調(diào)整氣象觀測站問題論文

1、數(shù)學(xué)建模承諾書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B中選擇一項填寫）： B 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?/p>

2、）： 電子科技大學(xué)中山學(xué)院 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 2010 年 7 月 24 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進(jìn)行編號）：調(diào)整氣象觀測站問題摘要某市為了節(jié)省開支，想要適當(dāng)減少氣象觀測站，使得既可以節(jié)省開支，又可以使得該市年降水量的信息損失最小。我們根據(jù)30年來各觀測站測得的年降水量數(shù)據(jù)，通過統(tǒng)計分

3、析，得到最優(yōu)結(jié)果。問題一中，為了驗(yàn)證7、8號觀測站只見是否具有相關(guān)關(guān)系，我們建立線性回歸模型，然后用最小二乘法來估計回歸系數(shù)、的值，求得7、8號觀測站的線性回歸方程，最后根據(jù)討論結(jié)果得到7號觀測站可以減少且其年降水量信息可以從8號觀測站測到的數(shù)據(jù)中獲取。問題二中，我們用模糊聚類分析求解，對所有數(shù)據(jù)建立原始數(shù)據(jù)矩陣，并對它進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，運(yùn)用夾角余弦法求出相似系數(shù)得到相似矩陣，然后運(yùn)用傳遞閉包法求得結(jié)果，最后在matlab上進(jìn)行求解。問題三中，在問題一、二的基礎(chǔ)上我們選出在理論上可以減少的觀測站，分別求出減少該觀測站并用其他觀測站的數(shù)據(jù)代替該觀測站的數(shù)據(jù)，計算出在減少前后該市每年的年降水量的差值

4、，然后建立正態(tài)分布模型運(yùn)用matlab得出預(yù)測誤差的絕對值小于10mm和大于20mm的概率。關(guān)鍵字：最小二乘法 模糊聚類分析 夾角余弦法 正態(tài)分布 F檢驗(yàn)法一、問題重述某市有10個縣，每個縣有一個氣象觀測站（位置如圖），每個氣象觀測站測得的年降水量即為該縣的年降水量。30年來各觀測站測得的年降水量如下表。為了節(jié)省開支，想要適當(dāng)減少氣象觀測站，問題是減少哪些觀測站既可以節(jié)省開支，又可以使得該市年降水量的信息量損失較小。1有人認(rèn)為第7個觀測站和第8個觀測站觀測到的數(shù)據(jù)之間有相關(guān)關(guān)系，第7個觀測站可以減少，第7個觀測站的年降水量信息可以從第8個觀測站觀測到的數(shù)據(jù)中獲取，試討論之。2還有哪些觀測站可以

5、減少，減少的觀測站的年降水量信息如何獲取。3如果以10個縣年降水量的平均值為該市年平均降水量。在減少觀測站以前，每個縣年降水量都是觀測數(shù)據(jù)。在減少觀測站以后，被減少的觀測站的年降水量只能從其它觀測站觀測到的數(shù)據(jù)中獲取。減少觀測站以前和減少觀測站以后是用兩種不同測量計算方法得到該市年平均降水量。兩種不同測量計算方法得到的該結(jié)果會有誤差，試預(yù)測誤差的絕對值小于10mm的概率是多少？誤差的絕對值大于20mm的概率是多少？二、模型假設(shè)1、該市的氣候特征較穩(wěn)定，不出現(xiàn)較大的自然災(zāi)害，30年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)能夠全面地反映該市的氣候特征；2、該市的氣候不會因環(huán)境的變化而發(fā)生較大的變化；3、不考慮其他地區(qū)對該地區(qū)的

6、影響；三、符號說明回歸函數(shù) 回歸變量，回歸系數(shù) 回歸系數(shù)第i年的隨機(jī)測量誤差 偏離真實(shí)直線的偏差平方和總離差平方和 殘差平方和 和的相似系數(shù) U回歸平方和 第i處的降雨量 第j年的降雨量經(jīng)過平移標(biāo)準(zhǔn)差變換后的值 經(jīng)過平移極差變換后的值的估計值 的估計值橫坐標(biāo)的平均值 縱坐標(biāo)的平均值總體平均數(shù) 總體標(biāo)準(zhǔn)差殘差的方差 剩余標(biāo)準(zhǔn)差第m年n號觀測站的年降水量數(shù)據(jù)四、模型的假設(shè)與求解4.1 問題一 對于問題一，我們驗(yàn)證7、8號觀測站是否具有相關(guān)關(guān)系，于是我們建立線性回歸模型進(jìn)行驗(yàn)證，若7號觀測站30年測得的數(shù)據(jù)與8號觀測站測得的數(shù)據(jù)具有相關(guān)關(guān)系，則說明7號觀測站的數(shù)據(jù)可以由8號觀測站取代。我們建立模型如

