考研 線性代數(shù) 筆記精華 打印

1、一章 行列式 一、重點(diǎn) 1、理解：行列式的定義，余子式，代數(shù)余子式。 2、掌握：行列式的基本性質(zhì)及推論。 3、運(yùn)用：運(yùn)用行列式的性質(zhì)及計(jì)算方法計(jì)算行列式，用克萊姆法則求解方程組。 二、難點(diǎn) 行列式在解線性方程組、矩陣求逆、向量組的線性相關(guān)性、求矩陣的特征值等方面的應(yīng)用。 三、重要公式 1、若A為n階方陣，則kA= knA 2、若A、B均為n階方陣，則AB=A·B 3、若A為n階方陣，則A*=An-1 若A為n階可逆陣，則A-1=A-1 4、若A為n階方陣，i（i=1,2,n）是A的特征值，Ai 四、題型及解題思路 1、有關(guān)行列式概念與性質(zhì)的命題 2、行列式的計(jì)算（方法） 1）利用定義

2、 2）按某行（列）展開使行列式降階 3）利用行列式的性質(zhì) 各行（列）加到同一行（列）上去，適用于各列（行）諸元素之和相等的情況。 各行（列）加或減同一行（列）的倍數(shù)，化簡行列式或化為上（下）三角行列式。 逐次行（列）相加減，化簡行列式。 把行列式拆成幾個(gè)行列式的和差。 4）遞推法，適用于規(guī)律性強(qiáng)且零元素較多的行列式 5）數(shù)學(xué)歸納法，多用于證明 3、運(yùn)用克萊姆法則求解線性方程組 若D =A0，則Ax=b有唯一解，即 x1=D1/D，x2= D2/D，xn= Dn/D 其中Dj是把D中xj的系數(shù)換成常數(shù)項(xiàng)。 注意：克萊姆法則僅適用于方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等的方程組。 4、運(yùn)用系數(shù)行列式A判別方程組

3、解的問題 1）當(dāng)A0時(shí)，齊次方程組Ax0有非零解；非齊次方程組Axb不是唯一解（可能無解，也可能有無窮多解） 2）當(dāng)A0時(shí)，齊次方程組Ax0僅有零解；非齊次方程組Axb有唯一解，此解可由克萊姆法則求出第二章 矩陣 一、重點(diǎn) 1、理解：矩陣的定義、性質(zhì)，幾種特殊的矩陣（零矩陣，上（下）三角矩陣，對稱矩陣，對角矩陣，逆矩陣，正交矩陣，伴隨矩陣，分塊矩陣） 2、掌握： 1）矩陣的各種運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律 2）矩陣可逆的判定及求逆矩陣的各種方法 3）矩陣的初等變換方法 二、難點(diǎn) 1、矩陣的求逆矩陣的初等變換 2、初等變換與初等矩陣的關(guān)系 三、重要公式及難點(diǎn)解析 1、線性運(yùn)算 1）交換律一般不成立，即ABBA

4、 2）一些代數(shù)恒等式不能直接套用，如設(shè)A，B，C均為n階矩陣 (A+B)2=A2+AB+BA+B2A2+2AB+B2 (AB)2=(AB)(AB)A2B2 (AB)kAkBk (A+B)(A-B)A2-B2 以上各式當(dāng)且僅當(dāng)A與B可交換，即AB=BA時(shí)才成立。 3）由AB=0不能得出A=0或B=0 4）由AB=AC不能得出B=C 5）由A2=A不能得出A=I或A=0 6）由A2=0不能得出A=0 7）數(shù)乘矩陣與數(shù)乘行列式的區(qū)別 2、逆矩陣 1）(A1)1A 2）(kA) 1=(1/k)A1，（k0） 3）(AB)1=B1A1 4）(A1)T=(AT)1 5）A1=A1 3、矩陣轉(zhuǎn)置 1）(AT

5、)TA 2）(kA) T=kAT，（k為任意實(shí)數(shù)） 3）(AB)T=BTAT 4）(A+B)T=AT+BT 4、伴隨矩陣 1）A*AA A*=AI (AB)*=B*A* 2）(A*)*=An-2 A*=An-1 ,(n2) 3）(kA)*=kn-1A* (A*)T=(AT)* 4）若r(A)=n，則r (A*)=n 若r(A)=n-1，則r (A*)=1 若r(A)5）若A可逆，則(A*)-1=(1/A)A，(A*)-1(A-1)*，A*AA-1 5、初等變換（三種） 1）對調(diào)二行（列） 2）用k（k0）乘以某行（列）中所有元素 3）把某行（列）的元素的k倍加至另一行（列）的對應(yīng)元素 注意：用

