屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)拋物線教案新人教A版

1、2014屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)拋物線教案新人教A版考情分析考點(diǎn)新知建立并掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，能根據(jù)已知 條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握拋物線的簡 單幾何性質(zhì)，能運(yùn)用拋物線的幾何性質(zhì)處理 一些簡單的實(shí)際問題.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方 程，了解它們的簡單幾何性質(zhì) .掌握拋物線的簡單應(yīng)用.1 .已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 （0 , 3）,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .答案：xa2 , AO- OF= 16= 4,則a = 64.又a> 0,所以a = 8,該拋物線的方程是 y = 8x.=12y1p2解析：:2=3，P =6'x =- 12y.2 .拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程是 .答案：x=

2、2解析：2p= 8,p =4,故所求準(zhǔn)線方程為 x = 2.3 .拋物線y= ax2的準(zhǔn)線方程是 y=2,則a的值是.1答案：- 8解析：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 =1y.則av 0且2=得2=；.a4a84 .（選彳11P44習(xí)題2改編）拋物線y2=4x上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為 3,則點(diǎn)M的橫坐標(biāo) x=.答案：25 析：: 2p= 4, . p =2,準(zhǔn)線方程x= 1.由拋物線定義可知，點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為 3,則 x+ 1 = 3,即 x = 2.6 .已知斜率為2的直線l過拋物線y2=ax（a >0）的焦點(diǎn)F,且與y軸相交于點(diǎn) A,若 OAF（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4,則拋物線方程為 .

3、答案：y2=8xaa.解析：依題意得，OF= 4,又直線l的斜率為2,可知AO= 2OF=4AOF的面積等于1 .拋物線的定義平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn) F和一條定直線l（F不在l上）距離相等_的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線, 點(diǎn) F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線 l叫做拋物線的準(zhǔn)線.2 .拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)（如下表所示）標(biāo)準(zhǔn)方程y2= 2Px(p>0)y2= - 2px(p>0)圖形性質(zhì)范圍x-0, yCRXW0, y C R準(zhǔn)線 方程x=-P x2PX =-2焦點(diǎn)2_0二 Q對稱軸 頂點(diǎn)關(guān)于一軸對稱（0, 0）離心率e= 1標(biāo)準(zhǔn)方程x2 = 2py(p>0)x2 = - 2py(p>0

4、)圖形性 質(zhì)范圍y>0, xCRyW0, xCR準(zhǔn)線 方程p y = 2P y = 2焦點(diǎn)九2。2對稱 軸關(guān)于y軸對稱頂點(diǎn)(0, 0)離心 率e = 1題型1求拋物線的基本量例1拋物線y2= 8x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是 .答案：4解析：由y2=2px=8x知p=4,又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離就是 p,所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 4.備選變式（教師專享）拋物線y2=- 8x的準(zhǔn)線方程是.答案：x=2解析：: 2p= 8,p=4,準(zhǔn)線方程為x= 2.題型2求拋物線的方程例2 （選彳11P44習(xí)題5改編）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在直 線2x y 4=0上，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：直線2x

5、y4 = 0與x軸的交點(diǎn)是（2, 0）,與y軸的交點(diǎn)是（0, 4）.由于拋物線 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，則若拋物線焦點(diǎn)在x軸上，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2= 8x;若拋物線焦點(diǎn)在 y軸上，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=- 16y;故所求拋物線方程為y2= 8x 或 x2= 16y.變式訓(xùn)練已知RtAOB的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線 y2=2px上，其中直角頂點(diǎn) 。為原點(diǎn)，OA所在直線 的方程為y=®, 4AOB的面積為63,求該拋物線的方程.解：: OA,OB且OA所在直線的方程為 y=73x, OB所在直線的方程為 y= g3x,y=2px，2d 2/3p由 廠得A點(diǎn)坐標(biāo)為胃，* ,y=

6、#x,33y2= 2px,由x/3得B點(diǎn)坐標(biāo)為（6p , 2d3p）,y=-1"x， OA= 3lp| , OB= 4731P| , 3又 SaOAB=芭3p2=6j3,p=±2.該拋物線的方程為 y2= 3x或y2 = 3x.題型3拋物線的幾何性質(zhì)探究例3在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn) A（2, 2）,其焦點(diǎn)F(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過點(diǎn)F,且與直線OA垂直的直線的方程；(3)設(shè)過點(diǎn)M(m 0)(m>0)的直線交拋物線 C于H E兩點(diǎn)，MP 2DM記D和E兩點(diǎn)間 的距離為f(m),求f(m)關(guān)于m的表達(dá)式.解：(1)由題意，可設(shè)