7、下： y=+x+ E=0，D= 其中，固定的未知參數(shù)、為回歸系數(shù)，自變量x為回歸變量。 現(xiàn)在我們對一式的兩邊同時取期望得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：y=+x 然后用最小二乘法來估計回歸系數(shù)、的值。 在我問題所給的數(shù)據(jù)中，我們得到30組獨(dú)立觀測值，使得它們滿足上式的關(guān)系，即：y=+x+E=0，D=其中，、相互獨(dú)立。 記=； 為偏離真實(shí)直線的偏差平方和，而在本文中最小二乘法就是選擇、的估計、，使得：=然后對將上式分別對、求偏導(dǎo)數(shù)，即：=-2=-2 令上式為零，得到一個關(guān)于、的表達(dá)式。 用、取代、，即：=0=0于是有： 解得：將化簡得：=其中：；求導(dǎo)得回歸方程為：將數(shù)據(jù)代入，根據(jù)matlab運(yùn)行結(jié)果（見

8、下圖）得到第9和19組數(shù)據(jù)屬于奇異數(shù)據(jù) ，應(yīng)當(dāng)剔除，于是我們得到線性回歸方程為： y= 61.4777+1.0233*x在該回歸方程中，是擬合直線的斜率，是擬合直線在x=處的截距，30個點(diǎn)（,）得幾何重心（,）總在擬合直線上，對于每組（,）可以求出擬合值，以及殘差-。剛才我們求出來了線性回歸方程，這只是我們對該數(shù)據(jù)做出的粗略判斷，但實(shí)際上這些數(shù)據(jù)是否具有線性關(guān)系或者是顯著的線性關(guān)系，則需要我們接下來的檢驗(yàn)。 現(xiàn)在我們將采用F檢驗(yàn)法對我們所求的回歸方程進(jìn)行檢驗(yàn)。 我們知道對于 y=+x+當(dāng)越大y隨x的變化越明顯；反之，當(dāng) 越小 ，y隨x的變化越不明顯，特別的，當(dāng)=0時，則認(rèn)為y與x之間不存在線性

9、關(guān)系。當(dāng)0時 認(rèn)為具有線性關(guān)系，因此，問題轉(zhuǎn)化為對假設(shè):=0進(jìn)行線性驗(yàn)證。假設(shè)=0被拒絕，則認(rèn)為y與x存在線性關(guān)系，該方程有意義。令 =+U;其中，為總離差平方和，為殘差平方和，U=(-)Q與U是相互獨(dú)立的，再由F的分布的定義知，當(dāng)成立時有 F=F（1，n-2）代入數(shù)據(jù), 此時F>F（1，n-2）,根據(jù)F檢驗(yàn)法知，當(dāng)F>F（1，n-2）時，應(yīng)當(dāng)拒絕，所以，原回歸方程是合法的，即7、8號觀測站之間具有相關(guān)關(guān)系，說明可以減少第7號觀測站，其信息由8號觀測站獲取。 4.2 問題二（2）對于第二問，我們采用模糊聚類分析求解。首先我們建立一個原始數(shù)據(jù)矩陣: . . . 其中，n=10，m=3

10、0，然后，我們對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。（1） 平移標(biāo)準(zhǔn)差變換： ,其中是第j個指標(biāo)的平均值，（2） 平移極差變換： 其中1km，i=1m，j=1n （3）確立相似矩陣R： 與的相似關(guān)系和= 此時R=（） 利用夾角余弦法求相似系數(shù)此時，它的相似矩陣R=（）接下來我們要求的是R的傳遞閉包t R .RR=R, R R=R，當(dāng)R R =R時 ，則有t R= R.根據(jù)閉包t R計算分類水平lamda,再利用MATLAB求出不同水平下的分類方案，并求出最合理的分類方案。MATLAB程序如見附錄。根據(jù)matlab運(yùn)行結(jié)果可以把分為四類：x2,x3、x6,x7、x6,x8、x7,x8然后我們運(yùn)用方差，求得各

11、個觀測站的方差：觀測站104239方差5808.3566245.2628472.2499448.10712636.52觀測站18675方差14274.0614737.4216135.416972.5219338.6根據(jù)上表可知，為了使該市的年降水量的信息損失最小，減少3、6、7號觀測站，再用2號觀測站的數(shù)據(jù)代替3號觀測站的數(shù)據(jù)，用8號觀測站的數(shù)據(jù)代替6、7號觀測站的數(shù)據(jù)4.3 問題三 根據(jù)問題二的求解結(jié)果可以得到減少觀測站前、后該市年降水量的理論差值，即誤差，然后我們根據(jù)這些差值建立正態(tài)分布模型：、分別表示總體平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。 根據(jù)所建立的模型，運(yùn)用問題二所得結(jié)論，在excel上求出所得數(shù)據(jù)，

