滬教版初二上冊《幾何證明》全章復習與鞏固—知識講解(基礎)

1、精品文檔用心整理滬教版初二數(shù)學上冊知識點梳理重點題型（?？贾R點）鞏固練習幾何證明全章復習與鞏固知識講解（基礎）【學習目標】1. 理解命題、逆命題、定理、逆定理等的含義；2. 掌握證明真命題正確性的方法步驟，會舉反例說明假命題的錯誤；掌握證明線段相等角度相等的基本方法和思路；3. 理解軌跡的定義，掌握三種基本軌跡；4. 能判斷直角三角形全等，能應用勾股定理及其逆定理解決實際問題.【知識網絡】【要點梳理】要點一、幾何證明1. 命題和證明（ 1）命題定義：判斷一件事情的句子.判斷為正確的命題，叫做真命題；判斷為錯誤的命題，叫做假命題.（ 2）演繹證明（簡稱證明）從已知的概念、條件出發(fā)，依據(jù)已被確認

2、的事實和公認的邏輯規(guī)則，推導出某結論為正確的過程要點詮釋：命題通常由題設、結論兩部分組成，題設是已知的事項，結論是由已知事項推出的事項，可以寫成“如果那么”的形式，“如果”開始的部分是題設，“那么”開始的部分是結論.2. 公理和定理（1）公理：人們從長期的實踐中總結出來的真命題叫做公理，它們可以作為判斷其他命題真假的原始依據(jù) .（ 2）定理：從公理或其他真命題出發(fā)，用推理方法證明為正確的，并能進一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理.3. 逆命題與逆定理（ 1 ）在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，則這兩個命題叫互逆命題.

3、 其中一個命題叫原命題；另一個命題叫它的逆命題（ 2） 如果一個定理的逆命題經過證明也是定理，則這兩個定理叫做互逆定理，其中一個叫另一個的逆定理 .4. 證明真命題的一般步驟（ 1）理解題意，分清命題的條件（已知）、結論（求證）（ 2）根據(jù)題意，畫出圖形，并在圖中標出必要的字母或符號（ 3）結合圖形，用符號語言寫出“已知”和“求證”（ 4）分析題意，探索證明思路（由“因”導“果”，執(zhí)“果”索“因”）(5)依據(jù)思路，運用數(shù)學符號和數(shù)學語言條理清晰的寫出證明過程(6)檢查表達過程是否正確、完善要點詮釋：(1) 一個命題(定理)的逆命題(逆定理)并不是唯一的，這是因為一個命題的題設中可能有兩個或多個

4、條件，結論也可能不止一個；(2)逆命題的真假與原命題的真假沒有關系.要點二、線段的垂直平分線和角的平分線1 .線段的垂直平分線(1)線段垂直平分線的定義垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線(2)線段垂直平分線的性質定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等 如圖：: MN直平分線段ABPA=PB(3)線段垂直平分線的性質定理的逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上要點詮釋：線段的垂直平分線定理與逆定理往往與邊相等、角相等的證明密切相關，它提供了證明邊、角相等 的又一種重要的方法，在以后的學習中還會與直角三角形、角平分線、勾股定理等連在一起

5、綜合應用2 .角的平分線(1)角的平分線的定義：一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線(2)角的平分線有下面的性質定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上如圖：OP平分/ AOBPD ，OA PE OBPD=PE.3 .垂線的性質性質1:過一點有且只有一條直線與已知直線垂直性質2:直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.簡稱：垂線段最短要點詮釋：(1)當題目中的條件涉及到角平分線上的點與角的兩邊的垂直關系時，利用角的平分線性質可直接得到垂線段相等，而不必用全等三角形來證，但是在書寫過程中，不要漏掉垂直關系;（

6、2）已知角的平分線，有兩種常用的添加輔助線的方法：一是把角沿著角平分線翻折，在這個角的兩邊截取相等線段，從而創(chuàng)設兩個全等的三角形；二是過角平分線上的點向角兩邊做垂線段，利用角平分線的性質定理及其逆定理來解題.要點三、軌跡1. 軌跡的定義把符合某些條件的所有點的集合叫做點的軌跡.要點詮釋：軌跡定義包含以下兩層含義：其一、軌跡圖形是由符合條件的那些點組成的，就是說，圖形上的任何一點都符合條件（也稱圖形的純粹性）；其二、軌跡圖形包含了符合條件的所有的點，就是說，符合條件的任何一點都在圖形上（也稱圖形的完備性）；所謂軌跡問題的證明就是用論證的方法證明得到的軌跡符合上述兩層含義.2. 三條基本軌跡軌跡1

