數(shù)據(jù)處理的基本方法參考模板

1、第六節(jié) 數(shù)據(jù)處理的基本方法 前面我們已經(jīng)討論了測(cè)量與誤差的基本概念，測(cè)量結(jié)果的最佳值、誤差和不確定度的計(jì)算。然而，我們進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的最終目的是為了通過數(shù)據(jù)的獲得和處理，從中揭示出有關(guān)物理量的關(guān)系，或找出事物的內(nèi)在規(guī)律性，或驗(yàn)證某種理論的正確性，或?yàn)橐院蟮膶?shí)驗(yàn)準(zhǔn)備依據(jù)。因而，需要對(duì)所獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行正確的處理，數(shù)據(jù)處理貫穿于從獲得原始數(shù)據(jù)到得出結(jié)論的整個(gè)實(shí)驗(yàn)過程。包括數(shù)據(jù)記錄、整理、計(jì)算、作圖、分析等方面涉及數(shù)據(jù)運(yùn)算的處理方法。常用的數(shù)據(jù)處理方法有：列表法、圖示法、圖解法、逐差法和最小二乘線性擬合法等，下面分別予以簡單討論。 一、列表法列表法是將實(shí)驗(yàn)所獲得的數(shù)據(jù)用表格的形式進(jìn)行排列的數(shù)據(jù)處理方法。列表

2、法的作用有兩種：一是記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，二是能顯示出物理量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。其優(yōu)點(diǎn)是，能對(duì)大量的雜亂無章的數(shù)據(jù)進(jìn)行歸納整理，使之既有條不紊，又簡明醒目；既有助于表現(xiàn)物理量之間的關(guān)系，又便于及時(shí)地檢查和發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是否合理，減少或避免測(cè)量錯(cuò)誤；同時(shí)，也為作圖法等處理數(shù)據(jù)奠定了基礎(chǔ)。 用列表的方法記錄和處理數(shù)據(jù)是一種良好的科學(xué)工作習(xí)慣，要設(shè)計(jì)出一個(gè)欄目清楚、行列分明的表格，也需要在實(shí)驗(yàn)中不斷訓(xùn)練，逐步掌握、熟練，并形成習(xí)慣。1 / 13一般來講，在用列表法處理數(shù)據(jù)時(shí)，應(yīng)遵從如下原則：(1)欄目條理清楚，簡單明了，便于顯示有關(guān)物理量的關(guān)系。 (2)在欄目中，應(yīng)給出有關(guān)物理量的符號(hào)，并標(biāo)明單位(一般不重復(fù)寫在每

3、個(gè)數(shù)據(jù)的后面)。 (3)填入表中的數(shù)字應(yīng)是有效數(shù)字。 (4)必要時(shí)需要加以注釋說明。例如，用螺旋測(cè)微計(jì)測(cè)量鋼球直徑的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)列表處理如下。 用螺旋測(cè)微計(jì)測(cè)量鋼球直徑的數(shù)據(jù)記錄表 mm次 數(shù)初讀數(shù)(mm)未讀數(shù)(mm)直 徑(mm)(mm)10.0046.0025.998+0.001320.0036.0005.997+0.000330.0046.0005.996-0.000740.0046.0015.997+0.000350.0056.0015.996-0.000760.0046.0005.996-0.000770.0046.0015.997+0.000380.0036.0025.999+0.0

4、02390.0056.0005.995-0.0017100.0046.0005.996-0.0007從表中，可計(jì)算出 （mm）取mm，。不確度的A分量為（運(yùn)算中保留兩位存疑數(shù)字） （mm）B分量為(按均勻分布) （mm）則 （mm）取 (mm)測(cè)量結(jié)果為(mm)。 二、圖示法 圖示法就是用圖象來表示物理規(guī)律的一種實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法。一般來講,一個(gè)物理規(guī)律可以用三種方式來表述:文字表述、解析函數(shù)關(guān)系表述、圖象表示。圖示法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的優(yōu)點(diǎn)是能夠直觀、形象地顯示各個(gè)物理量之間的數(shù)量關(guān)系，便于比較分析。一條圖線上可以有無數(shù)組數(shù)據(jù)，可以方便地進(jìn)行內(nèi)插和外推，特別是對(duì)那些尚未找到解析函數(shù)表達(dá)式的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，

