第27章相似三角形專題講解：第3講相似三角形的基本模型總結(jié)(word精編版)

1、人教版九年級下冊第二十七章相似第17頁共12頁相似三角形的基本模型總結(jié)相似三角形證明方法相似三角形的判定方法總結(jié):1 .定義法：三個(gè)對應(yīng)角相等，三條對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似。2 .平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。3 .判定定理：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。（AA）4 .判定定理：如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。（SAS）5 .判定定理：如果

2、一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似.簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。（SSS）其中，直角三角形是特殊的三角形，所以可以根據(jù)它自身的特點(diǎn)，在判定直角三角形相似的時(shí)候再加兩種判定方法： （1）以上各種判定均適用。（2）如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。（HL）（3）直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。相似三角形的模型方法總結(jié)“A”型與“ X”型.示意圖結(jié)論A /' B CA型：（平行）如圖，已知 DE/BC,則aADEsABCBX型：（平行）如圖，已

3、知 AB II CD,則4 ABOs DCO“反A”型與“反X”型.反A型:如圖，已知 ABC, /ADE=/C,則AADEg/dA ACB (AA ) , AE AC=AD AB.若連CD、BE,進(jìn)而能證明 ACDs4ABE(SAS)反X型：(蝴蝶型)如圖，已知角/ BAO=/CDO,則AOBsDOC (AA ) , OA OC=OD OB.若連 AD , BC,進(jìn)而 能證明 AODs BOC.示意圖結(jié)論AC旋轉(zhuǎn)相似：.一,一 AB AD如圖，已知 ABC sADE,則一 AC AE '/ BAC= / DAE,/ BAD = Z CAE , .BAD sCAE (SAS)ABE1

4、jC一線三等角：如圖，已知/ A=/C=/DBE,則 DABBCE(AA)其他題型示意圖MHGFBCEB H ECADF. N典題精練類型一“A”型與“ X”型.【例1】如圖：AD平分 BA/ BC于D ,求證:BDDCABACB D C12,3BD BAE . AC AE. AD/CE, . DC BE BE / AC,BDDCBE AB ac AC .BAAC【例2】 如圖，已知 ABC中，AC=BC, F為底邊AB上一點(diǎn)，BF： AF=m： n ( m> 0,【解答】解：過 F作FT / BC交AE于T,n>0),取CF的中點(diǎn)D,連結(jié)AD并延長交BC于E.求BE：EC的值.【

5、解答】證法一：過C作CE/AD,交BA勺延長線于E .- 1 E,23.證法二：過B作AC的平行線，交 AD的延長線于E .12 E, AB BE.BF： AF=m： n,FT=CE,BE： CE= ( m+n) : n.類型二“反A”型與“反X”型. FT/BC, /.A TFDc/dA ECD,D 為 CF 中點(diǎn)，CD=FD,FT = CE,. FT/BC, .AFTsABE, .鱉=黑，BE AB【例3】 如圖，D、E是4ABC的邊AC、AB上的點(diǎn)，且 AD?AC =AE?AB,求證：/ ADE = Z B.【解答】證明： AD?AC = AE?AB,.斷猊二/ A=/ A,.AEDA

6、ABC, ./ ADE = / B.【例4】 如圖，在 ABC中，/ CAB=90° , BC的中垂線交 BC于E,交AB于F,交CA的延長線于D.求證：AE2=EF?ED.【解答】證明：連接 AE, 在 ABC中，/ CAB =90。，BC的中垂線交.AE = BE=CE, Z BEF = Z BAD =90° , ./ B = Z EAB , / B = Z D, ./ EAB = Z D,又. / AEF = Z DEA ,AEFc/dA DEA ,.EF =原一奧. .AE2 = EF?ED.【例5】 如圖，已知 ABC中CEAB于E,【解答】證明：CE±

7、 AB , BFXAC , ./ AEC = Z AFB = 90° .Z A是公共角，ABFA ACE . 一砥.AF AF超起；杷又/ A是公共角，AEFA ACB .【例6】 如圖，AB II CD , AC、BD交于點(diǎn)E,1 ,1 1)羞 壽 12)跖盍忘嬴蒸嬴.EF / CD交BC于F.求證:【解答】證明：（1） ; AB/ EF / CD,CEFA CAB, BEFsBDC,(2)分別作 AMLBC 于 M, ENLBC 于 N, DG，BC于G,AM / EN / DG ,N型蛉現(xiàn)0噩上崎岫郃戲旃譚嘿=1,由（1）知一 .M D類型三“類射影”與射影模型 （母子型）in

8、【例7】 如圖， ABC中，CD是邊AB上的高，且常(1)求證： ACDsCBD;CD BD（2）求/ ACB的大小.【解答】（1）證明：CD是邊AB上的高, ./ ADC =/ CDB = 90° ,ACDA CBD;(2)解：. ACDsCBD,在 ACD 中，/ ADC =90° , ./ BCD+ Z ACD =90 ° ,即/ ACB = 90°C3【例8】 如圖，在正方形 ABCD中，E是BC上的一點(diǎn)，連接 AE,作BF ±AE,垂足為H,交CD于F,作CG / AE,交BF(1) CG = BH;(2) FC2=BF?GF；尤國2

9、 J,能” 發(fā)B “朋【解答】證明：(1) . BFXAE, CG/AE,CGXBF,.在正方形 ABCD 中，Z ABH + Z CBG=90° , / CBG+/ BCG = 90° ,/ BAH+ /ABH = 90° ,/ BAH = / CBG , / ABH = / BCG ,AB = BC, . ABHA BCG, .CG = BH;(2)/ BFC = Z CFG, Z BCF=Z CGF=90° , . CFGA BFC,典里薩一前？即 fc2 = bf?gf；(3)同(2)可知，BC2=BG?BF,.AB=BC,AB2= BG?BF