12、通過減少前和減少后的數(shù)據(jù)的比較作差，然后求其正態(tài)分布再在matlab上運(yùn)行可得到誤差的絕對值小于10mm和大于20mm的概率，它們分別為0.0677和0.5636 。程序及圖見附錄。五、模型評價及推廣5.1 模型評價1、本文中我們建立線性回歸模型，并用最小二乘法求解，在問題三中使用正態(tài)分布模型使得所得結(jié)果更有說服力，更加準(zhǔn)確。2、在問題二中，我們運(yùn)用模糊聚類分析法，在求解中請我們運(yùn)用夾角余弦法、傳遞閉包法，使得最后結(jié)果滿足既節(jié)省開支，又可以使得該市年降水量的信息損失最小。3、我們在模型假設(shè)時，沒有考慮地理空間距離差異對氣候的影響，所得結(jié)果與實(shí)際的測量值會有一定的差值。4、本題所用模型的求解步驟

13、較多，過程較復(fù)雜。5.2 模型推廣 1、對所得結(jié)果用曲線圖表示出來，使得結(jié)果更直觀。 2、本題所建模型可以運(yùn)用到城市規(guī)劃、資源開發(fā)等方面。 3、在求解第二問時，我們減少了6、7號觀測站，而用第8號觀測站的數(shù)據(jù)代替6、7號觀測站的數(shù)據(jù)，但我們從年降水量曲線圖可知，7號觀測站的年降水量處于6號和8號觀測站的年降水量之間，我們可以考慮減少7號觀測站，其數(shù)據(jù)用6號和8號觀測站的平均代替，這樣測的數(shù)據(jù)可能會更接近準(zhǔn)確值。我們在本題中選擇了偏向減少開支的解法。 六、參考文獻(xiàn)【1】趙靜 但琦 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)試驗(yàn) 高等教育出版社 2000年第4版【2】郭大偉 數(shù)學(xué)建模 安徽教育出版社 2009年第1版【3】邵

14、學(xué)才 沈彤英 鄧米克 將強(qiáng)榮 離散數(shù)學(xué) 清華大學(xué)出版社 2006年7月7、 附錄7.1.1問題一散點(diǎn)圖分析x=328 536 536 456 552 344 568 568 600 504 576 360 312 680 536 576 720 304 624 312 692 680 544 408 456 288 408 392 328 632; y=232 448 496 432 448 312 504 472 440 416 576 256 296 584 456 544 624 248 472 272 576 616 496 320 368 176 360 376 320 544; p

15、lot(x,y,'*') xlabel('第8站測得的年降水量/mm') ylabel('第7站測得的年降水量/mm')7.1.2問題一偏差分析x=232 448 496 432 448 312 504 472 440 416 576 256 296 584 456 544 624 248 472 272 576 616 496 320 368 176 360 376 320 544' X=ones(30,1) x; Y=328 536 536 456 552 344 568 568 600 504 576 360 312 680 536

16、 576 720 304 624 312 692 680 544 408 456 288 408 392 328 632' b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X); b,bint,stats rcoplot(r,rint) 7.2 問題二程序： clear,clcA=6004886166886486487285926885206646166087525606246489127684569127281000656624768824688744624 ;46438452044033618462444046438440851242450455238443249641

17、6320552440352368480304552584416520;584520616520496312728528624376424552464584632496496592496472616480448480600384672680480680;448416488352496512432624472456392280328488360488400392408432504272496448304448472584472424;64843254488055288057672842464054472053647283247273644072061660084877672049656047243

18、2504672;176432504376448384480624544432552272344648464552752256188320544576568440352232424416432536;328536536456552344568568600504576360312680536576720304624312688680544408456288408392328632;232448496432448312504472440416576256296584456544624248472272576616496320368176360376320544;4885124325524566646

19、40464336592688576552704656480344536432648744720664608504680512568576336;544448592440544440424440368432496528336480464672504416408560512440432392560480576440368584;m n=size(A);B=biaozh(A);R=qiumhjz(B，10)；tR=qiubb(R);lamda=qiusp(tR);for p=1:length(lamda) M(:,:,p)=tR>=lamda(p); Disp( )%在命令窗口顯示空行，方便閱

20、讀計算結(jié)果. Cl=qiucl(M(:,:,p);cnum=0;for i=1:m ifisempty(cli) cnum=cnum+1;endenddisp(分為,num2str(cnum),類:); G1=x1; G2=x2; G3=x3; G4=x4; G5=x5; G6=x6; G7=x7; G8=x8; G9=x9; G10=x10; for i=1:mifisempty(cli) if length(cli)=1 Gcli(end)=;disp(”,Gcli,”,自成一類)；else g=; for t=1:length(cli) g= g Gcli(t); end g(end)=;disp(”, g ,”,歸為一類)； end end end F(p)=qiuF(M(:,:,p),A);%計算在水平lamda（p）下相應(yīng)的F統(tǒng)計量的值.end disp( )v,ind=max(F);%最大的統(tǒng)計量值F所對應(yīng)的分類方案就是最合理的.Disp(在所有分類方