數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)點撥二項分布與超幾何分布辨析

1、精心整理精心整理二項分布與超幾何分布辨析二項分布與超幾何分布是兩個非常重要的、應(yīng)用廣泛的概率模型，實際中的許多問 題都可以利用這兩個概率模型來解決.在實際應(yīng)用中，理解并區(qū)分兩個概率模型是 至關(guān)重要的.下面舉例進行對比辨析.例 袋中有8個白球、2個黑球，從中隨機地連續(xù)抽取3次，每次取1個球.求:(1)有放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)X的分布列;(2)不放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)Y的分布列.解：(1)有放回抽樣時，取到的黑球數(shù)X可能的取值為0 ,1, 2, 3.又由于每一一次取到黑球的概率均為，3次取球可以看成3次獨立重復(fù)試驗，則XB31 .503入0 1464C1 1P(X 0) C30 -; P(

2、X 1) C3 -55125531125-3 1P(X 3) C；5P"2)害 115C101521P(X 2) C3214 卷；取到的黑球數(shù)Y可能的取值為0 ,1,2,C0C837C；015P(Y 1)普福因此,重復(fù)試012Y的分布列為辨析：通有改變,過此例可以看出：有放回抽樣時，每次抽取時的總體沒因而每次抽到某物的概率都是相同的， 可以看成是獨立驗，此種抽樣是二項分布模型.而不放回抽樣時，取出精心整理一個則總體中就少一個，因此每次取到某物的概率是不同的，此種抽樣為超幾何分 布模型.因此，二項分布模型和超幾何分布模型最主要的區(qū)別在于是有放回抽樣還 是不放回抽樣.超幾何分布和二項分布

3、都是離散型分布，超幾何分布和二項分布的區(qū)別：超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；超幾何分布是不放回抽取，而二項分布是放回抽取(獨立重復(fù)) 當(dāng)總體的容量非常大時，超幾何分布近似于二項分布.二項分布與超幾何分布是兩個非常重要的、應(yīng)用廣泛的概率模型，實際中的許多問 題都可以利用這兩個概率模型來解決。在實際應(yīng)用中，理解并區(qū)分兩個概率模型是 至關(guān)重要的。下面舉例進行對比辨析。1 .有放回抽樣：每次抽取時的總體沒有改變，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可 以看成是獨立重復(fù)試驗，此種抽樣是二項分布模型。2 .不放回抽樣：取出一個則總體中就少一個，因此每次取到某物的概率是不同的，此種 抽樣為超幾

4、何分布模型。因此，二項分布模型和超幾何分布模型最主要的區(qū)別在于 是有放回抽樣還是不放回抽樣。所以，在解有關(guān)二項分布和超幾何分布問題時，仔 細閱讀、辨析題目條件是非常重要的(特別注意：二項分布是在n次獨立重復(fù)試驗的3 個條件成立時應(yīng)用的)。超幾何分布和二項分布的區(qū)別：(1)超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；(2)超幾何分布是“不放回”抽取，而二項分布是“有放回”抽取(獨立重復(fù))。練習(xí)題：1.袋中有8個白球、2個黑球，從中隨機地連續(xù)抽取 3次，每次取1個球。求： (1)有放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)X的分布列；(2)不放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)Y的分布列。精心整理2 . (2008年四

5、川延考)一條生產(chǎn)線上生產(chǎn)的產(chǎn)品按質(zhì)量情況分為三類：A類、B類、C類.檢驗員定時從該生產(chǎn)線上任取 2件產(chǎn)品進行一次抽檢，若發(fā)現(xiàn)其中含有 C類產(chǎn) 品或2件都是B類產(chǎn)品，就需要調(diào)整設(shè)備，否則不需要調(diào)整.已知該生產(chǎn)線上生產(chǎn) 的每件產(chǎn)品為A類品，B類品和C類品的概率分別為0.9,0.05和0.05,且各件產(chǎn)品的 質(zhì)量情況互不影響.(1)求在一次抽檢后，設(shè)備不需要調(diào)整的概率；(2)若檢驗員一天抽檢3次，以已表示一天中需要調(diào)整設(shè)備的次數(shù)，求E的分布列.3 .今天你低碳了嗎？近來，國內(nèi)網(wǎng)站流行一種名為“碳排放計算器”的軟件，人們可 以擾此計算出自己每天的碳排放量。例如：家居用電的碳排放量(千克)=耗電度數(shù)X.