7、拋物線 C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 = 2px.因?yàn)辄c(diǎn)A(2, 2)在拋物線C上， 所以p=1.因此拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2= 2x.12(2)由可得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)是2, 0 ,又直線OA的斜率為5= 1,故與直線OA垂直的直八，一 1線的斜率為一1,因此所求直線的方程是x+y2=0.(3)(解法1)設(shè)點(diǎn)D和E的坐標(biāo)分別為 僅1»)和(x2, y# ,直線DE的方程是y=k(x -m),1 ±小 + 2mkkkw0.W x = + mRA y2=2x,有 ky2-2y- 2km= 0,解得 yb 2= k由 ME= 2DMH 1+巾+ 2mK=2(、1 + 2mH-1),化簡得 k2

8、=m.因此 de2 = (x i X2)2+(y i y2)2=222、1 4 (1 + 2mk)k2k24(m2 + 4m),一,3所以 f(m) = 2ym +4m(m>0). $212(解法 2)設(shè) D1, s , E, t .,-一 一>_12由點(diǎn) M(m 0)及 ME= 2DM 得 2tmt=22 m- , t 0=2(0s).因此 t = 2s, m= s2.2 s2 2o 3所以 f(m) =DE='/ 2s 十 ( 2s s) = 2jm+ 4m(m>0).備選變式(教師專享)拋物線y2= 2px的準(zhǔn)線方程為x=-2,該拋物線上的每個(gè)點(diǎn)到準(zhǔn)線x=-2的

9、距離都與到定點(diǎn)N的距離相等，圓 N是以N為圓心，同時(shí)與直線l1： y = x 12： y=- x相切的圓，(1)求定點(diǎn)N的坐標(biāo)；(2)是否存在一條直線l同時(shí)滿足下列條件：l分別與直線11和12交于人、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)為E(4, 1);l被圓N截得的弦長為2.解：(1)因?yàn)閽佄锞€y2=2px的準(zhǔn)線方程為x= 2.所以p= 4,根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)N是拋物線的焦點(diǎn)，所以定點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2 , 0).(2)假設(shè)存在直線l滿足兩個(gè)條件，顯然l斜率存在，設(shè)l的方程為y1 = k(x4), kw± 1.以N為圓心，同時(shí)與直線 l 1： y=x和l2： y=- x相切的圓N的半徑為 取.因?yàn)閘

10、 被圓N截得的弦長為2,所以圓心到直線的距離等于1,即d=|2k_2 =1,解得k=0或4,1 + k34 一當(dāng)k=0時(shí)，顯然不合 AB中點(diǎn)為E(4, 1)的條件，矛盾， 當(dāng)k=時(shí)，l的萬程為4x-3y- 34x-3y-13=04x-3y-13=013= 0.由，解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(13, 13);由，解得點(diǎn)B的y = xy= - x坐標(biāo)為1313.顯然AB中點(diǎn)不是E(4, 1),矛盾，所以不存在滿足條件的直線l.1.拋物線y= x2上的點(diǎn)到直線4x + 3y 8=0的距離的最小值是 .-4答案：-3解析：設(shè)拋物線y = x2上一點(diǎn)為(m, - mi),該點(diǎn)到直線 4x+3y 8=0的距離為43

11、.222.已知雙曲線 C : a b2= 1(a>0 ,b>0)的離心率為2.若拋物線 G: x2=2py(p>0)的焦2|4m3m 8|“2n./口目,-L,當(dāng)m=m時(shí)，取得最小值53點(diǎn)到雙曲線Ci的漸近線的距離為 2,則拋物線 Q的方程為 .答案：x2=16y解析：雙曲線 C ： x2y2= 1(a >0, b>0)的離心率為 2,.C=W b =2, ba ba a= 43a,，雙曲線的漸近線方程為 ，3x±y = 0, .拋物線C2：x2=2py(p >0)的焦點(diǎn)0,勻到雙曲線的漸近線的距離為V3x0±p2, p = 8.所求的拋

