




版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
1、小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽學(xué)習(xí)材料四年級(jí)暑期第一講幻方相傳在三千多年前的夏禹時(shí)代,從洛水(就在我們河南洛陽附近)浮出一只神龜,背上有一個(gè)神秘的圖形如下:經(jīng)研究,原來是一個(gè)數(shù)字方陣圖: 4 9 2 35 7 8 1 6進(jìn)一步計(jì)算又發(fā)現(xiàn):它的每行、每列,甚至每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)字的和都是15。真是奇妙無比。于是,人們就把它叫做“幻方”?!盎谩焙袎?mèng)幻、神奇、美妙、理想的意思。把那個(gè)相等的和就叫做“幻和”。后來,幻方從國(guó)內(nèi)傳到國(guó)外,引起了人們極大的興趣,并把它推廣到更為一般的情況:如果有n2個(gè)數(shù),可以排成一個(gè)n行、n列的方陣,并且,它的n行、n列和2條對(duì)角線上,n個(gè)數(shù)的和都相等,就把這個(gè)數(shù)陣叫做“n階幻方”。顯然,
2、其幻和等于這n2個(gè)數(shù)的和除以n。我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝對(duì)幻方進(jìn)行過深入的研究,取得了巨大的成績(jī)。在他的著作里,對(duì)三階幻方的制做方法,有這樣四句話:“九子斜排,上下對(duì)易,左右相更,四維突出”。這四句話的意思是:把九個(gè)數(shù)從小到大斜著排列成正方形,上下兩個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)交換,左右兩個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)交換,四條邊中間的數(shù)向外面突出。左下圖就是這個(gè)過程的示意圖,右下圖是最后得到的結(jié)果:四維突出 九子斜排 左右相更 上下對(duì)易例1用5、7、9、11、13、15、17、19、21這九個(gè)數(shù)作一個(gè)三階幻方。解:用上面的方法得到: 7 21 11 17 13 915 5 19 幻和是(5791113151719)÷33
3、9。經(jīng)檢驗(yàn),完全符合要求。例2用1、2、3、16這16個(gè)數(shù)作一個(gè)四階幻方。解:幻和等于(12316)÷434。先把這16個(gè)數(shù)按從小到大的順序填入4×4的方格里(圖1): 1 2 3 4 16 2 3 13 5 6 7 8 5 11 10 8 9 10 11 12 9 7 6 12 13 14 15 16 4 14 15 1 圖1 圖2圖3計(jì)算發(fā)現(xiàn),兩條對(duì)角線上四個(gè)數(shù)的和已經(jīng)符合要求,但是,由于從小到大排列的緣故,使得行、列上的數(shù)出現(xiàn)了上小下大的情況,顯然不符合要求,由此想到,把同一條對(duì)角線上的數(shù)上下對(duì)調(diào)如圖2,對(duì)調(diào)的結(jié)果如圖3,經(jīng)檢驗(yàn),完全符合要求。幻方的作法不是惟一的,即
4、使是對(duì)同一種方法所得到的結(jié)果,也可以進(jìn)行各種變換。上面的三階幻方就有八種不同的形式?,F(xiàn)在已經(jīng)知道,四階幻方有 880 種不同的形式。這里有一個(gè)極為特殊的四階幻方(下圖)。請(qǐng)你算一下它的每行、每列、每條對(duì)角線上,還有四個(gè)角上,以及任意由四個(gè)方格或九個(gè)方格組成的正方形四個(gè)角上四個(gè)數(shù)的和。這些和竟然都相等, 真是妙不可言!這也許正是它被稱為“魔鬼幻方” 的原因吧。15 10 3 6 4 5 16 914 11 2 7 1 8 13 12例3用1、2、3、25這25個(gè)數(shù)作一個(gè)五階幻方。解:編制五階和五階以上的奇數(shù)階幻方, 有一個(gè)通用的方法。以五階幻方為例: (1)把第一個(gè)數(shù)1填在最上行的中央(1 填上
5、行正中央)(a); (2)接著把2填在1的右上方(依次斜向右上方)(b); (3)2從上面出框了, 把2填在同一列的最下格(上面出框往下寫)(b);(4)接著把3、4 斜著向右上方填。4從右邊出框了, 把4填在同一行的最左格(右面出框左邊放)(c);(5)接著把5、6斜著向右上方填, 6的右上方已經(jīng)有1了, 把6填在5的下面(前面有數(shù)轉(zhuǎn)下格)(d); (6)接著把7、8、9、15按照上面的方法填到適當(dāng)?shù)母褡永铩?5已經(jīng)到了右上角, 把16填在15的下面(右上角處轉(zhuǎn)下行)(e); (7)就按照這樣的方法繼續(xù)填下去, 直到填完。 2 1 1 1 1 1 815 5 5 71416 4 4 4 6
6、4 613 3 3 1012 3 2 2 2 11 2 9 ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) ( e ) 請(qǐng)你按照上面的口訣(粗體字), 繼續(xù)完成這個(gè)五階幻方。然后再驗(yàn)證一下, 看看它的每行、每列、每條對(duì)角線上五個(gè)數(shù)的和,是不是都相等, 等于多少?制作幻方不一定要從 1 開始, 一般說來,只要所填的一串?dāng)?shù),能夠組成等差數(shù)列就可以。在某些特殊情況下,即使不是等差數(shù)列,也能制作出幻方。五階以上的奇數(shù)階幻方,制作起來雖然比較耗費(fèi)時(shí)間,但是有上面的方法可以遵循,據(jù)說,有一位小朋友就曾經(jīng)作出了101階幻方。而六階和六階以上的偶數(shù)階幻方的制作,要復(fù)雜得多,我們?cè)谶@里就不再研究了,有興趣的同學(xué)