6、初等變換求秩，行、列變換可混用 求逆陣，只能用行或列變換 求線性方程組的解，只能用行變換 6、初等矩陣 1）由單位陣經(jīng)過一次初等變換所得的矩陣 2）初等陣P左（右）乘A，所得PA（AP）就是A作了一次與P同樣的行（列）變換 3）初等陣均可逆，且其逆為同類型的初等陣 E-1ij=Eij，E(-1)i(k)=Ei(1/k)，E(-1)ij(k)=Eij(-k) 7、矩陣方程 1）含有未知矩陣的等式 2）矩陣方程有解的充要條件 AX=B有解<=>B的每列可由A的列向量線性表示 <=>r(A)=r(AB) 四、題型及解題思路 1、有關(guān)矩陣的概念及性質(zhì)的命題 2、矩陣的運(yùn)算（加法

7、、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置） 3、矩陣可逆的判定 n階方陣A可逆<=>存在n階方陣B，有AB=BA=I <=>A0 <=>r(A)=n <=>A的列（行）向量組線性無關(guān) <=>Ax=0只有零解 <=>任意b，使得Ax=b總有唯一解 <=>A的特征值全不為零 4、矩陣求逆 1）定義法：找出B使AB=I或BA=I 2）伴隨陣法：A-1=(1/A)A* 注意：用該方法求逆時(shí)，行的代數(shù)余子式應(yīng)豎著寫在A*中，計(jì)算Aij時(shí)不要遺漏(-1)i+j，當(dāng)n>3時(shí)，通常用初等變換法。 3）初等變換法：對(AI)只用行變換化為(IA

8、-1) 4）分塊矩陣法 5、解矩陣方程AX=B 1）若A可逆，則X=A-1B，可先求出A-1，再作乘法A-1B求出X2）若A可逆，可用初等變換法直接求出X (AB)初等行變換(IX) 3）若A不可逆，則可設(shè)未知數(shù)列方程用高斯消元法化為階梯型方程組，然后對每列常數(shù)項(xiàng)分別求解。 第三章 線性方程組 一、重點(diǎn) 1、理解：向量、向量運(yùn)算以及向量的線性組合與線性表出，極大線性無關(guān)組的概念，線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念，向量組的秩的概念，矩陣的秩的概念及性質(zhì)，基礎(chǔ)解系的概念。 2、掌握：向量的運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律，矩陣秩的計(jì)算，齊次、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)。 3、運(yùn)用：線性相關(guān)、線性無關(guān)的判定，線性方程組解的判斷

9、，齊次、非齊次線性方程組的解法。 二、難點(diǎn) 線性相關(guān)、線性無關(guān)的判定。向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系。方程組與向量組線性表示及秩之間的聯(lián)系。 三、重點(diǎn)難點(diǎn)解析 1、 n維向量的概念與運(yùn)算 1） 概念 2） 運(yùn)算 若(a1,a2,an)T，(b1,b2,bn)T 加法：(a1+b1 ,a2+b2 ,an+bn)T 數(shù)乘：k(ka1,ka2,kan)T 內(nèi)積：（·）a1b1+a2b2+,+anbnTT 2、線性組合與線性表出 3、線性相關(guān)與線性無關(guān) 1）概念 2）線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件 線性相關(guān) 1,2,s線性相關(guān) <=>齊次方程組(1,2,s)(x1,x2,xs)T0有非

10、零解 <=>向量組的秩r(1,2,s)s (向量的個(gè)數(shù)) <=>存在某i(i=1,2,s)可由其余s-1個(gè)向量線性表出 特別的：n個(gè)n維向量線性相關(guān)<=>12n0 n+1個(gè)n維向量一定線性相關(guān) 線性無關(guān) 1,2,s線性無關(guān) <=>齊次方程組(1,2,s)(x1,x2,xs)T0只有零解 <=>向量組的秩r(1,2,s)s (向量的個(gè)數(shù)) <=>每一個(gè)向量i(i=1,2,s)都不能用其余s-1個(gè)向量線性表出重要結(jié)論 A、階梯形向量組一定線性無關(guān) B、若1,2,s線性無關(guān)，則它的任一個(gè)部分組i1,i2,i t必線性無關(guān)，它的任

11、一延伸組必線性無關(guān)。 C、兩兩正交，非零的向量組必線性無關(guān)。 4、向量組的秩與矩陣的秩 1）極大線性無關(guān)組的概念 2）向量組的秩 3）矩陣的秩 r(A)r(AT) r(A+B)r(A)r(B) r(kA)r(A)，k0 r(AB)min(r(A)，r(B) 如A可逆，則r(AB)r(B)；如B可逆，則r(AB)r(A) A是m×n陣，B是n×p陣，如AB0，則r(A)r(B)n 4）向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系 r(A)A的行秩（矩陣A的行向量組的秩）A的列秩（矩陣A的列向量組的秩） 經(jīng)初等變換矩陣、向量組的秩均不變 若向量組（）可由（）線性表出，則r()r()。特別的，等價(jià)