12、物線方程為x2= 16y.3.已知拋物線關(guān)于 x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,并且經(jīng)過點(diǎn) M(2, y。).若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3,則OM=.答案：2 3解析：依題意，設(shè)拋物線方程是y2=2px(p>0),則有2 + p=3,得p=2,故拋物線方程是y2=4x,點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2 , ±2小)，OM= 口+8 = 2/.4.已知拋物線D的頂點(diǎn)是橢圓22c：2+15=1的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合.(2)求拋物線D的方程；過橢圓C右頂點(diǎn)A的直線l交拋物線D于M N兩點(diǎn).若直線l的斜率為1,求MN的長；是否存在垂直于x軸的直線m被以MM直徑的圓E所截得的弦長為定值？如果存

13、在,求出m的方程；如果不存在，說明理由.解：(1)由題意，可設(shè)拋物線方程為 物線的焦點(diǎn)為(1 , 0), p =2.拋物線D的方程為y2=4x.(2)設(shè) M(x1, y。，N(x2, y2).y2= 2px(p>0).由 a2b2= 43= 1,得 c= 1, 拋直線l的方程為y=x4,聯(lián)立y： 4，整理得 x212x + 16=0,即 M(6-2j5,2-2洞，N(6 + 2乖，2+24)，MN = 勺(x1 x2)2+ ( y1 y2)2 =410.x1 + 4 y1設(shè)存在直線m： x = a滿足題意，則圓心 E廠，,過E作直線x = a的垂線，垂 足為E',設(shè)直線m與圓E的

14、一個(gè)交點(diǎn)為 G.可得|E' G|2=|EG|2-|EE，| 2,即|E' G| 2= |EA|,2TEE I =/八 22(x1 4)+ y1x1 + 4a=一y1 +4，/，、2/，、(x1 4) (x1+4)22-+ a(x 1 + 4) a = x14x1+a(xd4) a2=(a 3)xd4a a2.當(dāng) a=3 時(shí)，|E ' G|2=3,此時(shí)直線 m被以 AM直徑的圓E所截得的弦長恒為定值2季,因此存在直線m： x= 3滿足題意.5.如圖，等邊三角形OAB的邊長為83,且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E: x2=2py(p>0)(1)求拋物線E的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線

15、l與拋物線E相切于點(diǎn)P,與直線y=- 1相交于點(diǎn)Q.證明：以PQ為直徑 的圓恒過y軸上某定點(diǎn).解：(1)依題意，OB= 8J3, / BOy= 30° .設(shè) B(x, y),則 x= OBsin30° = 43, y = OBcos30° = 12.因?yàn)辄c(diǎn) B(443, 12)在 x2 = 2py 上，所以(4，3) 2= 2pX 12,解得 p=2.故拋 物線E的方程為x2= 4y.一 ， 八 1 2,1(2)由(1)知 y = 4* , y = 2x.設(shè) P(x0, y(),12則x0w0, yo = -xo,且l的方程為 411122x0(x x。), 即

16、y = 2x0x4x0.yy0=11 2y = -x0x-x0,由 24y = - 1,2x0 4所以Q為H，2x02x0 4x=,2x0 'y=- 1.設(shè)M(0, y1),令MP- Mq= 0對滿足12,y°= 4x°(x 0W 0)的 x°, y°恒成乂.由于 MP= (x 0, y0 y1),x24MQ= -2xT, t-y1，. 一 x2 4r由MP- MQ= 0,得一2一一y°y°y1 + y1 + y1 = 0,2即(y1 + y1 2) + (1 y1)y 0=0.()由于(*)式對滿足y0= 4x0(x 0W

17、0)的y0恒成立,1 y1 = 0,所以 y0-2 = 0,解得y1=1.故以PQ為直徑的圓恒過 y軸上的定點(diǎn) M（0, 1）.1.（文）已知拋物線 y2=2px,以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系是 答案：相切解析：設(shè)拋物線焦點(diǎn)弦為 AB,中點(diǎn)為M,準(zhǔn)線為l , Ai、Bi分別為A、B在直線l上的射 1_1_影，貝U |AA1| = |AF| , |BB1| = |BF| ,于是 M到 l 的距離 d=-（|AAi| 十|BBi|） =2（|AF| 十 |BF|）1=2|AB| =半徑,故相切.（理）下圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面 2 m,水面寬4 m.水位下降 m后