7、可以參考有關(guān)書籍。練 習(xí) 一1在左下方,用1、3、5、7、9、11、13、15、17這9個(gè)數(shù),作一個(gè)三階幻方。2在右上方,用4、5、6、8、9、10、12、13、14這9個(gè)數(shù),作一個(gè)三階幻方。3在左下方,用2、4、6、32這16個(gè)數(shù),作一個(gè)四階幻方4在右上方,用1、4、7、10、46這16個(gè)數(shù),作一個(gè)四階幻方。5. 在左下方,用226這25個(gè)數(shù),作一個(gè)五階幻方。6在右上方,用529這25個(gè)數(shù),作一個(gè)五階幻方。7在左下方,用149這49個(gè)數(shù)作一個(gè)七階幻方。8在右上方,用181這81個(gè)數(shù),作一個(gè)九階幻方。第二講 數(shù)陣從前,有個(gè)外國(guó)人叫亞當(dāng)斯, 從小就喜歡填幻方。有一天他突發(fā)奇想, 有沒有六角幻方呢
8、? 經(jīng)過 47 年的努力好不容易排好了, 可是不小心又弄丟了。亞當(dāng)斯并不灰心,又用了 5 年時(shí)間重新把它排了出來,這時(shí)他已經(jīng)是兩鬢斑白的老人了。后來,通過電腦計(jì)算發(fā)現(xiàn), 原來只有這么一種填法,因此,“亞當(dāng)斯六角幻方”被視為數(shù)學(xué)寶庫(kù)中的稀世奇珍。下面就是“亞當(dāng)斯六角幻方”。請(qǐng)你算一算,它的任意一條直線上幾個(gè)數(shù)的和是不是都相等。 15 13 10 14 8 4 12 9 6 5 2 16 11 1 7 19 18 17 3 通常,人們把這類與一般幻方不同的圖形叫做“數(shù)陣”?,F(xiàn)在就讓我們來研究一下簡(jiǎn)單數(shù)陣的填法。 例 1 下圖中有六個(gè)正方形, 把 19 九個(gè)數(shù)填入下圖的九個(gè)小圓圈里, 使每個(gè)正方形頂
9、點(diǎn)上四個(gè)數(shù)的和相等。 7 2 9 6 5 4 1 8 3 這使我們聯(lián)想到三階幻方, 試著讓 5 不動(dòng),把角上的數(shù)與邊上的數(shù)對(duì)調(diào), 調(diào)整后得到右上圖, 正好符合要求??磥?,大膽地聯(lián)想、猜測(cè)和試驗(yàn), 往往是解決問題的好辦法。例 2 把 112 十二個(gè)數(shù)分別填入右圖中的12個(gè)小圓圈里, 使每條直線上四個(gè)數(shù)的和等于26,每個(gè)六角形上6個(gè)數(shù)的等于39。 要讓四個(gè)數(shù)的和等于26, 不妨先讓兩個(gè)數(shù)的和等于13。由此想到, 把這十二個(gè)數(shù)分成1、12,2、11, 3、10, 4、9, 5、8, 6、7六組。顯然六個(gè)比較小的數(shù)不能填在同一圈,設(shè)想把1、3、5填在外圈,2、4、6填在內(nèi)圈,于是:外圈: 1 3 5
10、11 9 7 和是36內(nèi)圈:12 10 8 2 4 6 和是42外圈少3,內(nèi)圈多3。只要把某一組的兩個(gè)數(shù)交換一下就行了,會(huì)填了吧?例3將1、2、3、4、5、6、7七個(gè)自然數(shù)分別填入左下圖中的七個(gè)小圓圈里,使三個(gè)大圓周上的四個(gè)數(shù)之和都等于定數(shù)S,并指出這個(gè)定數(shù)S的取值范圍,最小是多少,最大是多少?再取S的最小值填數(shù)。 解:觀察發(fā)現(xiàn),B被三個(gè)圓所公用,A、C、D被兩個(gè)圓所公用,所以3S3B2A2C2DEFG,而ABCDEFG123456728,所以3S282BACD。因此,當(dāng)B1,A2,C3,D4時(shí),S最小,等于13;當(dāng)B7,A6,C5,D4時(shí),S最大,等于19。即S取1319中間的整數(shù)。當(dāng)S13
11、時(shí),填法如右上圖。例4偉大的物理學(xué)家愛因斯坦曾經(jīng)提出了下面這道有趣的題目:把1到9這九個(gè)數(shù)字分別在下圖中的九個(gè)交點(diǎn)旁,使每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)旁數(shù)字之和都相等。解:觀察發(fā)現(xiàn),邊上3個(gè)小三角形的頂點(diǎn)正好是9個(gè),而這9個(gè)數(shù)字的和是45,所以每個(gè)小三角形三個(gè)頂點(diǎn)旁數(shù)字之和都等于45÷315。這使我們很自然地想到三階幻方。因?yàn)橹械热切闻缘臄?shù)字都要使用3次,所以中等三角形頂點(diǎn)旁的數(shù)字只能是幻方中兩條對(duì)角線上的數(shù)字,通過試算,得到下面兩種填法。7 2 9 4 6 2 3 4 5 9 1 8 5 3 8 1 6 7練 習(xí) 二下面的填數(shù)陣題目,答案往往不惟一,只要填出一種就可以了,如果時(shí)間允許,又有興
12、趣的話,多填出幾種當(dāng)然更好。1把18這八個(gè)數(shù)分別填入下圖中的小圓圈里,使每個(gè)圓上與每條直線上四個(gè)數(shù)之和都相等。 2. 左下圖中有三個(gè)三角形和三條直線, 把 19 九個(gè)數(shù)填入圖中的九個(gè)小圓圈里, 使每個(gè)三角形、每條直線上三個(gè)數(shù)的和都相等。 3. 右上圖中有四個(gè)三角形, 把 19 九個(gè)數(shù)填入圖中的九個(gè)小圓圈里, 使每個(gè)三角形上三個(gè)數(shù)的和相等。 4. 把 113 這十三個(gè)數(shù)填入左下圖中的里, 使每條直線上三個(gè)數(shù)的和等于 21。5. 把 17 七個(gè)數(shù)填入右上圖中的小圓圈里, 使每條直線、每個(gè)圓上三個(gè)數(shù)的和都等于 12。6把17七個(gè)數(shù)字分別填入左下圖的7個(gè)空檔里,使每個(gè)圓圈里四個(gè)數(shù)的和都等于13。 x
13、20 17 24 18 27 22 28 30 267右上圖五圓相連,每個(gè)位置的數(shù)字都是按一定規(guī)律填寫的,請(qǐng)找出規(guī)律,并求出x所代表的數(shù)。8. 把 19 九個(gè)數(shù)分別填入下圖中的九個(gè)小圓圈里, 使每條直線上五個(gè)數(shù)的和,等于每個(gè)圓上四個(gè)數(shù)與中心數(shù)共五個(gè)數(shù)的和。20 20 19 199把19九個(gè)數(shù)分別填入右上圖中的九個(gè)空格里,使圍著某個(gè)已知數(shù)的四個(gè)方格里的數(shù)的和恰好等于那個(gè)已知數(shù)。10將110這十個(gè)數(shù)填入下圖的十個(gè)圓圈里,使每個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上各數(shù)之和都等于23。第三講 橫式謎例 1在下面10個(gè)8之間,添上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)、×、÷、或(),使得數(shù)是2000。(如果在某些8之間沒有