12、的向量組有相同的秩，但秩相同的向量組不一定等價(jià)。5、基礎(chǔ)解系的概念及求法 1）概念 2）求法 對A作初等行變換化為階梯形矩陣，稱每個(gè)非零行中第一個(gè)非零系數(shù)所代表的未知數(shù)是主元（共有r(A)個(gè)主元），那么剩于的其他未知數(shù)就是自由變量（共有n- r(A)個(gè)），對自由變量按階梯形賦值后，再帶入求解就可得基礎(chǔ)解系。 6、齊次方程組有非零解的判定 1）設(shè)A是m×n矩陣，Ax0有非零解的充要條件是r(A)n，亦即A的列向量線性相關(guān)。 2）若A為n階矩陣，Ax0有非零解的充要條件是A0 3）Ax0有非零解的充分條件是mn，即方程個(gè)數(shù)未知數(shù)個(gè)數(shù) 7、非齊次線性方程組有解的判定 1）設(shè)A是m×

13、;n矩陣，Axb有解的充要條件是系數(shù)矩陣A的秩等于增廣矩陣（A增）的秩，即r(A)r(A增) 2）設(shè)A是m×n矩陣，方程組Axb 有唯一解<=> r(A)r(A增)n 有無窮多解<=> r(A)r(A增)無解<=> r(A)+1=r(A增) 8、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 如n元線性方程組Axb有解，設(shè),2,t是相應(yīng)齊次方程組Ax0的基礎(chǔ)解系，是Axb的一個(gè)解，則k11+k22+ktt+是Axb的通解。 1）若1，2是Axb的解，則1-2是Ax0的解 2）若是Axb的解，是Ax0的解，則+k仍是Axb的解 3）若Axb有唯一解，則Ax0只有零解；反之

14、，當(dāng)Ax0只有零解時(shí)，Axb沒有無窮多解（可能無解，也可能只有唯一解） 四、題型及解題思路 1、有關(guān)n維向量概念與性質(zhì)的命題 2、向量的加法與數(shù)乘運(yùn)算 3、線性相關(guān)與線性無關(guān)的證明 1）定義法 設(shè)k11+k22+kss0，然后對上式做恒等變形（要向已知條件靠攏?。?由BC可得ABAC，因此，可按已知條件的信息對上式乘上某個(gè)A 展開整理上式，直接用已知條件轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組，最后通過分析論證k1，k2，ks的取值，得出所需結(jié)論。 2）用秩（等于向量個(gè)數(shù)） 3）齊次方程組只有零解 4）反證法 4、求給定向量組的秩和極大線性無關(guān)組 多用初等變換法，將向量組化為矩陣，通過初等變換來求解。 5、求矩陣

15、的秩 常用初等變換法。 6、求解齊次線性方程組與非齊次線性方程組第四章 線性空間 一、重點(diǎn) 1、理解：線性空間、基、維數(shù)、內(nèi)積、長度、夾角和距離的概念，正交向量組及標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，正交矩陣 2、掌握：Rn及其中向量的運(yùn)算規(guī)則。 內(nèi)積、長度、夾角、距離的計(jì)算。 3、運(yùn)用：兩個(gè)向量的正交。 二、難點(diǎn) 正交矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用。 三、重點(diǎn)難點(diǎn)解析 1、線性空間與基的概念和性質(zhì) 2、內(nèi)積、距離與夾角 1）內(nèi)積：·a1b1+a2b2+anbn 2）長度：（·）的平方根（a12+a22+an2）的平方根 3）距離：d(a1-b1)2+(a2-b2)2+(an-bn)2的平方根 4）夾角：

16、cos（·）/（） arccos（·）/（） 5）正交：與的夾角為90°，記為 與正交<=>·0 6）正交向量組：任意兩個(gè)向量都互相垂直 任一組非零正交向量組必線性無關(guān) Rn中任一非零正交向量組的向量個(gè)數(shù)不大于n 3、向量的正交化 1）標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念 2）施密特正交化（先正交化，再單位化） 4、正交矩陣 1）概念 2）性質(zhì) 若A為正交陣=>A1或-1 =>A1仍為正交陣 =>若BBTI，則AB(AB)TI => A1AT 3）n階方陣A是正交陣<=>A的n個(gè)行向量構(gòu)成Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 <=>