6、785,汽車的碳排放量(千克)=油耗公升數(shù)X 0.785等。某班同學(xué)利用寒假在兩個 小區(qū)逐戶進行了一次生活習(xí)慣進否符合低碳觀念的調(diào)查。若生活習(xí)慣符合低碳觀念 的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”。這二族人數(shù)占各自小區(qū)總?cè)藬?shù)的比例P數(shù)據(jù)如下：A小區(qū)如果甲、低碳成來自非低碳方小區(qū)B小低碳非低碳,丙、丁來由區(qū)B/J'塔 求七 人中恰有2人是低碳族的概率;(II) A小區(qū)經(jīng)過大力宣傳，每周非低碳族中有 20%勺人加入到低碳族的行列。如果 2周后隨機地從A小區(qū)中任選25個人，記 表示25個人中低碳族人數(shù)，求E .4.在“自選模塊”考試中，某試場的每位同學(xué)都選了一道數(shù)學(xué)題，第一小組選數(shù)學(xué)史與不等

7、式選講的有1人，選矩陣變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程的有 5人，第二小組選數(shù)學(xué)史與不等式選講的有 2人，選矩陣變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程的有4人，現(xiàn)從第一、第二兩小組各任選 2人分析得分情況.(I )求選出的4人均為選矩陣變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程的概率；(H)設(shè) 為選出的4個人中選數(shù)學(xué)史與不等式選講的人數(shù)，求的分布列和數(shù)精心整理學(xué)期望.5.甲、乙兩人參加2010年廣州亞運會青年志愿者的選拔.打算采用現(xiàn)場答題的方式來進行，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出 3題進行測試，至少答對2題才能入選.(1)求甲答對試題數(shù) 2的概率分布；(2)求甲、乙兩人

8、至少有一人入選的概率.正態(tài)分布和線性回歸高考要求1.了解正態(tài)分布的意義及主要性質(zhì)2.了解線性回歸的方法和簡單應(yīng)用知識點歸納1 .正態(tài)分布密度函數(shù)：一、1(xr-)- /八、f(x)、 e 2, (cr>0, - oo< x<°°)2其中兀是圓周率；e是自然對數(shù)的底；x是隨機變量的取值；w為正態(tài)分布的均值;。是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.正態(tài)分布一般記為N( , 2).2 .正態(tài)分布N( , 2)是由均值W和標(biāo)準(zhǔn)差(T唯一決定的分布 例1、下面給出三個正態(tài)總體的函數(shù)表示式，請找出其均值1X2/(1) f (x) 一e 2 , (-°°< x&

9、lt;+oo21f(x) 2石e(x 1)2-°°< x< +0°解：(1)0,1(2)1,23 .正態(tài)曲線的性質(zhì)：正態(tài)分布由參數(shù)H、0唯一確定，如果隨機變量N(p, (T2),根據(jù)定義有：=E ,(r=D。正態(tài)曲線具有以下性質(zhì)：(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交。(2)曲線關(guān)于直線x=p對稱。(3)曲線在x=p時位于最高點。(4)當(dāng)x<p時，曲線上升；當(dāng)x>p時，曲線下降。并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限 延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近。精心整理(5)當(dāng)w一定時，曲線的形狀由)確定。)越大，曲線越“矮胖” ，表示總體越分 散；)越小，曲

10、線越“瘦高”，表示總體的分布越集中。五條性質(zhì)中前三條較易掌握，后兩條較難理解，因此應(yīng)運用數(shù)形結(jié)合的原則， 采用對比教學(xué).4 .標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線：當(dāng)區(qū)=0、(r=l時，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，其相應(yīng)的函數(shù)表1x2 ,、木式是 f(x) -e 2 , (- °0< x<+oo) 2其相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N (0, 1)在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位,任何正態(tài)分布的概率問題均可轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率問題，5.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的概率問題：對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體NI (0, 1), 仇)是總體取值小于X0的概率，即(X0) P(x X0) ,其中X0 0,圖中陰影部分的