14、添運(yùn)算符號(hào)和括號(hào),這些8就視為一個(gè)數(shù)。)88888888882000解:可以這樣想:先設(shè)法用前面的一些8,得到一個(gè)接近2000的數(shù),再用后面的8去修正。試算發(fā)現(xiàn),88×(888)2112,2112882024,還剩下3個(gè)8,正好可以得到24,于是得到兩個(gè)符合要求的算式:88×(888)888882000。88×(888)88(888)2000。例 2在下面五個(gè)5之間,添上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)或括號(hào),使等式成立。 5555510解:可以采用倒推的方法。(1)如果最后一個(gè)5前面添加號(hào),算式就變成55555;如果新算式最后一個(gè)5前面是加號(hào),算式又變成5550。這是很容易做到的
15、,只要用兩個(gè)5相減得0,再與加一個(gè)5相乘,或除以另一個(gè)5就可以了。于是得到三個(gè)符合要求的算式: (55)×55510, 5×(55)5510, (55)÷55510;(2)如果原式最后一個(gè)5前面添減號(hào),算式就變成555515,可以讓前面兩個(gè)5相乘,再減去后面兩個(gè)5。于是得到一個(gè)符合要求的算式: 5×555510;(3)如果原式最后一個(gè)5前面添乘號(hào),算式就變成55552,可以讓兩個(gè)兩個(gè)5相除,得到兩個(gè)1,再相加。于是得到一個(gè)符合要求的算式: (5÷55÷5)×510;(4)如果原式最后一個(gè)5前面添除號(hào),算式就變成555550,
16、可以讓兩個(gè)兩個(gè)5相乘除,得到兩個(gè)25,再相加。于是得到一個(gè)符合要求的算式: (5×55×5)×510;(5)還可以用例1的方法,得到一個(gè)符合要求的算式: 55÷55÷510。例3試在里填上“”、“”、“×”運(yùn)算符號(hào),使下面兩個(gè)等式成立。(第七屆)小學(xué)生學(xué)習(xí)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)(1)(1234)(567)(8910)1998;(2)(1098)(765)(4321)1998。解:(1)因?yàn)?9982×37×27,所以(1234)×(5×67)×(8910)1998;(2)因?yàn)?9989
17、5;37×6,所以(1098)×(7×65)×(4321)1998。例4在沒有寫完的等式123456789100的左邊數(shù)字之間插入一些符號(hào),使等式成立,要求按下面三個(gè)規(guī)定,寫出三個(gè)等式來。(北京市第十屆“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽題)(1)插入七個(gè)加號(hào)一個(gè)乘號(hào);(2)插入兩個(gè)加號(hào)兩個(gè)減號(hào);(3)插入兩個(gè)加號(hào)兩個(gè)減號(hào)。解:(1)因?yàn)?2345678945,比要求多了一個(gè)加號(hào),少了55,所以只能把一個(gè)加號(hào)換成乘號(hào),經(jīng)試算發(fā)現(xiàn),只要把8、9之間的加號(hào)換成乘號(hào)就行了,于是得到12345678×9100;(2)因?yàn)橐蟛迦氲倪\(yùn)算符號(hào)較少,所以必須要把一些數(shù)
18、字連成兩、三位數(shù),試算得到123456789100;(3)同理,試算得到123456789100。練 習(xí) 三1. 在下面10個(gè)8之間,添上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)或括號(hào),使得數(shù)是1000。888888888810002在下面10個(gè)9之間,添上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)或括號(hào),使得數(shù)是1000。999999999910003在下面9個(gè)9之間,添上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào),使得數(shù)是2006。99999999920064在下面12個(gè)7之間,添上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào),使得數(shù)是1000。77777777777710005在下面算式適當(dāng)?shù)牡胤剑惶砩线\(yùn)算符號(hào)和,使等式成立:987654321206在6666666中添上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)及括號(hào)后,
19、可以組成一個(gè)得數(shù)是1998的算式,請(qǐng)寫出一個(gè)這樣的算式。(安徽省小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)7在下面數(shù)字之間的適當(dāng)位置,只添“”號(hào),使等式成立。123456789998在下面各數(shù)之間添上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào),使等式成立。(“現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)”邀請(qǐng)賽試題)10693489在19之間填入“”、“”、“×”及“( )”。使下面等式成立。(第四屆“新苗杯”小學(xué)生數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)9876543212001。10在四個(gè)4之間填上適當(dāng)?shù)募?、減、乘、除、括號(hào)等符號(hào),使下面各式成立。(天津第二屆“我愛數(shù)學(xué)”競(jìng)賽預(yù)賽題)4444144442444434444444445111927年8月1日,周恩來、朱德等老一輩無產(chǎn)階級(jí)革命家