17、;A的n個(gè)列向量構(gòu)成Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 四、題型及解題思路 1、判定給定集合是否為線性空間 一般由線性空間的定義與性質(zhì)來判斷 2、求線性空間的基與維數(shù) 3、驗(yàn)證n維向量組為Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 步驟：1）證向量兩兩正交，即內(nèi)積為零 2）證各向量都是單位向量，即長度為1 4、計(jì)算兩向量的內(nèi)積、向量間的夾角及距離 5、把給定向量組標(biāo)準(zhǔn)正交化 步驟：1）判斷向量組的線性相關(guān)性，只有線性無關(guān)的向量組才能標(biāo)準(zhǔn)正交化2）正交化（施密特正交化方法） 3）標(biāo)準(zhǔn)化vii /i 6、證明有關(guān)正交矩陣的命題 7、正交矩陣的判定 1）定義法：若AATIn =>A為正交陣 若AATIn =>A不是正交陣

18、該方法多用于抽象矩陣的證明。 2）n階方陣A是正交陣<=>A的n個(gè)行向量（或列向量）構(gòu)成Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基<=>A的行（列）向量都是單位向量且兩兩正交 該方法多用于給出具體數(shù)值的矩陣。第五章 特征值與特征向量 一、重點(diǎn) 1、理解：特征值與特征向量的概念及其基本性質(zhì)。 相似矩陣的概念與性質(zhì)，矩陣相似于對角陣的條件。 約當(dāng)型矩陣。 2、掌握：計(jì)算特征值與特征向量的方法。 求相似的對角陣。 二、難點(diǎn) 相似對角化及其應(yīng)用。 三、重點(diǎn)難點(diǎn)解析 1、矩陣的特征值與特征向量的概念、性質(zhì) 1）概念 注意：若是A的特征值，則I-A0，因此I-A是不可逆矩陣 若不是A的特征值，則I-A0

19、，因此I-A是可逆矩陣 特別地，0是A的特征值<=>A0<=>A不可逆 Ax0的基礎(chǔ)解系就是0的線性無關(guān)的特征向量 對n階陣A，若r(A)=1，則1aii, 2=3=n=0 2）性質(zhì) 若x1，x2都是特征值i所對應(yīng)的特征向量，則x1，x2的線性組合k1x1+k2x2（非零）仍是屬于i的特征向量。i的特征向量不是唯一的，反過來，一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值。 不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的，并且當(dāng)i是A的k重特征值時(shí)，A屬于i的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)不超過k個(gè)。 特征值的和等于矩陣主對角線上元素之和，特征值的乘積等于矩陣A行列式的值。 2、相似矩陣的概念及性質(zhì) 1）

20、概念 2）性質(zhì) 若AB=>ATBT => A1B1（若A、B均可逆） => AkBk（k為正整數(shù)）=>I-AI-B，從而A、B有相同的特征值 =>AB，從而A、B同時(shí)可逆或不可逆 =>r(A)r(B) 3、矩陣可相似對角化的充要條件 1）相似對角化的概念 2）充要條件 A與對角陣相似<=>A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量 <=>A的每個(gè)特征值中，線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)恰好等于該特征值的重根數(shù) 3）A與對角陣相似的充分條件是A有n個(gè)不同的特征值 4、對稱矩陣的相似 1）實(shí)對稱陣必可對角化 2）特征 特征值全是實(shí)數(shù)，特征向量都是實(shí)向量 不同特

21、征值的特征向量互相正交 k重特征值必有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量，或者說必有r(I-A)n-k 四、題型及解題思路 1、特征值與特征向量的求法 1）對抽象矩陣 由特征值與特征向量的定義及其性質(zhì)推導(dǎo)出特征值的取值。 2）對數(shù)字矩陣從特征方程I-A0求出特征值i（應(yīng)有n個(gè)，含重根） 解齊次方程組(I-A)x0，其基礎(chǔ)解系就是所對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量。2、判斷A是否可對角化 1）方法一：n階方陣A可對角化<=> A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量 方法二：對n階方陣A的任一特征值i（設(shè)為ki重根），有n-r(iI-A)= ki 2）化A為對角陣的步驟先求出A的特征值1,2,n 再求所對應(yīng)的線性無關(guān)

22、的特征向量x1,x2,xn1 構(gòu)造可逆矩陣P（x1 x2 xn），則P1AP 2 n 3、利用特征值與相似矩陣求行列式1）A12n 其中：1,2,n為A的n個(gè)特征值 2）若AB，則AB4、利用相似對角化求An 若A，即存在可逆陣P，使得P1AP，則APP1，從而AnPnP1 其中：是A的相似標(biāo)準(zhǔn)型 5、有關(guān)特征值與特征向量的證明 第六章 實(shí)二次型 一、重點(diǎn) 1、理解：二次型的概念，二次型同對稱陣的關(guān)系，矩陣合同的概念，標(biāo)準(zhǔn)型與規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)型的概念，正定二次型與正定矩陣的概念。 2、掌握：從二次型求對稱陣及從對稱陣求二次型。 合同與訛傳西變量變換之間的關(guān)系。 正定二次型、正定陣的判斷。 3、應(yīng)用：正