11、面積表示為概率P(x X。),只要有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即可查表解決.從圖中不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)X0 0時，(X0) 1( X0);而當(dāng)X0 0時，0(0) =0.5.例2設(shè)XN( , 2),且總體密度曲線的函數(shù)表達式為： ,X2 2x 11f (x)4 e, X 6 R。(1)求 W , (T ；(2)求P(|X 1|亞)的值。分析：根據(jù)表示正態(tài)曲線函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，對照已知函數(shù)求出W和利用一般正 態(tài)總體N( , 2)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N (0, 1)概率間的關(guān)系，將一般正態(tài)總體劃歸為標(biāo) 準(zhǔn)正態(tài)總體來解決。解：(1)由于f(x)(X 1)21.2.2e2)。根據(jù)一般正態(tài)分布的函數(shù)表達形式，可知W =1,J萬，故

12、XN (1,(2) P(|x 1 | . 2) P(1 .2 x 1 、, 2) 0.6826。點評：在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，將未知的，不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為已知的、熟精心整理悉的、已解決了的問題，是我們常用的手段與思考問題的出發(fā)點。通過本例我們還可以看出一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。9.相關(guān)關(guān)系：當(dāng)自變量一定時，因變量的取值帶有一定的隨機性的兩個變量之間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點如下：相同點：均是指兩個變量的關(guān)系.不同點：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系；函數(shù)關(guān)系是自變量與因變量之間的關(guān)系，這種關(guān)系是兩個非隨機變量的關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與

13、隨機變量的關(guān)系.10.回歸分析一元線性回歸分析： 對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方 法叫做回歸分析.通俗地講，回歸分析是尋找相關(guān)關(guān)系中非確定性關(guān)系的某種確定性.對于線性回歸分析，我們要注意以下幾個方面：(1)回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法。兩個變量具 有相關(guān)關(guān)系是回歸分析的前提。(2)散點圖是定義在具有相關(guān)系的兩個變量基礎(chǔ)上的，對于性質(zhì)不明確的兩組 數(shù)據(jù)，可先作散點圖，在圖上看它們有無關(guān)系，關(guān)系的密切程度，然后再進行相關(guān) 回歸分析。(3)求回歸直線方程，首先應(yīng)注意到，只有在散點圖大至呈線性時，求出的回歸直線方程才有實際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義。11.

14、散點圖：表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點圖.散點圖形象地反映了各對數(shù)據(jù)的密切程度.粗略地看，散點分布具有一定的規(guī)律.12.回歸直線設(shè)所求的直線方程為y bx a,其中a、b是待定系數(shù).nn(Xi x)(yi y)XiX nXy一yi n i 1/一、22 2(為 x)Xi nxi 1i 1a y bx相應(yīng)的直線叫做回歸直線，對兩個變量所進行的上述統(tǒng)計分析叫做回歸分析y與x的一組觀測13.相關(guān)系數(shù)：相關(guān)系數(shù)是因果統(tǒng)計學(xué)家皮爾遜提出的，對于變量精心整理值，把nn(Xi X)(yi y)Xi yi nxyi 1二i 1r =nnnn. (Xi x)2 (yi y)2( X2 nx2

15、)( y： ny2),i 1i 1i 1i 1叫做變量y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)，簡稱相關(guān)系數(shù)，用它來衡量兩個變量之間的線性相關(guān)程度.14.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：|r|W1,且|r|越接近1,相關(guān)程度越大；且|r|越接近0,相關(guān)程度越小.一般的，當(dāng)r 0.75時，就可以判斷其具有很強的相關(guān)性，這時求線性回歸方程才有意義。例3假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費用y (萬元)，有如下的統(tǒng)計資 料：x23456y2.23.85.56.57.0若由資料可知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系。試求：(1)線性回歸方程；(2)估計使用年限為10年時，維修費用是多少？于是b分析：本題為了降低難度，告訴了 y與x間呈線性相

16、關(guān)關(guān)系，目的是訓(xùn)練公式的使用。 解：(1)列表如下：i 1bx 5 1.230.08 。i12345234562.23.85.56.57.04.411.422.032.542.049162536-55x 4 , y 5 ,x2 90 ,x yi112.3i 1i 15xi yi 5xyi 1 二22xi 5x112.3 5 4 5 2 1.23,90 5 4線性回歸方程為：y bx a 1.23x 0.08。精心整理(2)當(dāng) X=10 時，y 1.23 10 0.08 12.38 (萬元)即估計使用10年時維修費用是12.38萬元。點評：本題若沒有告訴我們y與x間是呈線性相關(guān)的，應(yīng)首先進行相關(guān)