20、,在南昌發(fā)動(dòng)和領(lǐng)導(dǎo)了舉世聞名的“八一”南昌起義,請(qǐng)用“”、“”、“×”、“÷”和括號(hào),將五個(gè)9組成的一個(gè)等式,使運(yùn)算結(jié)果分別為1、9、2、7、81。(江西省小學(xué)生“八一杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)999991;999999;999992;999997;9999981。12在下面各數(shù)之間填上運(yùn)算符號(hào)或括號(hào)后,使等式成立。(天津市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)(1)123450;(2)123451;(3)123452;(4)123453;(5)123454;(6)123455。第四講和差問題例1期末考試后,小明問老師他考得怎么樣,老師告訴他:“你的語文和數(shù)學(xué)一共得了184分,數(shù)學(xué)比語文多6分?!毙∶飨肓?/p>
21、想說:“我知道了?!毙∶鞯恼Z文和數(shù)學(xué)究竟得了多少分?解:想辦法讓兩科分?jǐn)?shù)相同就好辦了。解法一:如果語文再多得6分就和數(shù)學(xué)的分?jǐn)?shù)相同了,這樣一來,兩科總分就變成1846190(分),所以,數(shù)學(xué)得了190÷295(分);語文得了95689(分)。解法二:如果數(shù)學(xué)少得6分就和語文的分?jǐn)?shù)相同了,這樣一來,兩科總分就變成1846178(分),所以,語文得了178÷289(分);數(shù)學(xué)得了89695(分)。答:語文89分。數(shù)學(xué)95分。這類問題的特征是,已知兩個(gè)數(shù)的和與差,求這兩個(gè)數(shù),叫做“和差問題”。從上面的解法可以總結(jié)出兩個(gè)公共公式:(和差)÷2大數(shù)(和差)÷2小數(shù)
22、。有了公式,解題時(shí)就方便多了。例2張老師買了一件外衣、一頂帽子和一雙鞋,一共花了270元。外衣比鞋貴140元,買外衣和鞋比帽子多花了210元。外衣、帽子和鞋各多少元?解:因?yàn)?70元是三種物品的總價(jià),而“外衣比鞋貴140元”,是兩種物品的差價(jià),所以這個(gè)條件暫時(shí)不能用。另一個(gè)條件,“買外衣和鞋比帽子多花了210元”,提醒我們,如果把“外衣和鞋”看作一個(gè)數(shù),就能先把它算出來。所以,外衣和鞋一共是(270210)÷2240(元)。再根據(jù)前一個(gè)條件,就能算出鞋是(240140)÷250(元),外衣是50140190(元),帽子是2705019030(元)。答:外衣190元,帽子30
23、元,鞋50元。例3甲、乙兩個(gè)車間共有393名工人,把甲車間的16名工人調(diào)到乙車間后,這時(shí),甲車間比乙車間還多5名工人。甲、乙兩車間原來各有多少名工人?解:把甲車間的16名工人調(diào)到乙車間后,甲車間比乙車間還多5名工人,說明甲車間原來比乙車間多16×2537(人),所以原來甲車間有(39337)÷2215(人),乙車間有(39337)÷2178(人)。答:原來甲車間有215人,乙車間有178人。例4某工廠將875元獎(jiǎng)金分給有創(chuàng)造發(fā)明的三名優(yōu)秀工人,第一名比第二名多得250元,第二名比第三名多得125元,三名優(yōu)秀工人各得多少元?解法一:如果以第三名為標(biāo)準(zhǔn),第一名就比第三
24、名多250125375(元),這樣從875元里減去375元,再減去125元,所得的數(shù)就是第三名的3倍。于是,第三名得(875375125)÷3125(元),第二名得125125250(元),第一名得250250500(元)。解法二:如果以第一名為標(biāo)準(zhǔn),875元加上250,再加上375元,得數(shù)就是第一名的3倍。所以第一名得(875250325)÷3500(元),第二名得500250250(元),第三名得250125125(元)。答:第一名500元,第二名250元,第三名得125元。想想看,還能怎樣解?練 習(xí) 四1某校共有學(xué)生537人,女生比男生少29人。男、女生各有多少人?2
25、李強(qiáng)同學(xué)期末考試,語文、數(shù)學(xué)兩門功課平均95分,數(shù)學(xué)比語文多8分,他這兩門功課各是多少分?3一個(gè)長(zhǎng)方形,周長(zhǎng)120厘米,長(zhǎng)比寬多10厘米,這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米?4甲、乙兩筐蘋果共74千克,從甲筐取出8千克放入乙筐后,兩筐蘋果的重量恰好相等。原來兩筐蘋果各有多少千克?5小剛買了4張挨著的雙號(hào)電影票,座位號(hào)加起來是84,這4張電影票的座號(hào)分別是多少號(hào)?6甲、乙兩個(gè)籠子里共有鴿子15只,甲籠放入4只,乙里取出2只以后,乙籠里的鴿子比甲籠多1只。原來兩個(gè)籠子里各有多少只鴿子?7我國(guó)自行設(shè)計(jì)施工的世界上最大的現(xiàn)代化橋梁南京長(zhǎng)江大橋分上、下兩層,上層是公路橋,下層是鐵路橋。鐵路橋和公路橋共長(zhǎng)11
26、270米,鐵路橋比公路橋長(zhǎng)2270米。問南京長(zhǎng)江大橋的公路橋長(zhǎng)多少米?8南京長(zhǎng)江大橋比美國(guó)紐約大橋長(zhǎng)4570米,紐約大橋比我國(guó)武漢長(zhǎng)江大橋長(zhǎng)530米。已知三座大橋共長(zhǎng)10640米,這三座大橋的長(zhǎng)度分別是多少米?9兩個(gè)工程隊(duì)共有工人230人,后來由于工作需要,從第一隊(duì)調(diào)走30人,從第二隊(duì)調(diào)走10人,這時(shí)第一隊(duì)比第二隊(duì)還多10人。原來兩隊(duì)各有工人多少人?10學(xué)校買來4個(gè)足球和2個(gè)排球,一共用去840元,每個(gè)足球比每個(gè)排球貴30元。每個(gè)排球和足球各多少元?11四個(gè)人年齡之和是77歲,最小的10歲,他與最大的年齡之和比另外兩人年齡之和大7歲,最大的年齡是多少歲?12被減數(shù)、減數(shù)與差的和是168,減數(shù)比