23、交變換法、配方法及初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，從標(biāo)準(zhǔn)型求規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)型。 二、難點(diǎn) 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。 三、重點(diǎn)難點(diǎn)解析 1、二次型的概念及其標(biāo)準(zhǔn)型 1）二次型 二次型的矩陣是唯一的，由二次型應(yīng)能立即寫出其二次型矩陣，反之，給出實(shí)對稱矩陣要能構(gòu)造出二次型。 2）二次型的標(biāo)準(zhǔn)型 概念 正、負(fù)慣性指數(shù)，r(f)=r(A)=p+q 正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)型中平方項(xiàng)系數(shù)必是矩陣A的n個(gè)特征值，而配方法沒有這個(gè)屬性。 3）慣性定理 二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)是唯一不變的，它反映了二次型的本質(zhì)特征。 2、合同矩陣與正定矩陣 1）合同矩陣 概念 充要條件： 實(shí)對稱陣AB<=>二次型xTAx與x

24、TBx有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)。 AB的必要條件是r(A)= r(B) 2）正定二次型與正定矩陣 概念 充要條件 n元二次型xTAx正定<=>xTAx的正慣性指數(shù)p=n <=>A與I合同，即有可逆陣D使ADTD <=>A的特征值全是正數(shù) <=>A的順序主子式全大于零 正定的必要條件：aii>0，（i=1,2,n）；A>0可幫助排除非正定的二次型。 3）注意：若A為正定矩陣，則kA（k>0），AT，A1，A*也是正定矩陣。 若A為正定矩陣，則有A>0，從而A可逆。 若A為正定矩陣，則A的主對角線上的元素aii>0，（i=

25、1,2,n）。 四、題型及解題思路 1、有關(guān)二次型基本概念的命題 2、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型 1）配方法 2）正交變換法 必須先正確寫出二次型矩陣，二次型矩陣是對角線aii為xi2的系數(shù)，aij=aji為xixj系數(shù)的一半； 求出二次型矩陣的特征根及對應(yīng)的特征向量； 將重特征根的特征向量正交化，再將所得特征向量單位化，以此為列構(gòu)成的矩陣即為正交矩陣Q； 作變換XQY，即可將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型。 3）初等變換法 注意：用正交變換化標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，平方項(xiàng)系數(shù)是特征值，且是唯一的。 由配方法所得的標(biāo)準(zhǔn)型是不唯一的。 不論用那種方法，正、負(fù)慣性指數(shù)是一致的。 3、判別二次型的正定 方法：1）用定義 2）正慣性指數(shù)p

26、=n 3）順序主子式全大于零 4）特征值全大于零 5）對任意x0，恒有xTAx>0。 4、有關(guān)正定性的證明 1）方法：特征值法 定義法 2）正定是對實(shí)對稱陣而言，證明A是正定矩陣時(shí)，要驗(yàn)證ATA。線性代數(shù)知識點(diǎn)框架（一） 線性代數(shù)的學(xué)習(xí)切入點(diǎn)：線性方程組。換言之，可以把線性代數(shù)看作是在研究線性方程組這一對象的過程中建立起來的學(xué)科。 線性方程組的特點(diǎn)：方程是未知數(shù)的一次齊次式，方程組的數(shù)目s和未知數(shù)的個(gè)數(shù)n可以相同，也可以不同。 關(guān)于線性方程組的解，有三個(gè)問題值得討論：（1）、方程組是否有解，即解的存在性問題；（2）、方程組如何求解，有多少個(gè)解；（3）、方程組

27、有不止一個(gè)解時(shí)，這些不同的解之間有無內(nèi)在聯(lián)系，即解的結(jié)構(gòu)問題。 高斯消元法，最基礎(chǔ)和最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對方程的同解變換：（1）、把某個(gè)方程的k倍加到另外一個(gè)方程上去；（2）、交換某兩個(gè)方程的位置；（3）、用某個(gè)常數(shù)k乘以某個(gè)方程。我們把這三種變換統(tǒng)稱為線性方程組的初等變換。 任意的線性方程組都可以通過初等變換化為階梯形方程組。 由具體例子可看出，化為階梯形方程組后，就可以依次解出每個(gè)未知數(shù)的值，從而求得方程組的解。 對方程組的解起決定性作用的是未知數(shù)的系數(shù)及其相對位置，所以可以把方程組的所有系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)按原來的位置提取出來，形成