7、：和已知線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線；軌跡2：到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；軌跡3：到定點的距離等于定長的點的軌跡是以定點為圓心、以定長為半徑的圓.3. 交軌法作圖利用軌跡相交進行作圖的方法叫做交軌法.如果要求作的點（圖形）同時要滿足兩個條件時，我們通常先作出滿足條件A 的軌跡，然后再作出滿足條件B的軌跡，兩軌跡的交點則同時滿足條件A和條件B.交軌法是常用的作圖方法，我們在利用尺規(guī)作三角形、線段的垂直平分線、角平分線時，都運用了交軌法 .要點詮釋：“尺規(guī)作圖”是指限用無刻度直尺和圓規(guī)來作幾何圖形，基本的尺規(guī)作圖有如下幾種：（ 1）作一條線段等于已知線

8、段；（ 2）作一個角等于已知角；（ 3）作已知角的平分線；（ 4）經過一點作已知直線的垂線；（ 5）作線段的垂直平分線.要點四、直角三角形1. 直角三角形全等的判定（ 1 ）直角三角形全等一般判定定理：直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也適用于直角三角形，即（SAS、 ASA、 SSS、AAS）（2）直角三角形全等的 HL判定定理：如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應相等，那么這兩個直角三角形全等（簡記為：HL）綜上：直角三角形全等的判定方法有SAS、 ASA、 SSS、 AAS、 HL.2. 直角三角形的性質資料來源于網絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理定理：直角三角形的

9、兩個銳角互余；定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；推論：在直角三角形中，如果一個銳角等于30° , 那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；推論：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30° .3. 勾股定理定理：在直角三角形中，斜邊大于直角邊；勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形；勾股定理證明思路：面積分割法（勾股定理逆定理證明思路：三角形全等）勾股數(shù)組：如果正整數(shù)滿足，那么叫做勾股數(shù)組，常見的勾股數(shù)組有：3、 4、 5； 5

10、、 12、 13； 7、 24、25； 8、 15、 17.4. 兩點之間的距離公式如果直角坐標平面內有兩點，那么A、 B 兩點的距離為：.兩種特殊情況：（ 1）在直角坐標平面內，軸或平行于軸的直線上的兩點的距離為：（ 2）在直角坐標平面內，軸或平行于軸的直線上的兩點的距離為：要點詮釋：幾何證明的分析思路：（1）從結論出發(fā)，即：根據(jù)所要證明的結論-去尋找條件.例如：要證線段相等，則需先證：力全等，然后利用全等三角形性質得到線段相等；角相等，然后利用 等角對等邊（前提：在同一個三角形中）尋找中間變量，然后利用等量代換得出結論；觀察圖形，看 是否可以直接利用線段的垂直平分線定理或角平分線定理來得出

11、結論；要證角相等，則需先證：力全等，然后利用全等三角形性質得到角相等；線段相等，然后利用等 邊對等角（前提：在同一個三角形中）尋找中間變量，然后利用等量代換得出結論；觀察圖形，看是 否可以直接利用角平分線逆定理來得出結論；要證垂直，則需先證：兩條直線所夾的角為90。；先證等腰三角形，然后利用“三線合一”來得出結論（前提：在同一個三角形中）；要證三角形全等，則需先要從已知找條件，看要判定全等還卻什么條件，然后再去尋找.（2）從已知出發(fā)，即：根據(jù)所給條件、利用相關定理-直接可得的結論.例如：已知線段的垂直平分線-線段相等；已知角平分線-到角的兩邊距離相等或角相等；已知直線平行一角相等；已知邊相等一

12、角相等（前提：在同一三角形中）【典型例題】類型一、命題與證明1.下列語句不是命題的是（）A、兩點之間線段最短B、不平行的兩條直線有一個交點C、x與y的和等于0嗎？H對頂角不相等?！敬鸢浮緾;【解析】 答案A B D都是命題，答案 C不符合命題的定義.故選C.【點評】 命題是判斷一件事情的句子，判斷一件事情是什么或者不是什么舉一反三：【變式】寫出下列假命題的反例：（1）有兩個角是銳角的三角形是銳角三角形.;（2）相等的角是對頂角.【答案】（1）直角三角形有兩個銳角；（2）兩直線平行，同位角相等（等等） 類型二、線段的垂直平分線2. （2015秋?建湖縣期中）如圖，在 ABC中，AC邊的垂直平分線