27、差大16,減數(shù)是多少?(北京市第九屆“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽題)第五講和倍問題例1動(dòng)物園珍禽館有黃鸝、鸚鵡、孔雀共20只,黃鸝的只數(shù)是鸚鵡的2倍,鸚鵡的只數(shù)是孔雀的3倍,黃鸝、鸚鵡、孔雀各有多少只?解:如果把孔雀的只數(shù)看作1倍,鸚鵡的只數(shù)就是3倍,黃鸝的只數(shù)就的3×26倍,黃鸝、鸚鵡、孔雀這三種珍禽的總只數(shù),就一共是孔雀的13610倍,所以,孔雀有20÷102(只),鸚鵡有2×36只,黃鸝有2×612(只)。答:孔雀有2只,鸚鵡有6只,黃鸝有12只。像這類問題叫做“和倍問題”。解決和倍問題,關(guān)鍵是先要確定把哪個(gè)量作為1倍量,再根據(jù)其他量與這個(gè)1倍量的關(guān)
28、系,求出這些量的總和相當(dāng)于1倍量的多少倍,在求出1倍量之后,其他量就都可以求出來了。例2甲、五年級(jí)共有學(xué)生165人,四年級(jí)的學(xué)生人數(shù)比五年級(jí)的2倍少6人,四、五年級(jí)各有學(xué)生多少人?解:從四年級(jí)的學(xué)生人數(shù)比五年級(jí)的2倍少6人可知,如果四年級(jí)的人數(shù)再多6人,就正好是五年級(jí)學(xué)生人數(shù)的2倍,兩個(gè)年級(jí)應(yīng)該共有學(xué)生1656171(人),所以,五年級(jí)有171÷(21)57(人),四年級(jí)有57×26108(人)。答:四年級(jí)有108人,五年級(jí)有57人。例3甲倉(cāng)庫(kù)存糧104噸,乙倉(cāng)庫(kù)存糧140噸,要使甲倉(cāng)庫(kù)的存糧是乙倉(cāng)庫(kù)的3倍,那么,必須從乙倉(cāng)庫(kù)運(yùn)出多少噸放入甲倉(cāng)庫(kù)?(長(zhǎng)春市南關(guān)區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽
29、試題)解:無論從乙倉(cāng)庫(kù)運(yùn)出多少噸放入甲倉(cāng)庫(kù),兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)所存糧食的總數(shù)不變,始終是104140244(噸)。當(dāng)甲倉(cāng)庫(kù)的存糧是乙倉(cāng)庫(kù)的4倍時(shí),兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)所存糧食的總數(shù),應(yīng)該是乙倉(cāng)庫(kù)存糧噸數(shù)的314倍,所以,這時(shí)乙倉(cāng)庫(kù)存糧244÷461(噸),與原來的存糧噸數(shù)比較,需要從乙倉(cāng)庫(kù)運(yùn)出1406179(噸)放入甲倉(cāng)庫(kù)。答:需要從乙倉(cāng)庫(kù)運(yùn)出79放入甲倉(cāng)庫(kù)。例4學(xué)校把320本圖書按照班級(jí)和人數(shù)的多少,分給四、五、六三個(gè)年級(jí)。如果五年級(jí)比四年級(jí)多40本,六年級(jí)是四年級(jí)的2倍。那么三個(gè)年級(jí)各分得多少本?解:把四年級(jí)分得的圖書本數(shù)看作1倍,六年級(jí)就是2倍,而五年級(jí)需要減少40本才能和四年級(jí)同樣多,相應(yīng)的圖書總
30、數(shù),變成32040280(本),所以,四年級(jí)分得280÷(112)70(本),五年級(jí)分得7040110(本),六年級(jí)分得70×2140(本)。答:四年級(jí)分得70本,五年級(jí)分得110本,六年級(jí)分得140本。練 習(xí) 五1哥哥和弟弟共有圖書120本,哥哥的圖書本數(shù)是弟弟的3倍,哥哥和弟弟各有圖書多少本?2兩層書架共有書173本。從第一層拿走38本以后,第二層的書比第一層的2倍還多6本。第二層有多少本?3兩堆棋子,第一堆有87個(gè),第二堆有69個(gè),從第一堆取出多少個(gè)棋子放入第二堆,就能使第二堆的棋子數(shù)是第一堆的3倍?4甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)共存糧食320噸,后來,從甲倉(cāng)運(yùn)出了40噸,又給乙倉(cāng)
31、運(yùn)進(jìn)20噸,這時(shí),甲倉(cāng)的糧食是乙倉(cāng)的2倍。兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)原來各存糧食多少噸?5甲、乙兩數(shù)的和是11110,甲數(shù)百位和十位上的數(shù)字都是8,乙百位和十位上的數(shù)字都是2。如果用0代替這兩個(gè)數(shù)里的8和2,那么,所得的甲數(shù)是乙數(shù)的9倍。原來兩個(gè)數(shù)各是多少?6被除數(shù)、除數(shù)、商三個(gè)數(shù)的和是212,已知商是2,被除數(shù)和除數(shù)各是多少?(中南地區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)通訊賽試題)7商店運(yùn)來橘子、蘋果、香蕉共53千克,橘子的重量比蘋果的3倍少3千克,香蕉的重量比蘋果的2倍多2千克,橘子重多少千克?(南通市港閘區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)8一個(gè)長(zhǎng)方形,周長(zhǎng)是30厘米,長(zhǎng)是寬的2倍,這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米?9弟弟有課外書20本,哥哥有課外