28、一張表，通過研究這張表，就可以判斷解的情況。我們把這樣一張由若干個(gè)數(shù)按某種方式構(gòu)成的表稱為矩陣。 可以用矩陣的形式來表示一個(gè)線性方程組，這至少在書寫和表達(dá)上都更加簡潔。 系數(shù)矩陣和增廣矩陣。 高斯消元法中對線性方程組的初等變換，就對應(yīng)的是矩陣的初等行變換。階梯形方程組，對應(yīng)的是階梯形矩陣。換言之，任意的線性方程組，都可以通過對其增廣矩陣做初等行變換化為階梯形矩陣，求得解。 階梯形矩陣的特點(diǎn)：左下方的元素全為零，每一行的第一個(gè)不為零的元素稱為該行的主元。 對不同的線性方程組的具體求解結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié)（有唯一解、無解、有無窮多解），再經(jīng)過嚴(yán)格證明，

29、可得到關(guān)于線性方程組解的判別定理：首先是通過初等變換將方程組化為階梯形，若得到的階梯形方程組中出現(xiàn)0=d這一項(xiàng)，則方程組無解，若未出現(xiàn)0=d一項(xiàng)，則方程組有解；在方程組有解的情況下，若階梯形的非零行數(shù)目r等于未知量數(shù)目n，方程組有唯一解，若r<n，則方程組有無窮多解。 在利用初等變換得到階梯型后，還可進(jìn)一步得到最簡形，使用最簡形，最簡形的特點(diǎn)是主元上方的元素也全為零，這對于求解未知量的值更加方便，但代價(jià)是之前需要經(jīng)過更多的初等變換。在求解過程中，選擇階梯形還是最簡形，取決于個(gè)人習(xí)慣。 常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程稱為齊次方程組，齊次方程組必有零解。 齊次方程組的方

30、程組個(gè)數(shù)若小于未知量個(gè)數(shù)，則方程組一定有非零解。 利用高斯消元法和解的判別定理，以及能夠回答前述的基本問題（1）解的存在性問題和（2）如何求解的問題，這是以線性方程組為出發(fā)點(diǎn)建立起來的最基本理論。 對于n個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的特殊情形，我們發(fā)現(xiàn)可以利用系數(shù)的某種組合來表示其解，這種按特定規(guī)則表示的系數(shù)組合稱為一個(gè)線性方程組（或矩陣）的行列式。行列式的特點(diǎn)：有n!項(xiàng)，每項(xiàng)的符號由角標(biāo)排列的逆序數(shù)決定，是一個(gè)數(shù)。 通過對行列式進(jìn)行研究，得到了行列式具有的一些性質(zhì)（如交換某兩行其值反號、有兩行對應(yīng)成比例其值為零、可按行展開等等），這些性質(zhì)都有助于我們更方便的計(jì)算行列式。&#

31、160;用系數(shù)行列式可以判斷n個(gè)方程的n元線性方程組的解的情況，這就是克萊姆法則。 總而言之，可把行列式看作是為了研究方程數(shù)目與未知量數(shù)目相等的特殊情形時(shí)引出的一部分內(nèi)容。  線性代數(shù)知識點(diǎn)框架（二） 在利用高斯消元法求解線性方程組的過程中，涉及到一種重要的運(yùn)算，即把某一行的倍數(shù)加到另一行上，也就是說，為了研究從線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)判斷它有沒有解，有多少解的問題，需要定義這樣的運(yùn)算，這提示我們可以把問題轉(zhuǎn)為直接研究這種對n元有序數(shù)組的數(shù)量乘法和加法運(yùn)算。 數(shù)域上的n元有序數(shù)組稱為n維向量。設(shè)向量a=(a1,a2,.,an)，稱ai是a的第i

32、個(gè)分量。 n元有序數(shù)組寫成一行，稱為行向量，同時(shí)它也可以寫為一列，稱為列向量。要注意的是，行向量和列向量沒有本質(zhì)區(qū)別，只是元素的寫法不同。 矩陣與向量通過行向量組和列向量組相聯(lián)系。 對給定的向量組，可以定義它的一個(gè)線性組合。線性表出定義的是一個(gè)向量和另外一組向量之間的相互關(guān)系。 利用矩陣的列向量組，我們可以把一個(gè)線性方程組有沒有解的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)向量能否由另外一組向量線性表出的問題。同時(shí)要注意這個(gè)結(jié)論的雙向作用。 從簡單例子（如幾何空間中的三個(gè)向量）可以看到，如果一個(gè)向量a1能由另外兩個(gè)向量a2、a3線性表出，則這三個(gè)向量共面，反之則不共面。為