18、，水面寬 m.答案：2 6解析：設(shè)拋物線的方程為x2= 2py,則點(diǎn)（2 , -2）在拋物線上，代入可得 p=1,所以x = - 2y.當(dāng)y = - 3時(shí)，x = 6,即x= ± 6,所以水面寬為 21/6.2.（文）已知拋物線y2=2px（p >0）的焦點(diǎn)為F, P、Q是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，若 PQF是 邊長為2的正三角形，則 p的值是.答案：2土木22p _y1y22y22y1斛析：依題息得 F 2,。，設(shè)P 2p，丫1，Q 2p，y2（ywy2）.由拋物線7E義及 PF= QF,P221.2p 2 2P 卜2'所以 丫1 = 丫2，所以 丫1 = y2.又 PQ=

19、2,因此 |y “ = |y 2| = 1,點(diǎn) P-2p, 1 .又點(diǎn)P位于該拋物線上，于是由拋物線的定義得（理）拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過雙曲線一 1 pPF= 2-+2=2,由此解得 p=2±73./px2 y2孑-Y=1（a>0, b>。）的一個(gè)焦點(diǎn),并與雙曲線實(shí)軸垂直，已知拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為雜,求拋物線與雙曲線方程.解：由題設(shè)知，拋物線以雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，p=設(shè)拋物線方程為y2 = 4c - x.332;拋物線過點(diǎn) 2,、/6 , 6= 4c 2. c= 1,故拋物線萬程為y =4x.又雙曲線2c,一 1 396 p 2221

20、過點(diǎn) 2，加"4?一m=1.又 a+b=c=1，96° 1c-4pH7=1.'a =7或2=9（舍）小3-,故雙曲線方程為 4x2-4y-=1. 433.（文）如圖，過拋物線 y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F的直線1交拋物線于點(diǎn) A B,交其準(zhǔn)線于點(diǎn) C.若|BC| =2|BF| ,且 |AF| =3,則此拋物線的方程為答案：y2=3x解析：由拋物線定義，|BF|等于 由 |BC| =2|BF| ,得/ BCM 30° . 又|AF| =3,從而 A 2+2, 2B到準(zhǔn)線的距離.由A在拋物線上，代入拋物線方程y2=2px,解得 p=3.（理）如圖所示，

21、直線11和12相交于點(diǎn) M 112,點(diǎn)NC 11,以A、B為端點(diǎn)的曲線段 C上任一點(diǎn)到12的距離與到點(diǎn) N的距離相等.若AMN銳角三角形，|AM|=07, |AN| =3, 且|NB| =6,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程.解：以直線11為*軸，線段MN的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，由條件可知，曲線段C是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，以12為準(zhǔn)線的拋物線的一段.其中A、B分別為曲線段 C的端點(diǎn).設(shè)曲線段C的方程為y2= 2px(p >0)(x aW xWxb, y>0),其中Xa、 Xb為A B的橫坐標(biāo)， p= |MN|, M 1 0、2p一p nN, 0 .由 |AM| =5，|AN|

22、 =3,得 XA+2 +2pxA=17,XA- p +2pxA= 9.聯(lián)立，解得4，、一、一xa=-，代入式，并由p.p p= 4, p = 2, , w .p>0,解得或.AMN銳角xa= 1xa= 2.一一， p二角形，2>xA.p= 4,由點(diǎn)xa= 1.B在曲線段C上，得xb=綜上，曲線 C的方程為y2=8x(1WxW4,p|BN| - = 4.y>0) .4.( (2) 解:文)求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程.過點(diǎn)(一3, 2);焦點(diǎn)在直線x2y 4=0上.(1)設(shè)所求拋物線的方程為y2= 2px或x2= 2py(p >0).、一八2 ,、9過點(diǎn)(-3, 2), . 3)或9=2-3或p = 4.，所求拋物線的萬程為y2= 3x或x2 = |y,前者的準(zhǔn)線方程是x = 3,后者的準(zhǔn)線方程是y = -98.(2)令x=0得y= 2,令y = 0得x = 4, 拋物線的焦點(diǎn)為(4, 0)或(0 , 2).當(dāng)焦 p2p點(diǎn)為(4, 0)時(shí)，2