32、書25本,哥哥給弟弟多少本后,弟弟的課外書是哥哥的2倍?(合肥市小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)10把一個(gè)減法算式里的被減數(shù)、減數(shù)與差相加,得數(shù)是990,已知減數(shù)是差的2倍,減數(shù)是多少?(長(zhǎng)春市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)11有三堆煤,甲堆比乙的3倍多30千克,丙堆比乙堆少15千克,三堆煤共重240千克,那么,甲堆煤重多少千克?(四川省小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)12一根電線長(zhǎng)240米,把它截成三段,使第一段比第二段長(zhǎng)20米,第三段是第一段的2倍,這三段電線各長(zhǎng)多少米?(第二屆“新苗杯”小學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)第六講 差倍問題例1哥哥的圖書本數(shù)是弟弟的3倍,已知哥哥比弟弟多60本,哥哥、弟弟各有多少本?解:從“哥哥的圖書本數(shù)
33、是弟弟的3倍”,這個(gè)已知條件可以看出,這里是把弟弟的圖書本數(shù)看作1倍數(shù),因此,哥哥比弟弟所多的60本,就相當(dāng)于弟弟圖書本數(shù)的312倍,所以,弟弟有圖書60÷230(本),哥哥有圖書30×390(本)。答:哥哥有圖書90相,弟弟有圖書30本。像這類問題叫做“差倍問題”。解決差倍問題的關(guān)鍵是,先要根據(jù)已知條件判斷,是把哪個(gè)量看作1倍,題中所給出的差或者能夠求出的差,相當(dāng)于這個(gè)1倍量的幾倍,在求出1倍量之后,其他問題就好解決了。例2育新小學(xué)原來參加室外活動(dòng)的人數(shù)比室內(nèi)活動(dòng)的人數(shù)多480人,現(xiàn)在把室內(nèi)活動(dòng)的50人改為室外活動(dòng),這樣一來,室外活動(dòng)的人數(shù)正好是室內(nèi)活動(dòng)人數(shù)的5倍。參加室
34、內(nèi)、外活動(dòng)的一共有多少人?解:當(dāng)把室內(nèi)活動(dòng)的50人改為室外活動(dòng)以后,室外活動(dòng)的人數(shù),就比室內(nèi)活動(dòng)的人數(shù)多48050×2580(人)。這個(gè)人數(shù)相當(dāng)于室內(nèi)活動(dòng)人數(shù)的514倍,所以參加室內(nèi)活動(dòng)的有580÷4145(人),參加室內(nèi)、外活動(dòng)的人數(shù)是這個(gè)人數(shù)的516倍,一共有145×6870(人)。答:參加室內(nèi)、外活動(dòng)的一共有870人。例3兩筐千克數(shù)相同的蘋果,甲筐賣出7千克,乙筐賣出19千克以后,甲筐余下的千克數(shù)是乙筐的3倍,原來甲、乙兩筐各有多少千克?(上海市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)解:甲筐賣出7千克,乙筐賣出19千克以后,兩筐蘋果的千克數(shù)相差19712(千克),這個(gè)差,相當(dāng)于
35、乙筐現(xiàn)有蘋果千克數(shù)的312倍,所以這時(shí)乙筐有蘋果12÷26(千克),原來甲、乙兩筐各有蘋果61925(千克)。答:兩筐蘋果各有25千克。例4新蕾小學(xué)舉行了兩次數(shù)學(xué)競(jìng)賽,每次參加的人數(shù)相同。第一次及格人數(shù)比不及格人數(shù)的3倍多4人。第二次及格人數(shù)增加了5人,及格人數(shù)恰好是不及格人數(shù)的6倍。每次參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有多少人?解:第二次及格人數(shù)增加了5人,意味著不及格人數(shù)減少5人。如果及格人數(shù)還保持是不及格人數(shù)的3倍,及格人數(shù)就應(yīng)該減少5×315(人)。而實(shí)際情況是,及格人數(shù)不僅沒有減少,反面增加了5人,正是這本該減少的15人和新增加的5人,以及原來比不及格人數(shù)的3倍多的4人,合在一起,
36、恰好等于不及格人數(shù)的又一個(gè)3倍,所以,不及格人數(shù)是(1554)÷38(人),由此可以求出參加競(jìng)賽的人數(shù)是88×656(人)。答:每次參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有56人。練 習(xí) 六1一臺(tái)大屏幕液晶電視機(jī)的價(jià)錢,是普通電視機(jī)價(jià)錢的4倍,比普通電視機(jī)貴7500元,大屏幕液晶電視機(jī)和普通電視機(jī)的單價(jià)分別是多少元?2張強(qiáng)和李勇一起去買計(jì)算器。張強(qiáng)帶了100元,李勇帶了130元。他們各自買了一個(gè)同樣的計(jì)算器以后,李勇剩下的錢是張強(qiáng)的3倍。計(jì)算器的單價(jià)是多少元?3小偉因事騎自行車追趕步行的小慶,他們之間的距離是1200米,經(jīng)過8分鐘追上了小慶。已知小偉騎車的速度是小慶步行速度的3倍,求兩人的速度。4
37、甲、乙兩數(shù)的和是32,甲數(shù)的3倍與乙數(shù)的5倍的和是122。甲、乙兩數(shù)各是多少?5有兩筐蘋果的重量相等。從第二筐取出18千克,放入第一筐以后,第一筐蘋果的重量恰好是第二筐的2倍。原來兩筐蘋果各有多少千克?6甲、乙兩袋鹽的重量相等,從甲袋取出24千克,又放入乙袋28千克以后,這時(shí),乙袋鹽的重量是甲袋的3倍。甲、乙兩袋鹽各有多少千克?7有大、小兩個(gè)水池,大水池里有水300噸,小水池里有水70噸。在往兩個(gè)水池里注入同樣多的水以后,大水池里水量是小水池的3倍。向每個(gè)水池注入了多少噸水?8一個(gè)兩位數(shù),在它的兩個(gè)數(shù)字中間,添一個(gè)0,所得的三位數(shù),比原來的兩個(gè)數(shù)多720。求這樣的兩位數(shù)。9哥和弟弟每人各有一些
38、鉛筆,如果哥哥給弟弟1枝,兩人的鉛筆就一樣多;如果弟弟給哥哥1枝,哥哥的鉛筆就是弟弟的5倍。請(qǐng)問:哥哥和弟弟各有多少枝鉛筆?10甲、乙兩數(shù)的積是144,正好是甲、乙兩數(shù)差的8倍。又知道甲數(shù)是乙數(shù)的4倍,甲、乙兩數(shù)各是多少?11參加學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組的人數(shù),今年比去年多52人,今年的人數(shù)比去年的4倍多1人。今年有多少人參加?12張強(qiáng)的舅舅比張強(qiáng)大19歲,舅舅的年齡正好是張強(qiáng)年齡的3倍多1歲,張強(qiáng)的舅舅和張強(qiáng)各多少歲?(杭州市上城區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)第七講 綜合練習(xí)(一)1用11、12、13、25這25個(gè)數(shù),制做一個(gè)五階幻方。2把1、2、3、4、5、6、7這七個(gè)數(shù),填入下圖的七個(gè)小圓圈里,使得每條直