13、 Dg AC于D, BC邊的垂直平分線 EN交 BC于E, DM EN相交于點F（1）若ACMN的周長為20cm,求AB的長；（2）若/ MFN=70 ,求/ MCN 的度數(shù).【思路點撥】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質得到MA=MC NB=NC根據(jù)三角形的周長公式計算即可；（2）根據(jù)四邊形內角和定理和等腰三角形的性質求出/ A+/ B=70° ,由/ MCA =A, / NCBW B,計算即 可.【答案與解析】解：（1） DM是AC邊的垂直平分線，MA=MC.EN是BC邊的垂直平分線，.NB=NCAB=AM+MN+NB=MC+MN+NCN 的周長=20cm； MDLAC NEL B

14、C ./ACB=180 乙乙 MFN=110 , /A+/ B=70° , MA=MC NB=NC ./MCA =A, /NCBW B, / MCN=40 .【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離 相等是解題的關鍵，注意三角形內角和定理的應用.舉一反三：【變式】如圖，等腰 ABC中，AB=AC ZA=20° .線段 AB的垂直平分線交 AB于D,交AC于E,連接BE, 貝U/CBE等于（）A、80°B、70° C 、60°0 50°【答案】C.類型三、角平分線3. （2016秋泰山

15、區(qū)期中）如圖，直線表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉站，要求它的三條 公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）A. 一處B .二處 C .三處 D .四處【答案】D;【解析】解：作直線所圍成的三角形的外角平分線和內角平分線，外角平分線相交于點，內角平分線相交于點P4,根據(jù)角平分線的性質可得到這4個點到三條公路的距離分別相等.【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.舉一反三：【變式】如圖，有一腰長為5cm,底邊長為4cm的等腰三角形紙片，沿著底邊上的中線將紙片剪開，得到兩個全等的直角三角形紙片，用這兩個直角三角形紙片拼成的平面圖形中有 個不同的凸四邊形.【答案】讓三條相等的邊

16、互相重合各得到一個平行四邊形；讓斜邊顛倒重合還可以得到一個一般的平行四 邊形.那么能拼出的四邊形的個數(shù)是4個.類型四、直角三角形4 .如圖 ABC中,AB=AC=13 BC=24, AD. BE是高，求 AD, BE的長。【答案與解析】 AB=AC ADXBC BD=CD=12AD=5, Saabc=BC- AD=60又 Saab=AC - BE=60翁系彳導 BE=【點評】利用三角形的面積相等列出方程，求解某一個高或某一邊的長，這是一種常用的方法，這種方法叫做面積法.由于AD是等月ABC底邊上高，則可知 BD=BC=12由勾股定理可求出 AD=5而BE所在的兩 個直角三角形 EBC ABE中

17、，都只知一條邊長， 不可能由“勾股定理”求出 BB但BE是AC邊上的高， 而S»bc=AC- BE,由BG AD可求出Saabc=BC- AD因此可用S*c的面積列出等量關系： AC- BE=BC AD從 而求出BE.舉一反三【變式】如圖，四邊形 ABCM, AB=2,CD=1, / A=60° , / B=Z D=90° ,求四邊形 ABCDW面積.【答案】解：延長AR BC交于點E。 ZA=60° , / B=90° （已知），/E=30°直角三角形兩銳角互余） AB=2AE=2AB=2X2=4 （直角三角形中，30°角

18、對的直角邊等于斜邊一半）又由勾股定理可得：BE= 在 RtECD中,CD=1, / E=30°EC=2DG=2X1=2 （直角三角形中，30°角對的直角邊等于斜邊一半）又由勾股定理可得：DE=S 四邊形 ABC=SaABE'S ACDE=AB- BE-CD- DE=X2X2-X1X=答：四邊形面積為.類型五、幾何綜合題5 .如圖所示，在 RtABC中，/ C=90 , /A=30° .（1）尺規(guī)作圖：作線段 AB的垂直平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在已作的圖形中，若分別交ARAC及BC的延長線于點D、E、F,連接BE.求證：EF=2DE【答案與解

19、析】（1）如圖，直線即為所求.（2）證明：在 RtABC中，. /A=30° , / ABC=60 .又.為線段 AB的垂直平分線，EA=EB/EBA至 A=30° , /AEDW BED=60 ,/ EBC=30 =/ EBA / FEC=60 .又, EDLAB, EC! BCED=EC在 RtECF 中，/ FEC=60 , . EFC=30 , .EF=2EC EF=2ED【點評】 本題主要考查了直角三角形中有一個角是30度，30度的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半./A=30°易證/ F=30° ,因而 EF=2EC要證EF=2DE只要證明 EC=DEM可以.舉一反三：【變式】（2015秋?牡丹區(qū)校級月考）如圖，已知 ABC（1