5、可以依據(jù)圖示法所畫出的圖線尋找到相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)公式。因此，圖示法是處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的好方法。 要想制作一幅完整而正確的圖線，必須遵循如下原則及步驟： 1.選擇合適的坐標(biāo)紙。作圖一定要用坐標(biāo)紙，常用的坐標(biāo)紙有直角坐標(biāo)紙、雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙、單對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙、極坐標(biāo)紙等。選用的原則是盡量讓所作圖線呈直線，有時(shí)還可采用變量代換的方法將圖線作成直線。 2.確定坐標(biāo)的分度和標(biāo)記。一般用橫軸表示自變量，縱軸表示因變量，并標(biāo)明各坐標(biāo)軸所代表的物理量及其單位(可用相應(yīng)的符號(hào)表示)。坐標(biāo)軸的分度要根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效數(shù)字及對(duì)結(jié)果的要求來確定。原則上，數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖中也應(yīng)是可靠的。即不能因作圖而引進(jìn)額外的誤差。在坐標(biāo)軸上應(yīng)每隔

6、一定間距均勻地標(biāo)出分度值，標(biāo)記所用有效數(shù)字的位數(shù)應(yīng)與原始數(shù)據(jù)的有效數(shù)字的位數(shù)相同，單位應(yīng)與坐標(biāo)軸單位一致。要恰當(dāng)選取坐標(biāo)軸比例和分度值，使圖線充分占有圖紙空間，不要縮在一邊或一角。除特殊需要外，分度值起點(diǎn)可以不從零開始，橫、縱坐標(biāo)可采用不同比例。 3.描點(diǎn)。根據(jù)測(cè)量獲得的數(shù)據(jù)，用一定的符號(hào)在坐標(biāo)紙上描出坐標(biāo)點(diǎn)。一張圖紙上畫幾條實(shí)驗(yàn)曲線時(shí)，每條曲線應(yīng)用不同的標(biāo)記，以免混淆。常用的標(biāo)記符號(hào)有、等。 4.連線。要繪制一條與標(biāo)出的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)基本相符的圖線，圖線盡可能多的通過實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，由于測(cè)量誤差，某些實(shí)驗(yàn)點(diǎn)可能不在圖線上，應(yīng)盡量使其均勻地分布在圖線的兩側(cè)。圖線應(yīng)是直線或光滑的曲線或折線。 5.注解和說明。應(yīng)

7、在圖紙上標(biāo)出圖的名稱，有關(guān)符號(hào)的意義和特定實(shí)驗(yàn)條件。如，在繪制的熱敏電阻-溫度關(guān)系的坐標(biāo)圖上應(yīng)標(biāo)明“電阻溫度曲線”；“ 實(shí)驗(yàn)值”；“ 理論值”；“實(shí)驗(yàn)材料：碳膜電阻”等。 三、圖解法 圖解法是在圖示法的基礎(chǔ)上，利用已經(jīng)作好的圖線，定量地求出待測(cè)量或某些參數(shù)或經(jīng)驗(yàn)公式的方法。 由于直線不僅繪制方便，而且所確定的函數(shù)關(guān)系也簡單等特點(diǎn)，因此，對(duì)非線性關(guān)系的情況，應(yīng)在初步分析、把握其關(guān)系特征的基礎(chǔ)上，通過變量變換的方法將原來的非線性關(guān)系化為新變量的線性關(guān)系。即，將“曲線化直”。然后再使用圖解法。 下面僅就直線情況簡單介紹一下圖解法的一般步驟：1.選點(diǎn)。通常在圖線上選取兩個(gè)點(diǎn)，所選點(diǎn)一般不用實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，并用

8、與實(shí)驗(yàn)點(diǎn)不同的符號(hào)標(biāo)記，此兩點(diǎn)應(yīng)盡量在直線的兩端。如記為和，并用“+”表示實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，用“”表示選點(diǎn)。2.求斜率。根據(jù)直線方程，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，可解出圖線的斜率為 。3.求與y軸的截距。可解出 。4.與x軸的截距。記為 。例如，用圖示法和圖解法處理熱敏電阻的電阻隨溫度T變化的測(cè)量結(jié)果。 (1)曲線化直：根據(jù)理論，熱敏電阻的電阻溫度關(guān)系為 。為了方便地使用圖解法，應(yīng)將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，取對(duì)數(shù)有 。令，有 。這樣，便將電阻與溫度T的非線性關(guān)系化為了與的線性關(guān)系。(2)轉(zhuǎn)化實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：將電阻取對(duì)數(shù)，將溫度T取倒數(shù)，然后用直角坐標(biāo)紙作圖，將所描數(shù)據(jù)點(diǎn)用直線連接起來。 (3)使用圖解法求解：先求出和；再求；最