39、線上三個(gè)數(shù)的和都相等。3在下式中添上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)或括號(hào),使得數(shù)等于2005。888888888820054小明正在讀一本100頁(yè)的故事書,如果他再讀4頁(yè),那么,讀過的就比沒讀過的多10頁(yè)。他已經(jīng)讀了頁(yè)。5甲、乙、丙三人的鉛筆一樣多,后來甲給了乙、丙幾支鉛筆后,乙比甲多7支鉛筆,丙比乙少2支鉛筆。甲給了乙支,給丙支。6一個(gè)長(zhǎng)方形,長(zhǎng)比寬多6厘米,已知長(zhǎng)比寬的2倍少3厘米,這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是平方厘米。7甲、乙共有圖書63冊(cè),乙、丙共有圖書77冊(cè),三人中圖書最多的人的圖書是圖書最少的人的圖書的2倍。丙有圖書冊(cè)。8哥哥和妹妹共有糖35塊,妹妹的糖吃了2塊以后,哥哥又給了她5塊,這時(shí),妹妹的糖是哥哥的
40、2倍,妹妹原來有塊糖。9水果店運(yùn)來兩筐香蕉,第一筐賣出38千克,第二筐賣出14千克后,剩下的香蕉,第二筐的重量恰好是第一筐的3倍。如果原來兩筐香蕉的重量相等,那么原來每筐香蕉的重量是千克。10媽媽買回來一些梨和蘋果,蘋果的個(gè)數(shù)是梨的3倍,如果每天吃2個(gè)梨5個(gè)蘋果,那么,梨吃完時(shí)還剩20個(gè)蘋果。媽媽買來個(gè)梨。11六年級(jí)三個(gè)班種了一片樹,其中56棵不是一班種的,65棵不是二班種的,61棵不是三班種的。一班種了棵樹,二班種了棵樹,三班種了棵樹。12一盒巧克力和一瓶蜂蜜共18元,一包泡泡糖和一袋香腸共11元。一包泡泡糖和一瓶蜂蜜共14元,一袋香腸比一盒巧克力貴1元。如果有人付了19元買了這四樣?xùn)|西中的
41、兩樣,那么他買的是。第八講盈虧問題例1學(xué)校把一批乒乓球分給各個(gè)班。每班5盒,還剩18盒;每班分7盒,還差6盒。有多少班?有多少盒乒乓球?解:每班分7盒比每班分5盒,多分752(盒),不但會(huì)把多余的18盒用掉,還要再添上3盒,說明由于每班多分2盒,總共就要多分18624(盒),因此,有24÷212(個(gè))班。求乒乓球的盒數(shù),既可以按第一種分法計(jì)算,也可以按第二種分法計(jì)算。第一種分法計(jì)算,乒乓球有5×121878(盒);按第二種分法計(jì)算,乒乓球有7×12678(盒)。答:學(xué)校有12個(gè)班,有78盒乒乓球。像這類問題叫做“盈虧問題”。解決盈虧問題的關(guān)鍵,是要根據(jù)“盈”、“虧
42、的原因,找到兩個(gè)對(duì)應(yīng)的量。盈虧問題有“一盈一虧”、“雙盈”、“雙虧”等種不同的情況,但是,解決問題的基本思路是相同的。例2某寄宿學(xué)校的宿舍,如果每間住6人,就會(huì)有34人安排不下;如果每間住7人,就會(huì)多出來4間宿舍。這所寄宿學(xué)校的學(xué)生有多少人?宿舍有多少間?解:“如果每間住7人,就會(huì)多出來4間宿舍”,也就是可以多住7×428(人)。所以,共有(3428)÷(76)62(間)宿舍。寄宿的學(xué)生有6×6234406(人)。答:寄宿的學(xué)生有406人,有62間宿舍。例3小聰用一根繩子來測(cè)量一口井的深度,他把繩子的一端放入井底,井口外繩子長(zhǎng)9米,小聰把這根繩子對(duì)折后,將一端放入
43、井底,這時(shí)在井口外的繩子還有3米,求這口井的深度。解:對(duì)折后井口外繩子長(zhǎng)3×26(米),比第一次測(cè)量少963(米),說明井深就是3米。答:這口井深3米。例4少先隊(duì)員去植樹,如果每人挖5個(gè)樹坑,還有3個(gè)樹坑沒人挖;如果其中兩人各挖4個(gè)樹坑,其余每人挖6個(gè)樹坑,就恰好挖完所有的樹坑。那么共有多少名少先隊(duì)員。共挖了多少個(gè)樹坑?解:“如果其中兩人各挖4個(gè)樹坑,其余每人挖6個(gè)樹坑”,相當(dāng)于如果每人挖6個(gè)樹坑,可以多挖(64)×24(個(gè))樹坑。所以少先隊(duì)員有(43)÷(65)7(人),需要挖樹坑5×7338(個(gè))。答:一共挖了38個(gè)樹坑。練 習(xí) 八1幼兒園把一批蘋果
44、分給小朋友。如果每人分4個(gè),還余9個(gè);如果每人分5個(gè),還差6個(gè)。有多少個(gè)蘋果?多少個(gè)小朋友?2參加美術(shù)小組的同學(xué),每人可以分得同樣多的彩筆。如果小組有10人,彩筆就會(huì)多25枝;如果小組有12人,彩筆就會(huì)多5枝。求每人分得多少枝彩筆?一共有多少枝彩筆?3幾個(gè)同學(xué)們一起去春游,合伙買一箱飲料。如果每人湊4元,就多6元;如果每人湊3元,就正好。一箱飲料多少元?4同學(xué)位去劃船,如果每只船坐4人,就少3只船;如果每只船坐6人,還有2人留在岸邊。去劃船的同學(xué)有多少人?5學(xué)校買來一批復(fù)讀機(jī),分給五六年級(jí)用來學(xué)習(xí)英語。如果給一個(gè)少數(shù)民族班和一個(gè)打工子弟班各分4臺(tái),其余的班各分2臺(tái),就多4臺(tái);如果只給打工子弟班
45、分6臺(tái),其余的班各分4臺(tái),就還少12臺(tái)。學(xué)校買來的這批復(fù)讀機(jī)共有多少臺(tái)?五六年級(jí)共有多少個(gè)班?6學(xué)校分配宿舍,如果每個(gè)房間住3人,多出20人沒有房間?。蝗绻總€(gè)房間住5人,恰好安排完,問房間和學(xué)生各有多少?7買來一批蘋果,分給幼兒園大班的小朋友,如果每人分5個(gè)蘋果,還剩余32個(gè)蘋果;如果每人分8個(gè)蘋果,還有5個(gè)小朋友分不到蘋果。這批蘋果的個(gè)數(shù)是多少?(1998年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)賽試題)8有一個(gè)班的同學(xué)去劃船,他們算了一下,如果增加一條船,正好每條船坐6人;如果減少一條船,正好每條船坐9人。問這個(gè)班有多少名同學(xué)?(第二屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽題)9食堂管理員帶著一筆錢去買肉,如果
