+2)-(x-1)=3其中等號(hào)當(dāng)-2x1時(shí)成立，所以當(dāng)a3時(shí)，原方程有解練習(xí)七1解下列方程：(1)x+3-x-1=x+1；(2)1+x-1=3x；(