17、性檢驗。如果 本身兩個變量不具備線性相關(guān)關(guān)系，或者說它們之間相關(guān)關(guān)系不顯著時，即使求出 回歸方程也是沒有意義的，而且其估計與預(yù)測也是不可信的。二項分布與正態(tài)分布最新考綱1 . 了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念.2 .理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布.3 .能解決一些簡單的實際問題.知識梳理1 .條件概率及其性質(zhì).條件概率的定義.條件概率的性質(zhì)設(shè)A, B為兩個事件，且P(A)>0,稱P(B|A) = 為在事件A 發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率(1)0<P(B|A)< 1(2)若B, C是兩個互斥事件，則P(BUC|A)= P(B|A) + P(C|A)2 .事件的相

18、互獨立性設(shè)A, B為兩個事件，如果P(AB)=P(A)P(B)、則稱事件A與事件B相互獨立.若事件A, B相互獨立，則P(BA)=P(B);事件A與，與B,與都相互獨立.3 .獨立重復(fù)試驗與二項分布(1)獨立重復(fù)試驗在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗，若用 A(i = 1,2,，n)表示第i次試驗結(jié) 果，貝UP(A1A2A3-An)= P(A1)P(A2)P(A3)P(An).(2)二項分布在n次獨立重復(fù)試驗中，用 X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件 A發(fā)生的概率為p,則 P(X=k)=Cpk(1 p)n*(k= 0,1,2,，n),此時稱隨機變量X服從二項分布，記為 XB

19、(n, p),并 稱p為成功概率.4 .正態(tài)分布精心整理(1)正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實數(shù)a, b(a<b),隨機變量X滿足P(a<X&b)=狐«x)dx,則稱隨機變量X服從正態(tài) 分布，記為XN(旦力 . 一一 .7 .函數(shù) 冊/x)=-2b , xCR的圖象(正態(tài)曲線)關(guān)于直線x=/對稱,在x= nI Zttct一處達到峰值.(2)正態(tài)總體三個基本概率值P(L(<X< 什 3 = 0.682_6.P(廠 2(<X< 葉 2 4 0.954_4. P(廠 3o< X< 什 3c) = 0.997_4.【例1】(1)從1,

20、2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A= "取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B= "取 到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(BA)等于().A.B.C.D.如圖，EFGH是以。為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形.將一顆豆子隨機地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形 EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形 OHE(陰影部分)內(nèi)”， 則 P(BA) =.規(guī)律方法(1)利用定義,求P(A)和P(AB),則P(B|A)=.(2)借助古典概型概率公式，先求事件 A包含的基本事件數(shù)n(A),再求事件A與事件B的交事件中 包含的基本事件數(shù) n(AB),得P(B|A) = .【訓(xùn)練11已知1號箱

21、中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現(xiàn)隨機地從1 號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱隨機取出一球，則兩次都取到紅球的概率是().A.B.C.D.考點二 相互獨立事件同時發(fā)生的概率【例2】(2013陜西卷改編)在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百 名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨立地在選票上選 3名歌手，其中觀眾甲是1號歌 手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名.觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒 有偏愛，因此在1至5號中選3名歌手.(1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；(2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙

22、、丙的票數(shù)之和，求“ X>2”的事件概率.精心整理規(guī)律方法(1)解答本題關(guān)鍵是把所求事件包含的各種情況找出來,從而把所求事件表示為幾個事件 的和事件.(2)求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法主要有利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解.正面計算較繁或難以入手時，可從其對立事件入手計算.【訓(xùn)練2】甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與p,且乙投球2次均未命中的概率為.(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率.規(guī)律方法(1)求解本題關(guān)鍵是明確正態(tài)曲線關(guān)于 x= 2對稱，且區(qū)間0,4也關(guān)于x=2對稱.(2)關(guān)于正態(tài)曲線在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法熟記 P( dr- <X0 四+ c) , P(Jr- 2(<X0 (Jrk 2 c) , P(四- 3(<X0 四+ 3()的值.充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.【訓(xùn)練3】若在本例中，條件改為“已知隨機變量 XN(3,1),且P(2WXW4) = 0.6826, ”求P(X&g