33、了研究向量個(gè)數(shù)更多時(shí)的類似情況，我們把上述兩種對向量組的描述進(jìn)行推廣，便可得到線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義。 通過一些簡單例子體會線性相關(guān)和線性無關(guān)（零向量一定線性無關(guān)、單個(gè)非零向量線性無關(guān)、單位向量組線性無關(guān)等等）。 從多個(gè)角度（線性組合角度、線性表出角度、齊次線性方程組角度）體會線性相關(guān)和線性無關(guān)的本質(zhì)。 部分組線性相關(guān)，整個(gè)向量組線性相關(guān)。向量組線性無關(guān)，延伸組線性無關(guān)。 回到線性方程組的解的問題，即一個(gè)向量b在什么情況下能由另一個(gè)向量組a1,a2,.,an線性表出？如果這個(gè)向量組本身是線性無關(guān)的，可通過分析立即得到答案：b, a1, a2, ., a

34、n線性相關(guān)。如果這個(gè)向量組本身是線性相關(guān)的，則需進(jìn)一步探討。 任意一個(gè)向量組，都可以通過依次減少這個(gè)向量組中向量的個(gè)數(shù)找到它的一個(gè)部分組，這個(gè)部分組的特點(diǎn)是：本身線性無關(guān)，從向量組的其余向量中任取一個(gè)進(jìn)去，得到的新的向量組都線性相關(guān)，我們把這種部分組稱作一個(gè)向量組的極大線性無關(guān)組。 如果一個(gè)向量組A中的每個(gè)向量都能被另一個(gè)向量組B線性表出，則稱A能被B線性表出。如果A和B能互相線性表出，稱A和B等價(jià)。 一個(gè)向量組可能又不止一個(gè)極大線性無關(guān)組，但可以確定的是，向量組和它的極大線性無關(guān)組等價(jià)，同時(shí)由等價(jià)的傳遞性可知，任意兩個(gè)極大線性無關(guān)組等價(jià)。 注意到一個(gè)重

35、要事實(shí)：一個(gè)線性無關(guān)的向量組不能被個(gè)數(shù)比它更少的向量組線性表出。這是不難理解的，例如不共面的三個(gè)向量（對應(yīng)線性無關(guān)）的確不可能由平面內(nèi)的兩個(gè)向量組成的向量組線性表出。 一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大線性無關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)相等，我們將這個(gè)數(shù)目r稱為向量組的秩。 向量線性無關(guān)的充分必要條件是它的秩等于它所含向量的數(shù)目。等價(jià)的向量組有相同的秩。 有了秩的概念以后，我們可以把線性相關(guān)的向量組用它的極大線性無關(guān)組來替換掉，從而得到線性方程組的有解的充分必要條件：若系數(shù)矩陣的列向量組的秩和增廣矩陣的列向量組的秩相等，則有解，若不等，則無解。 向量組的秩是一個(gè)自然數(shù)，由這

36、個(gè)自然數(shù)就可以判斷向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，由此可見，秩是一個(gè)非常深刻而重要的概念，故有必要進(jìn)一步研究向量組的秩的計(jì)算方法。線性代數(shù)知識點(diǎn)框架（三） 為了求向量組的秩，我們來考慮矩陣。矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩，行向量組的秩稱為行秩。 對階梯形矩陣進(jìn)行考察，發(fā)現(xiàn)階梯形矩陣的行秩等于列秩，并且都等于階梯形的非零行的數(shù)目，并且主元所在的列構(gòu)成列向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組。 矩陣的初等行變換不會改變矩陣的行秩，也不會改變矩陣的列秩。 任取一個(gè)矩陣A，通過初等行變換將其化成階梯形J，則有：A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩，即對任意一個(gè)矩陣來說，其

37、行秩和列秩相等，我們統(tǒng)稱為矩陣的秩。 通過初等行變換化矩陣為階梯形，即是一種求矩陣列向量組的極大線性無關(guān)組的方法。 考慮到A的行秩和A的轉(zhuǎn)置的列秩的等同性，則初等列變換也不會改變矩陣的秩?？偠灾醯茸儞Q不會改變矩陣的秩。因此如果只需要求矩陣A的秩，而不需要求A的列向量組的極大無關(guān)組時(shí)，可以對A既作初等行變換，又作初等列變換，這會給計(jì)算帶來方便。 矩陣的秩，同時(shí)又可定義為不為零的子式的最高階數(shù)。 滿秩矩陣的行列式不等于零。非滿秩矩陣的行列式必為零。 既然矩陣的秩和矩陣的列秩相同，則可以把線性方程組有解的充分必要條件更加簡單的表達(dá)如下：系數(shù)矩陣

