19拋物線的幾何性質(zhì)

1、  2.4.2  拋物線的幾何性質(zhì)  一、教學(xué)目標(biāo)：  （一）知識(shí)與技能：從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，了解拋物線的幾何性質(zhì)  （二）過程與方法：通過方程，幾何圖形，研究曲線的性質(zhì)，使學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)類比及數(shù)形結(jié)合等思想方法的運(yùn)用，提高學(xué)生的觀察與探究能力；  （三）情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過教師指導(dǎo)下的學(xué)生交流探索活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)問題。 二 、教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)：了解拋物線的幾何性質(zhì) 難點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用 三、教學(xué)過程：（一）創(chuàng)設(shè)情境問題1：我們可以怎樣研究拋物線的幾何性質(zhì)？ 利用拋

2、物線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究拋物線的幾何性質(zhì) 問題2：從哪些方面研究拋物線的幾何性質(zhì)？（二）自學(xué)導(dǎo)案（三）解決自學(xué)導(dǎo)案（四）例題分析例1 已知拋物線關(guān)于x軸為對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：首先由已知點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，求參數(shù)p解：由題意，可設(shè)拋物線方程為，因?yàn)樗^點(diǎn)，所以 ，即 。因此，所求的拋物線方程為例2、 已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)M(-3，m)到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的方程和m的值解法一：由焦半徑關(guān)系，設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p0)，則準(zhǔn)線方程是因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)M(-3，m)到焦點(diǎn)的距離MF與到準(zhǔn)線的距離相等所以，即，由此得p=

3、4因此，所求拋物線方程為又點(diǎn)M(-3，m)在此拋物線上，故m2=-8(-3)因此或解法二：由題設(shè)列兩個(gè)方程，可求得p和m由題意知拋物線的方程為，焦點(diǎn)是，因點(diǎn)在拋物線上且|MF|=5，故解之得或因此，拋物線的方程為，的值為或例3 探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知燈的圓的直徑60cm，燈深為40cm，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)位置分析：這是拋物線的實(shí)際應(yīng)用題，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，根據(jù)題設(shè)條件，可確定拋物線上一點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出p值解：如圖，在探照燈的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點(diǎn)(即拋物線的頂點(diǎn))與原點(diǎn)重合，x軸垂直于燈口直徑設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 (

4、p0)由已知條件可得點(diǎn)A的坐標(biāo)是(40，30)，代入方程，得，即 。所求的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為例4. 斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn)A、B，求線段AB的長.分析：例2是直線與拋物線相交問題，可通過聯(lián)立方程組求解交點(diǎn)坐標(biāo)，然后由兩點(diǎn)間距離公式求解距離；若注意到直線恰好過焦點(diǎn)，便可與拋物線定義發(fā)生聯(lián)系，利用拋物線定義將AB分段轉(zhuǎn)化成點(diǎn)A、B到準(zhǔn)線距離，從而達(dá)到求解目的.解法一：如圖，由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F（1，0），所以直線AB的方程為y=x1. 將方程代入拋物線方程y2=4x,得（x1）2=4x 化簡(jiǎn)得x26x1=0解之得：將x1，x2的值分別代入方程中，得即A、B坐標(biāo)分別為、.解法二：在圖中，由拋物線的定義可知，|AF|等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=1的距離同理于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1x22.由此可以看到，本題在得到方程x26x1=0后，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可以直接得到x1x2=6于是可以求出|AB|=6+2=8.說明：解法二由于靈活運(yùn)用了拋物線的定義，所以減少了運(yùn)算量，提高了解題效率.例5、過拋物線的焦點(diǎn)F的一條直線與這拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，且、求證：，證明：焦點(diǎn)（1）當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)AB方程為：由得：此方程的兩根y1、y2分別是A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則有（2）當(dāng)軸時(shí)，因?yàn)橹本€的方程