46、買牛肉10千克,還差6元;如果買豬肉12千克,還剩4元。已知每千克牛肉比每千克豬肉貴3元,食堂管理員帶著了多少錢?10水果公司從廣東運(yùn)來一批水果,運(yùn)費(fèi)花了1000元,水果損失了100千克。如果按每千克1元的價(jià)格賣出,就要虧損300元;如果按每千克2元的價(jià)格賣出,就可以盈利500元。問原來進(jìn)貨的水果是多少千克?進(jìn)貨的金額是多少元?11東風(fēng)小學(xué)儀仗隊(duì)的同學(xué)們排隊(duì)。排成一個(gè)正方形,還余12人;如果縱橫每排都增加1人,還少9人。東風(fēng)小學(xué)儀仗隊(duì)有多少名同學(xué)?12小明從家到學(xué)校上學(xué),開始時(shí)以每分鐘50米的速度走了2分鐘,這時(shí)他想:根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),再以這個(gè)速度走下去,肯定要遲到8分鐘,于是他立即加快速度,每
47、分鐘多走10米,結(jié)果小明早到了5分鐘。小明家到學(xué)校的路程有多遠(yuǎn)?第九講置換問題例1我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)中有這樣一道題:“今有雉、兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足。問:雉、兔各幾何?”譯成現(xiàn)代的話就是:籠子里有雞和兔子共35只,一共有94只腳。雞和兔子各有多少只?所以,這類問題就叫做“雞兔同籠問題”。解:解答雞兔同籠問題,通常采用假設(shè)的方法,先按頭數(shù)假設(shè)全都是雞或兔子,就會(huì)產(chǎn)生腳數(shù)的差異,然后再針對(duì)腳數(shù)的差異,用兔子或雞去置換,所以,有兩種具體的方法。因此,雞兔同籠問題又叫做“置換問題”。方法一:假設(shè)35只全都是雞, 應(yīng)該有 2×3570 (只)腳, 比實(shí)際少 947024(只)
48、。如果用一只兔子換一只雞, 可以增加 422 (只)腳,增加 24 只腳,需要換 24÷212 (只)兔子,也就是說應(yīng)該有 12 只兔子, 其余的 351223 (只)是雞。方法二:假設(shè)35只全都是兔子, 應(yīng)該有 4×35140 (只)腳, 比實(shí)際多 1409446 (只)。如果用一只雞換一只兔子, 可以減少 422 (只)腳,減少 46 只腳,需要換 46÷223 (只)雞,也就是說應(yīng)該有 23 只雞, 其余的 352312 (只)是兔子。答:雞有22只,兔子有14只。例2學(xué)校買來大小課桌椅共140套,一共用了36000元。大課桌椅每套300元,小課桌椅每套20
49、0元,大小課桌椅各有多少套?解:假設(shè)200套全部是大課桌椅,需要300×14042000(元),比實(shí)際多42000360006000(元),1套小課桌椅換1套大課桌椅,可以少用300200100(元),所以,實(shí)際買小課桌椅6000÷10060(套),買大課桌椅1406080(套)。答:買大課桌椅80套,小課桌椅60套。你能用另一種方法解答嗎?例3A、B兩人進(jìn)行投擲比賽,約定投中目標(biāo)一次記20分,未投中目標(biāo)一次扣12分。兩人各投了10次,共得208分,已知A比B多64分,A、B兩人各投中多少次?解:因?yàn)閮扇斯驳昧?08分,A比B多得64分,所以A得了(20864)÷2136(分),B得了20813672(分)。假設(shè)A所投的10全都投中,應(yīng)得20×10200(分),比實(shí)際少得20013664(分),每投不中一次少得201232(分),所以有64÷322(次)未中,只投中了1028(次)。同理,B有(20072)÷324(次)未投中,只投中了1046(次)。答:A投中8次,B投中6次。例4蜘蛛有8條腿,沒有翅膀。蟬有6條腿,1對(duì)翅膀。蜻蜓有6條腿,2對(duì)翅膀?,F(xiàn)在有這三種昆蟲36只,共有236條腿、
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2025國(guó)企 面試題庫(kù)及答案
- 安全工程師建筑施工現(xiàn)場(chǎng)的安全文化傳播試題及答案
- 綠色環(huán)保2025年紙包裝產(chǎn)品行業(yè)環(huán)保材料研發(fā)與創(chuàng)新研究報(bào)告
- 注冊(cè)土木工程師考試的課程安排與復(fù)習(xí)科目試題及答案
- 舞蹈基本知識(shí)試題及答案
- 家具行業(yè)的市場(chǎng)細(xì)分策略與消費(fèi)者心理分析研究試題及答案
- 電商種草經(jīng)濟(jì)崛起下的內(nèi)容營(yíng)銷策略創(chuàng)新報(bào)告
- 小吃口味測(cè)試題及答案
- 金融行業(yè)大數(shù)據(jù)應(yīng)用中的數(shù)據(jù)治理與隱私保護(hù)挑戰(zhàn)分析
- 冀中職業(yè)學(xué)院《中國(guó)俠客文化》2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末試卷
- 裝配鉗工(中級(jí))試題庫(kù)
- 養(yǎng)老護(hù)理員職業(yè)技能等級(jí)認(rèn)定三級(jí)(高級(jí)工)理論知識(shí)考核試卷
- 餐飲業(yè)消防安全管理制度
- 研發(fā)費(fèi)用加計(jì)扣除政策執(zhí)行指引(1.0版)
- GB/T 20647.9-2006社區(qū)服務(wù)指南第9部分:物業(yè)服務(wù)
- 海洋油氣開發(fā)生產(chǎn)簡(jiǎn)介課件
- 重慶十八梯介紹(改)課件
- 一級(jí)病原微生物實(shí)驗(yàn)室危害評(píng)估報(bào)告
- 設(shè)備機(jī)房出入登記表
- 起重吊裝作業(yè)審批表
- 最新三角形的特性優(yōu)質(zhì)課教學(xué)設(shè)計(jì)公開課教案
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論