10、,一朝涔冊咱上.房Jr “旋轉(zhuǎn)相似”與“一線三等角”模型【例 9】15,如圖，在 ABC 和 4ADE 中，/ BAD = / CAE, / B = / D.(1) ABC與 ADE相似嗎？為什么？(2)已知 AB = 2AD , BC = 8cm,求 DE 的長.【解答】解：(1)如圖，二.在 ABC和4ADE中，/ BAD = /CAE, / BAD+Z DAC = / CAE+ / DAC , / BAC = Z DAE .又. / B=Z D,W .ABCs ADE；(2)由(1)知， ABCsADE,則黑=受. AD. AB= 2AD, BC=8cm,囪,g '解得，DE =

11、 4 (cm),即DE的長度是4cm.【例10如圖，已知abxbd, edxbd, C是線段BD 的中點(diǎn)，且 acxce, ED=1, BD=4,那么 ab =4 .【解答】解： abxbd, edxbd./B = / D=90。，Z A+ZACB=90o. ACXCE,即/ ECD+Z ACB=90o./ a=/ ecd. ABCs cde.AB=4.【例 11】在 abc 中，AC = BC, /ACB=90。，點(diǎn) M是 一點(diǎn)，沿著直線MN折疊，使得點(diǎn)C恰好落在邊 = ap： pb.【解答】證明：連接 PC,過點(diǎn)P作PDLAC于D,.BCXAC,AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是BC上的AB上的P點(diǎn).求

12、證：MC： NC根據(jù)折疊可知：MNXCP,/ 1 + /PCN=90° , / PCN + /CNM =90° ,. / CDP = Z NCM = 90° ,PDCA MCN,.MC： CN= PD： DC,. / ADP= 90° , / A=45.ADP為等腰直角三角形,.PD= DA, .MC： CN= DA： DC,1. PD / BC,/.DA： DC=PA： PB,/.MC : CN= PA： PB.【例12如圖，已知AM /BN, /A=/B=90。，AB = 4,點(diǎn)D是射線AM上的一個(gè)動(dòng) 點(diǎn)(點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合)，點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)

13、點(diǎn)(點(diǎn) E與點(diǎn)A、B不 重合)，連接 DE,過點(diǎn)E作DE的垂線，交射線 BN于點(diǎn)C,連接DC.設(shè)AE =x, BC = y.(1)當(dāng)AD=1時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；(2)在(1)的條件下，取線段 DC的中點(diǎn)F,連接EF,若EF=2.5,求AE的長；(3)如果動(dòng)點(diǎn)D、E在運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終滿足條件 AD+DE = AB,那么請?zhí)骄浚?BCE的周長 是否隨著動(dòng)點(diǎn)D、E的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？請說明理由.【解答】解：（1）由題中條件可得 AEDsBCE,.幽里BE即:AE = x, BC=y, AB = 4, AD = 1. BE = 4- x,一二 ¥.，y=-x2+4x (0

14、vxv4)；(2) DEXEC, ./ DEC = 90° , 又 DF = FC,DC = 2EF=2X2.5= 5,過 D 點(diǎn)作 DH ±BN 于 H ,則 DH = AB = 4, DHC 中，HC =盟 2 式5 層一( 2 = 3, .-.BC =BH+HC=1+3=4,即 y=4,- x2+4x= 4解得：xi = x2=2, AE =2;(3) BCE的周長不變.理由如下：Caaed= AE + DE+AD = 4+x, BE= 4- x,設(shè) AD = m,則 DE = 4 m,/ A=90° , . DE2=AE2+AD2即，(4-m) 2=x2+

15、m2由(1)知： AEDs BCE,有函的虛丁力聞魄可 i"nInBCE的周長不變.【例13】等腰 ABC中，AB = AC=6, /BAC=120° , P為BC的中點(diǎn)，小明拿著含30 ° 的透明三角板，使 30°角的頂點(diǎn)落在 P處，三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn).(1)如圖1,當(dāng)三角板的兩邊分別交 AB、AC于點(diǎn)E、F時(shí)，求證： BPEsCFP；(2)操作：將三角形繞點(diǎn) P旋轉(zhuǎn)到圖2情形時(shí)，三角板的兩邊分別交 BA的延長線、邊AC 于 E、F.探究 BPE、ACFP還相似嗎？(只寫結(jié)論，不需證明)；連接EF,求證：EP平分/ BEF;設(shè)EF = m, AEPF的面

16、積為S,試用m的代數(shù)式表示 S.圖1:回【解答】（1）證明：二.在 ABC 中，/ BAC=120° , AB = AC, .Z B=Z C=30° ./ B+Z BPE+Z BEP= 180° , ./ BPE+Z BEP =150° ,又/EPF = 30° ,且/ BPE+Z EPF+Z CPF = 180° , ./ BPE+Z CPF = 150° , ./ BEP=Z CPF, .BPEsCFP （兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）.（2）解：BPEsCFP；理由：.在 ABC 中，/ BAC=120° , AB=AC,.Z B=Z C=30° . . / B+Z BPE+Z BEP= 180° ,BPE+Z BEP =150° ,又/EPF = 30° ,且/ BPE+/EPF+/CPF= 180° ,/ BPE+Z CPF= 150° , ./ BEP=Z