38、的秩等于增廣矩陣的秩。另外，有唯一解和有無窮多解的條件也可從秩的角度給出回答：系數(shù)矩陣的秩r等于未知量數(shù)目n，有唯一解，r<n，有無窮多解。 齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)問題，可以用基礎(chǔ)解系來表示。當(dāng)齊次線性方程組有非零解時(shí)，基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)等于n-r，用基礎(chǔ)解系表示的方程組的解的集合稱為通解。 通過對具體實(shí)例進(jìn)行分析，可以看到求基礎(chǔ)解系的方法還是在于用初等行變換化階梯形。 非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，是由對應(yīng)的齊次通解加上一個(gè)特解。  線性代數(shù)知識點(diǎn)框架（四） 在之前研究線性方程組的解的過程當(dāng)中，注意到矩陣及其秩有著重要的地位

39、和應(yīng)用，故還有必要對矩陣及其運(yùn)算進(jìn)行專門探討。 矩陣的加法和數(shù)乘，與向量的運(yùn)算類同。 矩陣的另外一個(gè)重要應(yīng)用：線性變換（最典型例子是旋轉(zhuǎn)變換）。即可以把一個(gè)矩陣看作是一種線性變換在數(shù)學(xué)上的表述。 矩陣的乘法，反映的是線性變換的疊加。如矩陣A對應(yīng)的是旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度a，矩陣B對應(yīng)的是旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度b，則矩陣AB對應(yīng)的是旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度a+b。 矩陣乘法的特點(diǎn)：若C=AB，則C的第i行、第j列的元素是A的第i行與B的第j列的元素對應(yīng)乘積之和；A的列數(shù)要和B的行數(shù)相同；C的行數(shù)是A的行數(shù)，列數(shù)是B的列數(shù)。需要主義的是矩陣乘法不滿足交換律，滿足結(jié)合律。 利用矩陣

40、乘積的寫法，線性方程組可更簡單的表示為：Ax=b。 對于C=AB，還可作如下分析：將左邊的矩陣A寫成列向量組的形式，即意味著C的列向量組能由A的列向量組表示，從而推知C的列秩小于等于A的列秩；將右邊的矩陣B寫成行向量組的形式，即意味著C的行向量組能由B的行向量組表示，從而推知C的行秩小于等于B的行秩，再考慮到矩陣的行秩等于列秩等于矩陣的秩，最終可得到結(jié)論，C的秩小于等于A的秩，也小于等于B的秩，即矩陣乘積的秩總不超過任一個(gè)因子的秩。 關(guān)于矩陣乘積的另外一個(gè)重要結(jié)論：矩陣乘積的行列式等于各因子的行列式的乘積。 一些特殊的矩陣：單位陣、對角陣、初等矩陣。尤其要注意，初

41、等矩陣是單位陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣。 每一個(gè)初等矩陣對應(yīng)一個(gè)初等變換，因?yàn)樽蟪说男问綖镻A（P為初等矩陣），將A寫成行向量組的形式，PA意味著對A做了一次初等行變換；同理，AP意味著對A做了一次初等列變換，故左乘對應(yīng)行變換，右乘對應(yīng)列變換。 若AB=E，則稱A為可逆矩陣，B是A的逆陣，同樣，這時(shí)的B也是可逆矩陣，注意可逆矩陣一定是方陣。 第一種求逆陣的方法：伴隨陣。這種方法的理論依據(jù)是行列式的按行（列）展開。 矩陣可逆，行列式不為零，行（列）向量組線性無關(guān)，滿秩，要注意這些結(jié)論之間的充分必要性。 單位陣和初等矩陣都是可逆的。 若

42、矩陣可逆，則一定可以通過初等變換化為單位陣，這是不難理解的，因?yàn)槌醯染仃嚌M秩，故最后化成的階梯型（最簡形）中非零行數(shù)目等于行數(shù)，主元數(shù)目等于列數(shù)，這即是單位陣。進(jìn)一步，既然可逆矩陣可以通過初等變換化為單位陣，而初等變換對應(yīng)的是初等矩陣，即意味著：可逆矩陣可以通過左（右）乘一系列初等矩陣化為單位陣，換言之可逆矩陣可看作是一系列初等矩陣的乘積，因?yàn)閱挝魂囋诔朔e中可略去。 可逆矩陣作為因子不會改變被乘（無論左乘右乘）的矩陣的秩。 由于可逆矩陣可以看作是一系列初等矩陣的乘積，可以想象，同樣的這一系列初等矩陣作用在單位陣上，結(jié)果是將這個(gè)單位陣變?yōu)樵瓉砭仃嚨哪骊?，由此引出求逆陣的第二種方法：初等變換。需要注意的是這個(gè)過程中不能混用行列變換，且同樣是左乘對應(yīng)行變換，右乘對應(yīng)列變換。 矩陣分塊，即可把矩陣中的某些行和列