9、后得出T函數(shù)關(guān)系。 四、逐差法 由于隨機(jī)誤差具有抵償性，對(duì)于多次測(cè)量的結(jié)果，常用平均值來估計(jì)最佳值，以消除隨機(jī)誤差的影響。但是，當(dāng)自變量與因變量成線性關(guān)系時(shí)，對(duì)于自變量等間距變化的多次測(cè)量，如果用求差平均的方法計(jì)算因變量的平均增量，就會(huì)使中間測(cè)量數(shù)據(jù)兩兩抵消，失去利用多次測(cè)量求平均的意義。例如，在拉伸法測(cè)楊氏模量的實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)荷重均勻增加時(shí)，標(biāo)尺位置讀數(shù)依次為，如果求相鄰位置改變的平均值有 =即中間的測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)的計(jì)算值不起作用。為了避免這種情況下中間數(shù)據(jù)的損失，可以用逐差法處理數(shù)據(jù)。 逐差法是物理實(shí)驗(yàn)中常用的一種數(shù)據(jù)處理方法，特別是當(dāng)自變量與因變量成線性關(guān)系，而且自變量為等間距變化時(shí)，更有其獨(dú)特

10、的特點(diǎn)。逐差法是將測(cè)量得到的數(shù)據(jù)按自變量的大小順序排列后平分為前后兩組，先求出兩組中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的差值(即求逐差)，然后取其平均值。例如，對(duì)上述楊氏模量實(shí)驗(yàn)中的10個(gè)數(shù)據(jù)的逐差法處理為： 1.將數(shù)據(jù)分為兩組 組： 組： 2.求逐差：， 3.求差平均：在實(shí)際處理時(shí)可用列表的形式較為直觀，如：組組逐差（） 但要注意的是：使用逐差法時(shí)之，相當(dāng)于一般平均法中的倍(n為的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù))。 五、最小二乘法 通過實(shí)驗(yàn)獲得測(cè)量數(shù)據(jù)后，可確定假定函數(shù)關(guān)系中的各項(xiàng)系數(shù)，這一過程就是求取有關(guān)物理量之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式。從幾何上看，就是要選擇一條曲線，使之與所獲得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)更好地吻合。因此，求取經(jīng)驗(yàn)公式的過程也即是曲線擬合的過程

11、。 那么，怎樣才能獲得正確地與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)配合的最佳曲線呢？常用的方法有兩類：一是圖估計(jì)法，二是最小二乘擬合法。 圖估計(jì)法是憑眼力估測(cè)直線的位置，使直線兩側(cè)的數(shù)據(jù)均勻分布，其優(yōu)點(diǎn)是簡單、直觀、作圖快；缺點(diǎn)是圖線不唯一，準(zhǔn)確性較差，有一定的主觀隨意性。如，圖解法，逐差法和平均法都屬于這一類，是曲線擬合的粗略方法。 最小二乘擬合法是以嚴(yán)格的統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)，是一種科學(xué)而可靠的曲線擬合方法。此外，還是方差分析、變量篩選、數(shù)字濾波、回歸分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在此僅簡單介紹其原理和對(duì)一元線性擬合的應(yīng)用。 1.最小二乘法的基本原理 設(shè)在實(shí)驗(yàn)中獲得了自變量與因變量的若干組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，在使偏差平方和取最小值時(shí)，找出一個(gè)已知

12、類型的函數(shù)(即確定關(guān)系式中的參數(shù))。這種求解的方法稱為最小二乘法。 根據(jù)最小二乘法的基本原理，設(shè)某量的最佳估計(jì)值為，則 可求出 即 而且可證明 >0說明可以取得最小值。 可見，當(dāng)時(shí)，各次測(cè)量偏差的平方和為最小，即平均值就是在相同條件下多次測(cè)量結(jié)果的最佳值。根據(jù)統(tǒng)計(jì)理論，要得到上述結(jié)論，測(cè)量的誤差分布應(yīng)遵從正態(tài)分布(高斯分布)。這也即是最小二乘法的統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)。2.一元線性擬合設(shè)一元線性關(guān)系為 ，實(shí)驗(yàn)獲得的對(duì)數(shù)據(jù)為（=1，2，）。由于誤差的存在，當(dāng)把測(cè)量數(shù)據(jù)代入所設(shè)函數(shù)關(guān)系式時(shí)，等式兩端一般并不嚴(yán)格相等，而是存在一定的偏差。為了討論方便起見，設(shè)自變量的誤差遠(yuǎn)小于因變量的誤差，則這種偏差就歸結(jié)為因變量的偏差，即 根據(jù)最小二乘法，獲得相應(yīng)的最佳擬合直線的條件為 若記 代入方程組可以解出 由